5.导数压轴题基本问题之二——不等式恒成立求参数范围(3)

1、全国卷高考数学分析及应对(淘宝的博约书斋店铺)一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基本问题，转化为这些基本问题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数范围。5.导数压轴题基本问题之二一一不等式恒成立求参数范围一、分离参数或直接讨论法1. (2013 新课标 1)已知函数 f (x) = x2 + ax + b , g(x) = ex (cx + d),若曲线 y = f (x)和曲线y = g(x)都过点P(0, 2),且在点P处有相同的切线 y = 4x + 2 (i)求a , b,c , d的值(n)若x 2时，f (x) < kg(x),求k的取值范围。【解析】

2、(i)a=4, b=2, c=2, d =2 (略)(n)法一：(直接讨论，通过特殊位置缩小参数的范围，减少讨论)由(I)知，f (x) = x 2+4x + 2, g(x) = 2ex(x +1),设函数 F (x) = kg(x) - f (x) = 2kex(x+1) x2 4x- 2(x>-2),xx,F (x) = 2ke (x 2) - 2x-4 = 2(x 2)(ke -1)F (0) -02由题设可得 f产/，即1 <k <e，令F'(x) =0得，x1 = - ln k, x2=-2,若 1 W k < e2 ,则2< x W0, .当

3、x 亡(一2, x)时，F (x) < 0,当 x w (x ,十叼时，F (x)111 0,即F (x)在(-2, xi)单调递减，在(xi ,依)单调递增，故F (x)在x = x1取最小值F ( x1 ),而 F (x1 ) = 2x1 + 2 - x12 -4x1 -2 = x1 (x1 + 2) >0, .当 x >- 2 时，F (x) >0,即 f (x) & kg (x)恒成立，若 k = e2 ,贝u F x) = 2e2 (x + 2)(ex -e2), .当 x 2 时，F x) >0, F (x)在(2,+ 8)单调递增，而F (2

4、)=0, .当 x >- 2 时，F (x) >0,即 f (x) & kg (x)恒成立，综上所述，k的取值范围为1, e2.二、通过特殊点的邻域或几何意义找答案 sinx2. (2008全国2第21题)设函数f (x)=.2 cosx(I)求f (x)的单调区间；(n)如果对任何 x > 0 ,都有f (x) < ax，求a的取值范围.【解析】(I)略；(n)令 g (x) = ax 一 f (x),则(因为g(0)=0且g(x)>0对任意的x恒成立，则g ' (0)之0 ,若g '(0) = 0 ,则由图像知x = 0必为函数的极小值

5、点，则g ' ' (0)> 0 o此题由g ' (0)之0得a >13 ,此类型的题目常常非常特殊，在x = 0单增，也在(0,2评增。)法一：当12 cos x 11 2 cosx 1 cosx -1 2a qg(x)W(荔/3 一 F=(2 + cos 工 0所以g(x/(。，" 用增，则g (x) > g(0) = 0恒成立。当0 <ac1时，g '(0)= a -1 < 0, g '”)=a+1 > 0，则g ' (x府(0,依泌有零点，设 33最小的零点为x0 ,则当x 0 (0, x0肘，

6、g'(x)<0,即g(x)在(0, x0弹减，从而当x运(0, x0 )时，g(x)< g(0)=0 ,与题设矛盾。1综上：a的取值范围是J_, -fee I._3法二：(f (x)< ax几何意义很明显，即 y = f (x)图像恒在y = ax下方，因为y = f (x步 y = ax恒过(0,0)，则直线的斜率 a大于y = f (x心x = 0处切线斜率，而此类型的题目常常非常特殊，y = f (x )在x = 0处切线斜率最大。)2g (x); a 一 (2 cosx)2 cosx -1'(由这个结构联想到二次式结构或利用均值不等式的结构) + a-

