第7章 相关与回归分析

1、统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 相关与回归分析相关与回归分析第第 7 7 章章统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 第第7 7章章 相关与回归分析相关与回归分析7.1 相关分析相关分析7.2 一元线性回归分析一元线性回归分析7.3 线性回归的显著性检验与回归预测线性回归的显著性检验与回归预测7.4 多元线性回归分析多元线性回归分析统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 学习目标1 1、变量间的相关关系与相关系数的

2、计算、变量间的相关关系与相关系数的计算2 2、总体回归函数与样本回归函数、总体回归函数与样本回归函数3 3、线性回归的基本假定、线性回归的基本假定4 4、一元线性回归参数的估计与检验、一元线性回归参数的估计与检验5 5、多元线性回归参数的估计与检验、多元线性回归参数的估计与检验6 6、回归预测的方法、回归预测的方法统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS7.1 7.1 相关与回归的基本概念相关与回归的基本概念一、相关关系的概念相关关系的概念二、相关系数二、相关系数三、三、Spearman等级相关系数等级相关系数统计学统计学统计学统计学统计

3、学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 一、一、相关关系的概念相关关系的概念 确定性的函数关系确定性的函数关系 Y=f (X) 不确定性的统计关系不确定性的统计关系 相关关系相关关系 Y= f（X）+ (为随机变量) 1.变量间的相互关系变量间的相互关系统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 2、相关关系的类型、相关关系的类型 从涉及的变量数量变量数量看 简单相关 多重相关（复相关） 从变量相关关系的表现形式表现形式看 线性线性相关散布图接近一条直线(左图) 非线性非线性相关散布图接近一条曲线(右图)统计学

4、统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 从变量相关关系变化的方向方向看正相关正相关变量同方向变化 A 同增同减 (A)(A)负相关负相关变量反方向变化 一增一减 (B)(B) B 从变量相关的程度看 完全相关 (B) 不完全相关 (A) C 不相关 (C)统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS1）相关表3. 相关关系的描述：统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS2）相关图(散点图)统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATIS

5、TICSSTATISTICSSTATISTICS 总体相关系数总体相关系数 对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程度 的总体相关系数为： 总体相关系数反映总体两个变量总体相关系数反映总体两个变量X X和和Y Y的线性相关程度。的线性相关程度。 特点：特点：对于特定的总体来说，X和Y的数值是既定的 总体相关系数是客观存在的特定数值。 ( , )( )( )Cov x yVar x Var y二、相关系数统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 样本相关系数 通过x和y 的样本观测值去估计样本相关系数变量x和y的样本相关系数通常用 表示

6、 特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样本 的观测值计算出来的，是对总体相关系数的估 计，它是个随机变量。 XYrXYrXYrXYrxyr_22()()()()iixyiixxyyrxxyy统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 相关系数的特点： 相关系数的取值在-1与1之间。当r=0时，表明x与y没有线性相关关系。当 时，表明x与y存在一定的线性相关关系: 若 表明x与y 为正相关; 若 表明x与y为负相关。当 时，表明x与y 完全线性相关: 若r=1，称x与y 完全正相关； 若r=-1，称x与y 完全负相关。01r0r 0r

7、1r 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 使用相关系数的注意事项： x和y 都是相互对称的随机变量，所以相关系数只反映只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。xyyx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 相关系数的检验 为什么要检验？为什么要检验？ 样本相关系数是随抽样而变动的随机变量,相关系数的统计显著性还有待检验。检验的依据：检验的依据： 如果x与都服从正态分布，在总体相关系数 的假设

8、下，与样本相关系数 r 有关的 t 统计量服从自由度为n-2的 t 分布： 0221 (2)tr nrt n统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 相关系数的检验方法给定显著性水平 ，查自由度为 n-2 的临界值 若 ，表明相关系数 r 在统计上是显著的，应否定 而接受 的假设；反之，若 ，应接受 的假设。 2t2tt0002tt统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 三、 Spearman等级相关系数当变量不满足正态分布要求或不是数量型变量时, 简单线性相关系数不宜使用,可以用

