2015年浙江卷数学试题及答案(理)

1、（第2题图）VnuN,f(n)N或f(n)an5.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与MCF的面积之比是ABFk1八.af|-1B.2BF-12AF-1C.BF1AF1D.2BF+12,AF+12015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P=xx2-2x20,Q=x1<x<2,则（eRP）nQ=A.0,1）B.（0,2C.（1,2）D.1,22 .某几何体的三视图如图所

2、示（单位：cm），则该几何体的体积是33323403A.8cmB.12cmC.cmD.cm3 .已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn,若a3,4,a成等比数列，则A.a1d0,d00B.ad：0,dS4：二0C.a1d0,dS4：0D.a1d二0,dS404 .命题VnwN,f(n)wN且f(n)Mn的否定形式是A.VnN,f(n)受N且f(n)anB.一-*.、一*一.、-*一.、一一*一.、C.二rbuN,f(rb)吏N且f(n0)>rbD.二n0=N,f(n0)吏N或f(rt)>rt6.设A,B是有限集，定义:d(A,B)=card(AUB)card(AQB),其

3、中card(A)表示有限集a中的元素个数.命题：对任意有限集A,B,“A#B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C).A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不成立，命题成立7.存在函数f(x)满足，对任意XWR都有A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2xC.f(x21)=x1D.f(x22x)=x+18.如图,已知MBC,D是AB的中点，沿直线CD将AACD折成ACD,所成二面角A'CDB的平面角为a,则B.ADB一二D.二、填空题：本大题共7小题,多

4、空题每题6分，单空题每题4分，共36分。9.双曲线-y2=1的焦距是2,渐近线方程是10.11.12.13.x-3.x_1已知函数f(x)=x,，贝Uf(f(-3)=,f(x)的最小值是.，2一,Jg(x+1),x<1函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是若a=log43,则2a+2-a,单调递减区间是棱锥A-BCD中，AB=AC=B4CD3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是14.若实数x,y满足x2+y2<1,则2x+y2卜6x3y的最小值是(第13眄图)1515 .已知ei,e2是空间单位向量，e贬=一

5、，右空间向量b满足b第=2,b第2=，且对于任意22x,yWR,|b-(xe+ye0巨|b(X0e+4。)|=1(刈，丫0wR),则刈=|b|=三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1O16 .(本题满分14分)在MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2-a2=-C2.42(I)求tanC的值；(n)若AABC的面积为7,求b的值。(第L7题图)17 .(本题满分15分)如图，在三柱ABCAB1G中，/BAC=90：,AB=AC=2，AA=4，A在底面ABC的射影为BC的中点，D是BG的中点.(I)证明：AD，平面ABC；(n)求

6、二面角ABD-B的平面角的余弦值.18 .(本题满分15分)已知函数f(x)=x一于直线y=mx+一对称.(I)求实数m的取值范围；(n)求MOB面积的最大值(O为坐标原点).+ax+b(a,bwR),记M(a,b)是|f(x)|在区间卜1,1上的最大值。(I)证明：当|a户2时，M(a,b)22；(第19题图)(n)当a,b满足M(a,b)<2,求|a|+|b|的最大值.2x219 .(本题满分15分)已知椭圆一+y=1上两个不同的点A,B关22。.(本题满分15分)已知数列加满足*且4户*.).一a*(I)证明：1<2(nWN)；an12、 1Sc1*(n)设数列an的前n项和

7、为Sn,证明<<(nwN)2(n2)n2(n1)2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学参考答案、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。1.C2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。9.23y=J2210.0,2,2-3.3,711. .,k.,k.(kZ)8814.315.1,2,2212. 4石3三、解答题：本大题共713.一85小题,共74分.16.本体主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。2(I)由b212

8、-a=-c2及正弦定理得2112sinB-=sinC22所以2-cos2B=sinC又由-cos2B=sin2C=2sinCcosC解得tanC=2(n)由tanC=2,Cw(0,用得sinC=",cosC二不55冗又因为sinB=sin(A+C)=sin(一+C),所以4由正弦定理得sinB=3.10102.2c=b31又因为A=,bcsinA=3,所以42bc=6T2,故b=317 .本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。(I)设E为BC的中点，由题意得AE_L平面ABC,所以AE_LAE.因为AB=AC，所以AE_

9、LBC.故AE，平面ABC.由D,E分别为BC1,BC的中点，得DE/B1B且DE=B1B,从而DEAA且DE=AA,所以aaed为平行四边形.故ADAE.又因为AE_L平面ABC,所以AD，平面ABC.(H)方法一：作A1F，BD且A1F口BD=F,连结B1F.由AE=EB=T2,/AEA=2AEB=90二，得A1B=AA=4.AD=B1D,AB=BB,得AADB与AB1DB全等.由A1F，BD,得B1F_LBD,因此2为531为二面角ABD31的平面角由AD=72,AB=4,/DAB=90：得BD=3、2,AiF.二4由余弦定理得Af1cos._A|FB1=-8方法二:以CB的中点E为原点

10、，分别以射线EA,EB为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:A(0,0,44),b(0,V2,0),d(V2,0,E),Bi(£2,也714).因此ab=(0,72,-炳,bd=(->/2,-72,VT4),DB1=(0,72,0).设平面ABD的法向量为m=(x),y1,Z1),平面BBD的法向量为n=乂，yzZ).上fm§AB=0,口1T2y1Eq=0,-由，即$力1_可取m-BD=0,-.2x1-2yl.14z1=0,m=(0,7,1)nQB0,、.2y2=0,由由,即:2,可取n-BD=0,-,2x2-、2y2-,1

11、4z2=0,n=(,7,0,1)于是|cos:m,n卜|mn|_1|m|n|8由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-1.818 .本题主要考察函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。2,a2aa(I)由f(x)=(x+)+b，得对称轴为直线x=.4a.由|a巨2,得|_住1,故f(x)在1,1上单调,所以2M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|).当a至2时，由f(1)_f(_1)=2a>4,得maxf(1),-f(-1)_2,即M(a,b)_2.当aM2时，由f

12、(1)_f(-1)=-2a>4,得maxf(-1),-f(1)>2,即M(a,b)-2.综上，当|a|A2时，M(a,b)>2.(n)由M(a,b)W2得|1ab|=|f(1)|<2,|1-ab|=|f(T)偿2,故|ab|<3,|a-b|<3,|ab|,ab-0,由|a|b|=|a-b|,ab:二0,|a|b|<3.当a=2,b=1时，|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在1,1上最大值为2,即M(2,1)=2.所以|a|十|b|的最大值为3.19.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解

13、题能力。满分15分。(I)由题意知m#0,可设直线1AB的方程为y=一一x+b.my2=1,因为直线y1y=-xb,m二)x2一xb2-1=0.mm1x2-x+b与椭圆+y=1有两个不同的父点，所以m2将AB中点2mb2,mbm22m221)代入直线方程y=mx+3解得m222m2由得m一2或m,0)U(0*|AB尸；t21-2t42t23且O到直线AB的距离为t2t21设MOB的面积为S(t),所以C1S(t)|AB|d21当且仅当t2=时，等号成立.2故MOB面积的最大值为220.本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。(I)由题思得an书一an=-an工0，即a