第3章 结构地震反应分析

1、版权所有：颜军第三章 结构地震反应分析与地震作用分析宿迁学院 建筑工程系土木工程教研室 颜军 2013年9月版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军( )y t版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军( )0my tcyky版权所有：颜军( )0my tcyky/wk m22ccwmkm2( )20y twyw y版权所有：颜军2( )20y twyw y221(0.05,0.02)4(1)0RCS 12( )(sincos)ty teCtCt21 版权所有：颜军12( )(sincos)ty teCtCt1 10020

2、00100()/ttyyCyyVCyy000( )cossintyyy teytt版权所有：颜军000( )cossintyyy teytt00( )cossinyy tytt( )sin()y tAwt22002yAy/k m100ytgy版权所有：颜军( )sin()y tAwt2( )sin()2( )()y tAty ty t2Tkm1122kfTm版权所有：颜军000( ) wtywyy tey Cosw tSinw tw2Tw21wwwTT( )x t版权所有：颜军1.02222rrrCCw mkmCw mkm1.0(0.05,0.02)CSwwR2/TTmk版权所有：颜军2Tw1

3、122wkfTm11()/ststkwmmkG kmg kgw版权所有：颜军2/Tm k2433222229.8(/)()()/9.81/9.8/2/2/EINmmKNmLmFNmNsmam sNsmNNkgNsmgm sTm ksNmFNKm版权所有：颜军st2T33kEImml33EIkl版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军0( )( )Im x tx t ( )Skx t ( )Dcx t 版权所有：颜军0( )( )( )( )0m x tx tkx tcx t0( )( )( )( )mx tkx tcx tmx t 0( )mx t 20( )2( )( )( )x tx t

4、x tx t 版权所有：颜军20( )2( )( )( )x tx tx tx t 2( )2( )( )0 x tx tx t(0)(0)( ) (0) txxx texCostSint版权所有：颜军20( )2( )( )( )x tx tx tx t 版权所有：颜军0(0)x版权所有：颜军(0)(0)0 x tx t瞬时冲量作用后的瞬间，瞬时冲量作用后的瞬间，0,( )(1)xmvP t dt m( )vP t dtl瞬时作用的解瞬时作用的解有初始速度、没有初始位移的自由振动的解有初始速度、没有初始位移的自由振动的解(0)(0)( ) (0)tdddxxx texCostSint(0)(

5、 ); (0)0 xvP t dt xl瞬时冲量作用后时刻瞬时冲量作用后时刻t t体系位移反应为体系位移反应为( )( )tddP t dtx teSint版权所有：颜军F上述瞬时荷载上述瞬时荷载P(tP(t) )的作用时刻在的作用时刻在t=0t=0，对应于，对应于时刻的瞬时荷载时刻的瞬时荷载，上述位移反应变换为：上述位移反应变换为：()0( )( )()()tddxx teSintdt 版权所有：颜军()001( )( )()ttddx txeSintd 21dF体系在整个地震作用过程中的位移反应可以看作是上体系在整个地震作用过程中的位移反应可以看作是上述瞬时荷载所引起微分位移的叠加述瞬时荷

6、载所引起微分位移的叠加“每天都是新的开每天都是新的开始始”，即，即l该积分即著名的杜哈曼（该积分即著名的杜哈曼（DuhamelDuhamel) )积分。积分。式中式中, , 为有阻尼自振圆频率，因一般为有阻尼自振圆频率，因一般=00.1=00.1，d d，单质点体系相对位移，单质点体系相对位移x(t) x(t) 为：为：()001( )( )()ttddx txeSintd 版权所有：颜军20( )2( )( )( )x tx tx tx t(0)(0)( ) (0)tdddxxx texCos tSin t()001( )( )()ttddx txeSintd 0)0(, 0)0(xx总结总

7、结齐次方程的解齐次方程的解非齐次方程的解非齐次方程的解杜哈梅积分杜哈梅积分初始条件：相对地面静止初始条件：相对地面静止所以微分方程的解就是特解所以微分方程的解就是特解()001( )( )()ttddx txeSintd 版权所有：颜军单自由度体系地震反应分析过程单自由度体系地震反应分析过程建立微分动力方程建立微分动力方程20( ) 2( )( )( )x tx tx tx t相对位移反应相对位移反应x(t)x(t)()01( )( )()ttcx txeSintd 相对速度反应相对速度反应v(t)v(t)上式对时间求导，并上式对时间求导，并忽略高阶阻尼的影响忽略高阶阻尼的影响可得可得()00