7、cosx 3323=a 2 cosx (2 cosx)1(或令则t一441 )t =2 cosx 1, g (x) = a - t -1 2 t 2 6t 9 = a -9 一 a - 3(2 )t 7 6故当 A 1时，A .a 3 g (x)0又 g (0) =0 ,所以当 x 2 0 时，g (x) > g (0) = 0 ,即 f (x) < ax .1当 0 <a < 3 时，令 h(x) = sin x 一 3ax，则 h'(x) = cos x 一 3a .x 三 I。arccos a h (x) 0 h(x)0 arccos 3故当 ，时， .因

8、此 在，上单调增加.故当 x w (0, arccos 3a)时，h(x) > h(0) = 0 ,即 sin x > 3ax .于是，当x w (0, arccos 3)时,| Tt 1穴匚- >0>a_ I,222f (x)= sin x 孙 ax .2 cosx 3全国卷高考数学分析及应对(淘宝的博约书斋店铺)一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基本问题，转化为这些基本问题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数范围。1因此，a的取值范围是 +，代 |_3点评：这样的题目，全国卷多次考查，但也有例外，如下。变式：已知函数 f x = ax -

9、cos x, x三10,二11 1) 讨论f (x同调性；2 2)若f (x ) E 1+sin x恒成立,求 a的取值范围点评：此题如果改为 f (x)5:1 +sin x,解法如上。函数可以改为 ax < 1 + sin x - cos x,由图像容易得到答案。三、直接转化为最值且极值点易求由f '(沏)=0得沏=%a),得到单调区间和最值f (x0 )之0 ,全部消掉，得到关于的超越不等式，找零点找单调性即可。3 .已知函数 f (x) = ln(ax +1) -xf1 , a，R .(1)若f(x)在x=1时取到极值，求a的值及f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)当

10、x之0时，f(x)2ln 2恒成立，求a的取值范围.解析：(1) f' (x) =aax 12ax2 + a -2(1 x)2 (ax 1)(1x)2, f (x)在x =1时取到极值,f '(1) =0 ,解得 a =1故在x =1处的切线方程为:y = In 2ax2 a - 2(2)由定义域知：ax +1 > 0对于x之0恒成立，可得a之0 f'(x)=-aa(ax 1)(1 x)2当a = 0时，在(0,十叼 上，f '(x) < 0恒成立，所以此时 f (x)在(0,收)递减注意到f (2) = 13 < 0 < ln 2 ,故

11、此时f (x)之ln 2不恒成立当a22时，在区间(0,y)上，f' (x) > 0恒成立，所以此时 f(x)在(0,也)递增f(x)2 f (0)= 1 > ln 2, 故此时f (x) > ln 2恒成立当0 <a < 2时，f(x)的单调减区间为(0, 2 a),单调增区间为 v： af (x)在x 2 -a处取得最小值，只需f (/a )之ln 2恒成立 'a a2_ 2 -a2 -a a设 f ( ' a ) = g(a) = ln( a(2 -a) 1) i 2 a (0 : a : 2)设 t = ：2 -a (0,二)，m(

12、t) = f( 2a) =ln( _2L 1) Lta a'a t 2 i i t田(111£】+ 工=2 lnt +1) ln(t2 +1)-1 2j2 +1 一 1 +t1 +t_ 4t2ml (t) =(1 +t)2 (t2) < 0 , m(t)在(0,f)递减，又 m(1) = ln 2所以t旬即J2二a < 1，解得1 <a < 2综上可知,若f(x)*ln 2恒成立，只需a的取值范围是L) 四、直接转化为最值且极值点不易求假设存在极值点 x0 ,使得f'(x0 ) = 0成立，得到a = %x ),还需要求出x0范围，即a =中(