9、Spearman等级相关系数作相关性分析。对于样本容量为n的变量x 和y ，如果取值都可以分为n个等级，而且样本的n个单位分别不重复地属于x和y的不同等级，没有两个单位取相同等级的情况，并且用 表示样本单位属于x的等级与 y的等级的级差。Spearman等级相关系数 为： id2261(1)isdrn n 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICSSpearman等级相关系数的特性样本等级相关系数的取值范围： 时,说明样本等级完全正相关； 时, 样本等级完全负相关； 时,说明样本等级不相关； 当 时, 越接近1，正相关程度越高；当 时, 越

10、接近-1，负相关程度越高。可以证明：Spearman等级相关系数是简单线性相关系数的特例。11sr 1sr 1sr 0sr 01sr01sr10sr 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS72 一元线性回归分析一元线性回归分析一、一、相关分析与回归分析的联系二、总体回归函数与样本回归函数二、总体回归函数与样本回归函数三、回归系数的普通最小二乘估计三、回归系数的普通最小二乘估计统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 一一、相关分析与回归分析的联系、相关分析与回归分析的联系回归的古典

11、意义古典意义： 高尔顿遗传学的回归概念高尔顿遗传学的回归概念 父母身高与子女身高的关系父母身高与子女身高的关系: : 无论高个子或低个子的子女无论高个子或低个子的子女 都有向人的平均身高回归的都有向人的平均身高回归的 趋势趋势统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 回归的现代意义回归的现代意义： 回归是关于一个变量（因变量）对另一个或另外多个变量（自变量）依存关系的研究，用适当的数学模型去近似地表达或估计变量之间的平均变化关系。 目的是要根据已知的或固定的自变量的数值,去估计因变量的总体平均值。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STA

12、TISTICSSTATISTICSSTATISTICS 相关分析与回归分析的联系u联系联系 具有共同的研究对象：都是对变量间相关关系的分析，二者可以相互补充。相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度，只有当变量间存在相关关系时，用回归分析去寻求相关的具体数学形式才有实际意义。在进行相关分析时，如果要具体确定变量间相 关的具体数学形式，又要依赖于回归分析，在多个变量的相关分析中相关系数的确定也是建立在回归分析基础上的。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICSu区别 从研究目的上看,相关分析是用一定的数量指标(相关系数)度量变量间相互联系的方

13、向和程度;回归分析却是要寻求变量间联系的具体数学形式。从对变量的处理看，相关分析对称地对待相互联系的变量，回归分析必须明确划分自变量和因变量。注意：相关分析和回归分析只是从数据出发定量地分析变量间相互联系的手段，并不能揭示现象相互之间的本质联系。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 例例 ：某社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。二、总体回归函数与样本回归函数二、总体回归函数与样本回归函数1. 总体回归直线总体回归函数总体

14、回归直线总体回归函数统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统计计表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178

15、 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101

16、 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICSl给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布是已知的。 如： P(Y=561|X=800）=1/4。 l因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（或条件期望）：E（Y|X= Xi ） 本例中：E(Y |

17、 X=800)=605分析：分析：统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入每月可支配收入X X（元）（元）每每月月消消费费支支出出Y（元）（元） 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 总体回归函数（PRF） 概念：概念：将总体因变量y的条件均值表现为自变量x的某种函数，这个函数称为总体回归函数（ population regression funct

18、ion,简记为PRF）。表现形式：表现形式：（1）条件均值表现形式（2）个别值表现形式（随机设定形式）()iiE y xxiiiyxu统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 样本回归函数（SRF）概念：概念： y的样本观测值的条件均值随自变量x而变动的轨迹，称为样本回归线样本回归线。 如果把因变量y的样本条件均值表示为自变量x的某种函数，这个函数称为样本回归函数样本回归函数 （简记为SRF）。表现形式：表现形式：线性样本回归函数可表示为 或者 iiiyxeiiyx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTIC

19、SSTATISTICSl回归函数（PRF）说明因变量Y的平均状态随自变量X变化的规律。函数形式：函数形式： 可以是线性或非线性的。一元线性回归模型：一元线性回归模型：多元线性回归模型：元线性回归模型：()iiE y xx 1 122k()+iiikiE y xxxx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 1. 一元线性回归的基本假定假定假定1 1：零均值假定。假定假定2 2：同方差假定。 假定假定3 3：无自相关假定。 假定4：随机扰动 与自变量 不相关。假定假定5 5：正态性假定()0iiE u xiu222()()()iiiiiiV

20、ar u xE uE u xE u ( ,)( )()( ,)0ijiijjijCov u uE uE uuE uE u uix2(0,)iuN( ,)( )( )0iiiiiiCov u xE uE uxE x 三、回归系数的普通最小二乘估计三、回归系数的普通最小二乘估计统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 2. 回归系数的回归系数的最小二乘估计估计基本思想：希望所估计的 偏离实际观测值 的残差 越小越好。可以取残差平方和 作为衡量 与 偏离程度的标准最小二乘准则。 iyiyie2ieiyiy统计学统计学统计学统计学统计学统计学ST

21、ATISTICSSTATISTICSSTATISTICS一阶条件为：即：统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS22()iiiiiinx yxynxx _2()()()iiixxyyxxyx解得：得到正规方程组：222()iiiiiiixyxx ynxx 或统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS【例例】为了研究为了研究1978-20061978-2006年中国的财政收入年中国的财政收入与与GDPGDP的关系，取得数据如的关系，取得数据如ExcelExcel表格第表格第7 7章章 数

22、数据据( (一一) )所示，试建立财政收入对所示，试建立财政收入对GDPGDP的线性回的线性回归模型。归模型。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS=2()()=()iiixxyyxx2()()()iiiixx yyxxxx2()=()iiiiixx yk yxx 2()()iiixxkxx（其中）yx3.最小二乘估计量的性质（1 1）线性性）线性性最小二乘估计是因变量的线性函数最小二乘估计是因变量的线性函数 高斯高斯马尔科夫定理：马尔科夫定理：在满足基本假定的条件下，在满足基本假定的条件下，回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计。回

23、归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS （2 2）无偏性）无偏性最小二乘估计是无偏估计，即最小二乘估计是无偏估计，即 ( )E( )E2()()iiixxkxx0ik 1iikx()iiiiiiiiiiiik ykxukk xkuku()()()()iiiiEEEk uk E u证明：证明：()()()()()EE yxE yxExx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS（3 3）有效性）有效性在所有的线性无偏估计中，回在所有的线性无偏估计

24、中，回归系数的最小二乘估计的方差最小。归系数的最小二乘估计的方差最小。2222222222()()()()()()()iiiiiiiiVarEEEEk uEk uk E ukxx证明：证明：222( )()iixVarnxx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS2( )()iSExx22( )()iixSEnxx22(,)()iNxx22 ( ,)()iixNnxx 4. 4. 参数估计量的概率分布参数估计量的概率分布iik yyxiiiyxu2(0,)iuN 和和 都是服从正态分布的随机变量。都是服从正态分布的随机变量。由而统计学统计

25、学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS5. 5. 方差方差 的估计的估计 为什么要估计 ？ 确定所估计参数的方差需要 由于 不能直接观测， 也是未知的 对 的数值只能通过样本信息去估计。怎样估计 ？ 可以证明 的无偏估计为： iu222ien2222222统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS7.3 一元线性回归分析一元线性回归分析 的统计检验与回归预测的统计检验与回归预测一、一、拟合优度检验拟合优度检验二、回归系数显著二、回归系数显著性性 t t 检验检验三、一元线性回归模型的预测三、一