8、( )( )()ttx txeCostd 版权所有：颜军求绝对加速度反应求绝对加速度反应( () )20( ) 2( )( )( )x tx tx tx t由体系振动微分方程由体系振动微分方程可得质点的绝对加速度可得质点的绝对加速度( () )20( )( )( )2( )( )a tx tx tx tx t如果如果忽略上述方程右边的阻尼项忽略上述方程右边的阻尼项，则，则2()00( )( )( )()tta tx txeSintd版权所有：颜军上述上述4 4式表明，对于可以简化为单自由度体系的结构，只要式表明，对于可以简化为单自由度体系的结构，只要知道地面加速度时程知道地面加速度时程 ，以及

9、结构本身的频率特性，以及结构本身的频率特性 和阻和阻尼特性尼特性 ，就可以计算出结构的各种反应（速度、加速度、，就可以计算出结构的各种反应（速度、加速度、位移反应）。位移反应）。( )x tFF因此，结构地震反应是地震动特性和结构动力特性两方因此，结构地震反应是地震动特性和结构动力特性两方面因素的综合体现，即结构的地震反应同时包含了地震动面因素的综合体现，即结构的地震反应同时包含了地震动和结构体系两者的特性。在结构地震作用计算时，应考虑和结构体系两者的特性。在结构地震作用计算时，应考虑两者的影响。两者的影响。版权所有：颜军FF注意理解注意理解FF自由振动自由振动初始位移、初始初始位移、初始速度

10、速度FF瞬时作用振动瞬时作用振动初始速度引初始速度引起的自由振动起的自由振动FF地震反应地震反应一系列瞬时作用一系列瞬时作用的积分的积分FF方法方法达朗贝尔原理、杜哈达朗贝尔原理、杜哈梅积分、高等数学（求解微分方梅积分、高等数学（求解微分方程）程）版权所有：颜军思考思考地震如何作用于结构，形成等效荷载地震如何作用于结构，形成等效荷载? ? 地震引起惯性力地震引起惯性力0( ) ( )( )F tm x tx t0( )( )( )( )mx tkx tcx tmx t ( )( )( )( )F tkx tcx tkx t 因此因此1( )( )( )x tF tF tk可以理解为可以理解为地

11、震作用产生的相对位移地震作用产生的相对位移是惯性力引起的，因此可以将惯性力理解为是惯性力引起的，因此可以将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载。一种能反映地震影响的等效荷载。版权所有：颜军惯性力（等效荷载）的大小惯性力（等效荷载）的大小2()0( )( )( )()ttca tx txeSintd()00( )( )( )()ttF tma tmxeSintd 在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大值在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大值0max()00max( )( )22( )()ttFm x tx tmxeSintdTT因此，将地震作用通过因此，将地震作用通过等效荷载形

12、式传递到结构等效荷载形式传递到结构F F版权所有：颜军3.4 3.4 弹性地震反应谱弹性地震反应谱3.4.1 3.4.1 单自由度体系地震反应向反应谱的转化单自由度体系地震反应向反应谱的转化设计中往往是最关心地震时程中结构地震反应的最大值。如果用设计中往往是最关心地震时程中结构地震反应的最大值。如果用S SD D表示最大相对位移，表示最大相对位移，S SV V表示最大相对素的，表示最大相对素的，S SA A表示最大绝对加速度，表示最大绝对加速度，注意到下列公式，有注意到下列公式，有相对位移反应相对位移反应x(t)x(t)()01( )( )()ttcx txeSintd 相对速度反应相对速度反

13、应v(t)v(t)()00( )( )()ttx txeCostd 版权所有：颜军求绝对加速度反应求绝对加速度反应( () )2()00( )( )( )()tta tx txeSintd各变量的最大值各变量的最大值()max0max1( )( )()ttDcSx txeSintd()max00max( )( )()ttVSx txeCostd()0max00max2( )( )( )()ttASx txtxeSintdT如果地面运动加速度如果地面运动加速度 给定，上述地震反应的最大值将是给定，上述地震反应的最大值将是结构动力特性（结构动力特性（ 和和 ）的函数。）的函数。0()x t 版权所

14、有：颜军()max0max1(, )( )( )()ttDcSx txeSintd ()max00max(,)( )( )()ttVSx txeCostd 20max( )( ), ADSx tSx t 只要地震加速度时程、结构的阻尼比只要地震加速度时程、结构的阻尼比已知，对于一个给定的频率，即可分别已知，对于一个给定的频率，即可分别算出该频率下的三个地震反应参数的最算出该频率下的三个地震反应参数的最大值。如果频率沿横坐标轴不断变化，大值。如果频率沿横坐标轴不断变化，就可以计算出一条最大（就可以计算出一条最大（S SD D，S SV V，S SA A）与频率的关系曲线，改曲线称作反应谱。与频率

