211曲线和方程

1、2.1.1曲线与方程曲线与方程 在必修二在必修二,我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程,讨论了这些曲线和相应的方程的关系讨论了这些曲线和相应的方程的关系.1.经过点经过点P(0,b) 和斜率为和斜率为k 的直线的直线l的方程为的方程为_.2.圆心为圆心为(a,b) ,半径为半径为r的圆的圆C的方程为的方程为_.曲线和方程之间有什么对应关系呢？曲线和方程之间有什么对应关系呢？练习：练习：1、说出下列方程所表示的曲线：、说出下列方程所表示的曲线：(1) x = a (2) y = b(1) 过点过点 ( a , 0 ) 垂直于垂直于 x 轴的直线轴的直线(2) 过点过点 ( 0 , b

2、 ) 垂直于垂直于 y 轴的直线轴的直线2、判断两点、判断两点 P1(2 , 2 )、 P2(2 , )是否在方程是否在方程 x 2 + y 2 = 25 所表示的曲线上所表示的曲线上555代入验证代入验证P1 不在，不在， P2 在在（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系坐标满足的关系点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l得出关系得出关系：lx-y=0 xy0（1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都

3、的解为坐标的点都在在 上上l曲线曲线条件条件方程方程分析特例归纳定义分析特例归纳定义为什么为什么? ?22200()()xaybr也就是也就是 ,这说明它的坐标这说明它的坐标(x0,y0)是方程是方程 的解的解;如果如果M(x0,y0)是圆上的点是圆上的点,那么它到圆心的距离那么它到圆心的距离一定等于半径一定等于半径,即即222()()xaybr反过来反过来,如果如果(x0,y0)是方程是方程 的解的解,即即 ,也就是也就是 ,即以这个解为坐标的点到点即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为的距离为r,它一它一定在以定在以(a,b)为圆心为圆心,r为半径的圆上为半径的圆上.222()()x

4、ay br22200()()xaybr2200()()xaybr（3）说明过）说明过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线与方程轴的直线与方程x=2 的关系的关系、直线上的点的坐标都满足方程、直线上的点的坐标都满足方程x=2、满足方程、满足方程x=2的点不一定在直线上的点不一定在直线上结论：过结论：过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线的方程不是轴的直线的方程不是x=20 xy2A分析特例归纳定义 一般地一般地, ,在直角坐标系中在直角坐标系中, ,如果某曲线如果某曲线C( (看看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹) )与二元与二元方程方程f( (x, ,y)=

5、0)=0的实数解建立了如下的关系的实数解建立了如下的关系: :1.定义定义:f(x,y)=00 xy(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么那么,这个方程这个方程f(x,y)=0叫做叫做这条曲线这条曲线C的方程的方程;这条曲线这条曲线C叫做这个方程叫做这个方程f(x,y)=0的曲线的曲线.例例 判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 (1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线的方程为轴的直线的方程为x=3; (2)到到 x 轴距离为轴距离为 2 的点

6、的轨迹方程为的点的轨迹方程为 y=2 ; (3)到两坐标轴距离乘积等于到两坐标轴距离乘积等于k 的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=k.对对错错错错为什么为什么? ?证明证明(1)设设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点是轨迹上的任意一点.因为点因为点M与与x轴的距离为轴的距离为|x0|,所以所以|x0|y0|=k,即即(x0,y0)是方程是方程xy=k的解的解.(2)设点设点M1(x1,y1)是方程是方程xy=k的解的解,则则x1y1=k,即即|x1|y1|=k.而而|x1|,|y1|正是点正是点M1到纵轴、横轴的到纵轴、横轴的距离距离,因此点因此点M1到这两条直线的距离的积是常数到这两条直

7、线的距离的积是常数,点点M1是曲线上的点是曲线上的点.由由(1) (2)知知, xy=k与两条坐标轴的距离的积是与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程常数的点的轨迹方程 课堂练习课堂练习1: 1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？列出的方程吗？为什么？ (1)曲线曲线C为过点为过点A(1，1)，B(-1，1)的的折线折线(如图如图(1)其方程为其方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线曲线C是顶点在原点的抛物线其方是顶点在原点的抛物线其方程为程为x+ =0; (3)曲线曲线C是是, 象限内到象限内到x轴，轴，y轴轴的距离乘积为

8、的距离乘积为1的点集其方程为的点集其方程为y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y 课堂练习课堂练习2:下述方程表示的图形分别是下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？下图中的哪一个？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD课堂练习课堂练习3 ：设圆设圆M的方程为的方程为 , 直线直线 l的方程为的方程为x+y-3=0, 点点P的坐标为的坐标为(2,1)，那么，那么（ ）2) 2() 3(22yxA.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直

9、线上；C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上C课堂练习课堂练习4: P37 练习练习 1、21、如果曲线、如果曲线C上的点坐标上的点坐标(x,y)都是方程都是方程F(x,y)=0的解，的解，那么（那么（ ）A、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上。上。B、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。的解为坐标的点，有些不在曲线上。C、不在曲线、不在曲线C上的点的坐标都不是方程上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。的解。D、坐标不满足、坐标不满足F(x,y)=

10、0的点不在曲线的点不在曲线C上。上。D2、判断方程、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。所表示的曲线形状。 第一步，设第一步，设M (xM (x0 0,y ,y0 0) )是曲线是曲线C C上任一点，上任一点，证明证明(x(x0 0,y ,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解；的解；小结小结: : 1. 1. 证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设(x(x0 0,y ,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解，证明的解，证明点点M (xM (x0 0,y ,y0 0) )在曲线在曲线C C上上. .2.在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只程的曲线时