13、沏)的定义域，在f (x0 )之0中消掉a ,利用函数单调性求 x0范围。4 .已知函数 f (x ) = 2ex (xa)2+3, aWR.(1)若函数y=f(x)的图象在x = 0处的切线与x轴平行，求a的值;(2)若x之0, f(x )之0恒成立，求a的取值范围.解：(1) f'(x ) = 2 (ex x+a ), y =f (x )的图象在x = 0处的切线与x轴平行，即在x =0处的切线的斜率为0,即f'(0) = 2 (a +1) = 0,， a = 1(2) f' xO=2(ex-x+a),又令 h(x)= 2(exx+a),则 h,x)=2(ex-1)

14、 >Qh(x)在0, +8止单调递增,且 h(0)=2(a+1).当aA 1时，f'x)>0值成立，即函数f(x)在0, +8上单调递增， 从而必须满足f(0) = 5-a2>Q解得、754.5,又a> 1,， 14与5.当 a<1 时,则存在 x0>0,使 h(x0)=0 且 xC(0, x。)时,h(x)<0,即 f'x)<0,即f(x)单调递减，xC(x0, + 8肘,h(x)>0 ,即f'x)>0,即f(x)单调递增.f(x)min = f(x0)= 2ex0一 仅0-a)2+3、Q又 h(xc)= 2

15、(ex? 0x0+ a)= 0,从而 2 ex0 (ex0)2 + 3之0,解得 0<xc<ln 3.由 ex0=x。一a a=x。一ex。，令 M(x)=xex, 0<x<In 3则 M'x)=1ex<0,M(x)在(0, In 3上单调递减，则 M(x)加l(ln 3) = ln 3-3,又 M(x)<M(0) = - 1,故 In 33 念<1.综上，In 33、Hk五、多变量问题，对函数的转化5. (2015 新课标 2)设函数 f(x)= emx + x 2 mx .(1)证明：f (x庐(-00 , 0)单调递减，在(0, +00

16、)单调递增；(2)若对于任意x 1, x2W-1,1,都有| f(x 1)-f(x 2)|< e-1,求m的取值范围。【解析】(1) f'(x) = m(emx1 ) + 2x,注意到 f'(0) = 0当 m >0 时，当 x w (乜0), emx -1 <0 , f ' (x)c0 ,当 x 0 (0,收),emx -1 >0 , f '(x)>0当 m <0时，当 x w (-oo,0), emx -1 >0 , f ' (x)<0 ,当 x 0 (0,收),emx -1 <0 , f 

17、9;(x)>0对任意的 m , f (x产(-g , 0)单调递减，在(0, +如i)单调递增（观察：当m t收产时，显然不 成立，而m = 1,-1时，成立，猜想m 1-1,11）(2)任意 x1? x2 可-1,1,都有 | f(x 1 )-(x 2) |<e-1 成立= f(x)max -f(x)min We1f 1 - f 0 一 e -11m _ m 一 e -1T，即中f -1 - f 0 £ e T 即 mM e -1 I设函数 g (t ) = et - t - e +1 ,则 g ' (t ) = et -11所以g(t堆(-°0,0冲

18、减，在(0,六°弹增，注意到g(1 ) = 0, g(1 ) = e +2 e <0 ,当t w 1,1 ，恒有 g (t ) M 0 ,所以当 m w 1,1 时，g(m)< 0, g (- m)< 0当 m >1 时，g(m )>0 ,即 e m - m > e -1 ,当 m <一1 时，g( m)>0 ,即 e + m > e 1,综上：m的取值范围是 1,126. ( 2010 年辽丁)已知函数 f (x) = (a +1) ln x + ax +1(I)讨论函数f (x)的单调性；(II )设 a <-1.如果对任意x1,x2w (0,+=c) ,| f (x1)- f (x21)> 4 |x1 x2 |,求 a 的取值范围。点评：对于第(II )问，假设 x1 < x2 ,打开绝对值，把相同变量放一边，则构造出相同的结构，得到函数的单调性，从而利用导数的正负求出参数的范围。六、多参数问题，利用不等式消元，构造新函数17. (2012 年全国新课标)已知 f(x)满足 f(x)= f'(1)ex， f (0)x +- x2；2 若f (x)x