(整理)“求两线段长度之和的最小值”问题全解析.

1、精品文档求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校 左进祥在近几年的中考中，经常遇到求 PA+PB 最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个 比较全面的认识和了解， 我们特此编写了 “求两线段长度值和最小 ”问题全解析， 希望对同学 们有所帮助一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图 1，在锐角三角形ABC 中， AB=4,BAC=45° ，BAC 的平分线交 BC精品文档于点 D， M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为分析 ：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法我们要选

2、用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决解：如图 1，在 AC 上截取 AE=AN ，连接 BE因为BAC 的平分线交 BC 于点 D，所 以EAM= NAM ，又因为 AM=AM ， 所以 AME AMN ，所以 ME=MN 所以 BM+MN=BM+MEBE 因为 BM+MN 有最小值当 BE 是点 B 到直线 AC 的距离时， BE 取最小值为 4，以 BM+MN 的最小值是 4故填 41.2 在等边三角形中探求线段和的最小值例 2（ 2010 山东滨州）如图 4所示，等边 ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线 ,M 是 AD 上的动点 ,E 是 AC 边上一点 .若 AE=2

3、,EM+CM 的最小值为 .分析 ：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所 学的知识求出这条线段的长度即可解：因为等边 ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线 ,所以点 C与点 B关于 AD 对称， 连接 BE 交 AD 于点 M，这就是 EM+CM 最小时的位置， 如图 5所示，因为 CM=BM ，所以EM+CM=BE ，过点 E作 EFBC，垂足为 F，因为 AE=2 ，AC=6 ，所以 EC=4，在直角三角形 EFC 中，因为 EC=4, ECF=60°， FEC=30°，所以 FC=2,EF=因为 BC=6 ，FC=2，所以

4、BF=4 在直角三角形BEF 中， BE=.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1 在直角梯形中探求线段和的最小值例 3（2010 江苏扬州）如图 3，在直角梯形 ABCD 中， ABC 90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB 上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为 分析 ：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时 可以用对称法解：如图 3所示，作点 D关于直线 AB 的对称点 E，连接 CE，交 AB 于点 P，此时 PCPD 和最小，为线段 CE因为 AD 4，所以 AE=4 因为 ABC90°，ADBC，所以 EAP

5、90°因为APEBPC,所以APEBPC，所以.因为 AE=4，BC6，所以, AB 5 PB=3. ，所以 ，所以,因为 AB 5，所以 PB=3.2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值例 4 如图 4，等腰梯形 ABCD 中， AB=AD=CD=1 ， ABC=60° ，P 是上底，下底中 点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 分析 ：根据等腰梯形的性质知道，点A 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键解：如图 4所示，因为点 D 关于直线 EF的对称点为 A，连接 BD，交 EF于点 P，此 时 PAPB 和最

6、小，为线段 BD过点 D 作 DG BC，垂足为 G，因为四边形 ABCD 是等 腰 梯 形 ， 且 AB=AD=CD=1 ， ABC=60° ， 所 以 C=60° ， GDC=3°0 ， 所 以所以 PA+PB 的最GC= ,DG=因为 ABC60°，ADBC，所以 BAD120°因为 AB=AD ，所以 ABD= ADB=30° ，所以 ADBC=3°0 ，所以 BD=2DG=×2小值为 2.3 在菱形中探求线段和的最小值例 5 如图 5 菱形 ABCD 中， AB=2 ， BAD=60° ， E

7、是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 分析：根据菱形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点解：如图 5所示，因为点 B 关于直线 AC 的对称点为 D，连接 DE，交 AC 于点 P，此 时 PEPB 和最小，为线段 ED 因为四边形 ABCD 是菱形，且 BAD=60° ，所以三角形 ABD 是等边三角形因为 E 是 AB 的中点， AB=2 ，所以 AE=1 ， DEAB ，所以 ED= 所以 PE PB 的最小值为2.4 在正方形中探求线段和的最小值例 6 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M

8、 在 DC 上，且 DM=2 ， N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 分析 ：根据正方形的性质知道，点 B 的对称点是点 D ，这是解题的一个关键点解：如图 6所示，因为点 D关于直线 AC 的对称点为 B，连接 BM，交 AC 于点 N，此 时 DNMN 和最小，为线段 BM 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC=CD=8 因为 DM=2 ，所以 MC=6 ，所以 BM=10. 所以 DN+MN 的最小值为 10例 7(2009?达州)如图 7，在边长为 2cm的正方形 ABCD 中，点 Q为BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则 P

9、BQ 周长的最小值为cm(结果不取近似值) 分析：在这里 PBQ周长等于 PB+PQ+BQ ，而 BQ 是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ 的和最小问题因为题目中有一个动点 P，两个定点 B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对 称法解:如图 7所示，根据正方形的性质知道点B 与点 D 关于 AC 对称，连接 DQ，交 AC于点 P，连 接 PB 所以 BP=DP ，所以 BP+PQ=DP+PQ=DQ 在 RtCDQ 中 ， DQ= = ， 所 以 PBQ 的 周 长 的 最 小 值 为 ： BP+PQ+BQ=DQ+BQ