26、元线性回归模型的预测统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICSyxixyiyiyyiiyyiyy基本思想：基本思想：样本回归直线是对样本数据的一种拟合，不同估计方法可拟合出不同的回归线。样本回归拟合优度的度量建立在对因变量总离差平方和分解的基础上。 一、 拟合优度的度量拟合优度的度量 ()()iiiiyyyyyy统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 总离差平方和总离差平方和 回归平方和回归平方和 残差平方和残差平方和 222()()()iiiiyyyyyy222()()iiyyRy

27、y222()1()iiiyyRyy 可决系数定义：可决系数定义：()()() ()()()0iiiiiiiiiiiiiyyyyyyxxyy xxyye x因为：因为：统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 可决系数的特点 可决系数是非负的统计量；可决系数取值范围： ；可决系数是样本观测值的函数，可决系数是随抽样而变动的随机变量；在一元线性回归中，可决系数在数值上是简单线性相关系数的平方： ，201R2rR 2222()()()()iiiixx yyRxxyy统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSST

28、ATISTICS二、回归系数显著性的二、回归系数显著性的 t t 检验检验 目的目的： 对模型中因变量与自变量之间的线性关系是否显著成立作出推断，亦即考察自变量是否对因变量有显著的 线性影响。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 用估计的参数标准误差对估计的参数作标准化变换，所得的 t 统计量将不再服从正态分布，而是服从 t 分布： 可利用 t 分布作有关的假设检验。 * (2)( )tt nSe* (2)( )tt nSe检验的原理：22(,)()iNxx222ien22 ( ,)()iixNnxx 统计学统计学统计学统计学统计学统

29、计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS(1) 提出假设提出假设一般假设:常用假设:(2) 计算统计量计算统计量(3)给定显著性水平，确定临界值 (4) 检验结果判断检验结果判断 若 则拒绝原假设，而接受备择假设 若 则接受原假设 , 拒绝备择假设0:*H*1:H0:0H1:0H2(2)tn*2(2)ttn*2(2)ttn*( )( )ttSESE或检验方法（以对检验方法（以对 的检验为例）的检验为例）统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS回归系数显著性的回归系数显著性的P P值检验值检验P P值的意义值的意义P

30、值的意义: 在既定原假设下计算回归系数的t统计量 ，可求得统计量大于 的概率 ： 这里的 是 t 统计量大于 值的概率，称为所估计的回归系数的P值。*t*0()P tt H*t*t统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS回归系数显著性的回归系数显著性的P P值检验值检验 检验方法检验方法回归系数显著性的P值检验方法: 将所取显著性水平与P值对比 所取的显著性水平 （例如取0.05）若比P 值更大，就可在显著性水平 下拒绝 所取的 若小于P值，就应在显著性水平 下接受 02:0H02:0H统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTI

31、CSSTATISTICSSTATISTICS三、一元线性回归模型预测三、一元线性回归模型预测对平均值的点预测值 ： y的个别值置信度为1的预测区间： fyffyx_222()1 1()fffixxyytnxx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 因变量的区间预测的特点 （1）个别值的预测区间大于平均值的预测区间个别值的预测区间大于平均值的预测区间: : y平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是受抽样波动影响; y个别值的预测值与真实个别值的差异不仅受抽样波动影响，而且还受随机扰动项的影响（2）对对 预测区间随预测区间随 变化而变化变

32、化而变化: : 时， =0，此时预测区间最窄， 越是远离 ， 越大，预测区间越宽。fyfx_fxx_2()fxxfx_x_2()fxx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 因变量的区间预测的特点(续)（3）预测区间与样本容量有关预测区间与样本容量有关：样本容量n越 大， 越大，预测误差的方差越小， 预测区间也越窄。（4）当样本容量趋于无穷大（即n）时, 不存在抽样误差，平均值预测误差趋于0，此时个别值的预测误差只决定于随机扰动的方差。2()ixx统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATIST

33、ICS7.4 多元线性相关与回归分析多元线性相关与回归分析一、多元线性回归模型及假定多元线性回归模型及假定二、多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计三、多元线性回归模型的检验三、多元线性回归模型的检验统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 一、多元线性回归模型及假定一、多元线性回归模型及假定 多元总体线性回归函数一般形式 条件均值形式 12233iiikkiiyxxxu23(,)iikiE y xxx12233iikkixxx多元线性样本回归函数：一般形式条件均值形式12233iiikkiyxxx12233iiikkiiyxxxe

34、统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 多元线性回归模型的矩阵多元线性回归模型的矩阵表示表示多元总体线性回归模型的矩阵表示多元总体线性回归模型的矩阵表示 Y=X+UY=X+U多元线性样本回归函数的矩阵表示 Y=X + e 偏回归系数：多元线性回归模型中，回归系数表示当控制其它自变量不变的条件下，第j个自变量的单位变动对因变量均值的影响，这样的回归系数称为偏回归系数。121311112223222223111kknnnknknyxxxuyxxxuyxxxu统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTAT

35、ISTICS 二、多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 多元回归模型的假定多元回归模型的假定 相同的假定: 零均值、同方差、无自相关、 随机扰动项与自变量不相关、U正态性增加的假定：各自变量之间不存在线性关系。 在此条件下，自变量观测值矩阵X X列满秩 Rank( X ) = k方阵X X 满秩 Rank()= k 意义： 可逆，-1(X X)存在 X X X X 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS多元回归参数的最小二乘估计多元回归参数的最小二乘估计使残差平方和达到最小，其充分必要条件 212233()iiikkiyxxx2

36、ie 2()01,2,ijejk正规方程组 122ikkiinxxy 2122222iikikiiixxx xx y - 2122kiikikkikiixx xxx y 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 多元线性回归的最小二乘估计式正规方程组可简记为矩阵形式 (XX)XY-1(XX)存在 参数向量的最小二乘估计为1(X X) X Y参数最小二乘估计的性质参数最小二乘估计的性质可以证明：多元线性回归的最小二乘估计也是最佳线性无偏估计。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 随

37、机误差项方差的估计随机误差项方差的估计方差 未知，需要利用样本回归的残差平方和去估计。2可以证明， 22ienknkNk e eY Y XY2是随机扰动项方差的无偏估计 22统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 三、多元线性回归模型的检验三、多元线性回归模型的检验拟合优度检验拟合优度检验多元线性回归离差平方和的分解式多元线性回归离差平方和的分解式 变差变差 222()()()iiiiyyyyyy TSS = RSS + ESS (总离差平方和) (残差平方和) (回归平方和)自由度自由度 n-1 = n-k + k-1多重可决系数：多

38、重可决系数： 22211()iieESSTSSRSSRSSRTSSTSSTSSyy 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 修正的可决系数修正的可决系数 为什么要修正？ 可决系数是自变量个数的不减函数，比较因变量相同而自变量个数不同的两个模型的拟合程度时，不能简单地对比多重可决系数。需要用自由度去修正多重可决系数中的残差平方和与回归平方和 相互关系：2211 (1)nRRnk 22222()111()(1)()iiiienkenRyynnkyy 统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTI

39、CS 回归参数的显著性检验回归参数的显著性检验 t t 检验检验 在多元回归中可以证明()jjE2()jjjVarc 其中：jjc是矩阵1(XX)第 j 行第 j 列的元素。因为2未知，故()jVar也未知。现用2代替对原假设 分别作 t 检验 2，可构造统计量 ()jjjjtt nkC ：0H0:0jH(1,2)jk统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验 F F 检验检验目的: 检验多个变量联合对因变量是否有显著影响方法: 在方差分析的基础上利用F检验进行假定: 012:0kH不全为零方方差差分分析析表表离差来源平方和自由度方差源于回归源于残差k-1n-kESS/(k-1