10、=+1故答案为+1三、在圆背景下探求线段和的最小值例 8(2010年荆门)如图 8，MN 是半径为 1的O的直径，点 A 在 O上， AMN 30°， B 为AN 弧的中点， P是直径 MN 上一动点，则 PAPB的最小值为 ( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析 ：根据圆的对称性，作出点 A 的对称点 D，连接 DB，则线段和的最小值就是线段 DB 的长度解：如图 8，作出点 A 的对称点 D，连接 DB ，OB,OD 因为AMN 30°， B为 AN 弧的中点，所以弧 AB 的度数为 30°，弧 AB 的度数为 30°，弧 AN 的度数为 6

11、0°根据圆心角与圆 周角的关系定理得到： BON30°由垂径定理得：弧 DN 的度数为 60°所以 BODBON + DON= 30° +60°=90°.所以 DB=.所以选择B四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例 9（ 2010 山东济宁）如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （k0） 在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M ，已知三角形 OAM 的面积 为 1.（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点 A 不重合），且

12、B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小 .分析 ：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点 A 的坐标是解题的第一个关键要想确定出 PA+PB 的最小值，关键是明白怎样才能保证 PA+PB 的和最小，同学们可 以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了解：（1）设点 A 的坐标为（ x， y），且点 A 在第一象限，所以 OM=x,AM=y 因为三角形 OAM 的面积为 1，所以所以 xy=2 ，所以反比例函数的解析式为 y= （2）因为 y= x 与 y= 相交于点 A，所以 = x，解得 x=2，或 x=-2. 因为 x>

13、0， 所以 x=2 ，所以 y=1，即点 A 的坐标为（ 2，1）因为点 B 的横坐标为 1，且点 B 在反比例函数的图像上，所以点称点 D 的坐标为（ 1，解得 k=3，b=-5 ，B 的纵坐标为 2，所点 B 的坐标为（ 1， 2），所以点 B 关于 x 轴的对-2）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ，所以所以函数的解析式为 y=3x-5 ，当 y=0 时，x= ，所以当点 P在（ ，0）时， PA+PB 的值最小五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例 10（ 2010 年玉溪改编） 如图 10，在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为 （ 1，） AOB 的面积是.（1）求点 B的

14、坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由；分析 ：在这里 AOC 周长等于 AC+CO+AO ，而 A,O 是定点，所以 AO 是一个定长， 所以要想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AC+CO 的和最小问题 因为题目中有 一个动点 C，两个定点 A,O 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解：（1）由题意得 :所以 OB=2 因为点 B 在 x轴的负半轴上，所以点B 的坐标为（ -2 ，）；（2）因为 B（-2,0）,O（0,0）, 所

15、以设抛物线的解析式为： y=ax（x+2 ），将点 A 的坐标为 （1，）代入解析式得：3a= ，所以a= ，所以函数的解析式为+x3）存在点 C. 如图 10，根据抛物线的性质知道点 B 与点 O 是对称点，所以连接 AB与抛物线的对称轴 x= - 1 交 AC 于点 C，此时 AOC 的周长最小 .设对称轴与 x 轴的交点为E过点 A作AF垂直于 x轴于点 F，则BE=EO=EF=1. 因为BCE BAF,所以所以，所以 CE= 因为点 C 在第二象限， 所以点 C 的坐标为 （ -1， ）六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例 11（2010 年天津） 如图 11，在平面直角坐标

16、系中， 矩形 的顶点 O 在坐标原点， 顶点 A、B分别在 x轴、 y轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D为边 OB 的中点.1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点E、 F的坐标 .分析 ：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起， 并很好的运用到平面直角坐标系中解：（ 1）如图 12，作点 D 关于 x 轴的对称点，连接 C 与 x 轴交于点 E，连接 DE.若在边 OA 上任取点 （与点 E 不重合），连接 C 、D 、 .由

17、 D + C = + C >C = D +CE=DE+CE ，所以 的周长最小 .因为 在矩形 OACB 中， OA=3,OB=4, D 为OB 的中点，所以 BC=3 ， DO= O=2.所以点 C 的坐标为 （3，4），点的坐标为（0，-2），设直线 C 的解析式为 y=kx+b ，则 ，解得 k=2 ，b=-2 ，所以函数的解析式为 y=2x-2 ，令 y=0，则 x=1，所以点 E 的坐标为（ 1， 0）；（ 2）如图 13，作点 D 关于 x 轴的对称点 ，在 CB 边上截取 CG=2，连接 G 与 x 轴交于点 E，在 EA 上截 EF=2.因为 GC EF，GC=EF ，所以 四边