15、的关系曲线，改曲线称作反应谱。相对位移反应谱相对速度反应谱绝对加速度反应谱版权所有：颜军弹性地震反应谱弹性地震反应谱是指具有一定阻尼的单自由度弹性体系的地震是指具有一定阻尼的单自由度弹性体系的地震最大反应最大反应（包括（包括S SD D、S SV V、或、或S SA A）与体系）与体系自振周期自振周期的关系曲线。的关系曲线。一次地震记录一组反应谱一次地震记录一组反应谱()2max0max( )( )()22TttDcTTSx txeSintd()max00max2( )( )()2ttTVTSx txeCostd()20max00max2( )( )( )()2TttATSx txtxeSin

16、tdT决定因素决定因素阻尼比、地震加速度特性（振幅、频谱、持续时间）阻尼比、地震加速度特性（振幅、频谱、持续时间）版权所有：颜军加速度反应谱形成过程示意加速度反应谱形成过程示意()20max00max2( )( )( )()2TttATSx txtxeSintdT版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军3.4.2 3.4.2 地震反应谱的特性地震反应谱的特性地震反应谱是极其复杂的多峰点的曲线，地震反应谱是极其复杂的多峰点的曲线，较小的阻尼就能使反应谱的峰点削较小的阻尼就能使反应谱的峰点削平很多平很多（见图示）。（见图示）。加速度反应谱在短周期部分上下跳动比较大，但是加速度反应谱在短周期部分上

17、下跳动比较大，但是当周期稍长时，就显示出当周期稍长时，就显示出随周期增大逐渐减少的趋势。随周期增大逐渐减少的趋势。反应谱与地震加速度记录（地震波）三个特性相关：反应谱与地震加速度记录（地震波）三个特性相关： 地震波峰值地震波峰值地震烈度衡量；地震烈度衡量； 地震波持续时间地震波持续时间地震特性；地震特性； 地震波频谱特性：各频率分量所占比例与场地有关，场地可过滤或放大某地震波频谱特性：各频率分量所占比例与场地有关，场地可过滤或放大某些频率的地震波分量。些频率的地震波分量。版权所有：颜军版权所有：颜军3.5 3.5 标准反应谱标准反应谱地震时结构经受的最大地震作用：地震时结构经受的最大地震作用：

18、F FEKEK0max0maxAEKAxSFmSmgkGxg其中：其中：0maxASx动力系数动力系数表征结构反应表征结构反应0maxxkg地震系数地震系数表征地震强度表征地震强度版权所有：颜军地震系数地震系数k k0maxxkg 由上式知，它表示是地面运动加速度峰值与重力加速度的由上式知，它表示是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值；比值； 地震系数与地震烈度有关；地震系数与地震烈度有关； 根据抗震规范规定，烈度与根据抗震规范规定，烈度与k k值对应关系如下：值对应关系如下： 实际地震可能大很多倍。实际地震可能大很多倍。基本烈度基本烈度6 67 78 89 9设计基本地震加设计基本地震加速度

19、值速度值0.050.05g g0.100.10（0.150.15）g g0.200.20（0.300.30）g g0.400.40g g表表3.2.2 3.2.2 抗震设防烈度和设计基本地震加速度值得对应关系抗震设防烈度和设计基本地震加速度值得对应关系( (抗抗-2010)-2010)基本烈度基本烈度6 67 78 89 9地震系数地震系数k k0.050.050.100.10（0.150.15）0.200.20（0.300.30）0.400.40版权所有：颜军地震系数地震系数k k0maxASx()20max00max2( )( )( )()2TttATSx txtxeSintdT 物理意义

20、物理意义：由上式可知，动力系数表示体系地震反应最大：由上式可知，动力系数表示体系地震反应最大绝对加速度对地面运动最大加速度的放大倍数，绝对加速度对地面运动最大加速度的放大倍数，表征结构的表征结构的放大作用放大作用。 动力系数反应谱动力系数反应谱加速度反应谱除以地面运动加速度峰值，加速度反应谱除以地面运动加速度峰值，二者曲线形状完全一致，又称二者曲线形状完全一致，又称反应谱反应谱； 反应谱与地震烈度无关，就可以利用所有不同烈度地区反应谱与地震烈度无关，就可以利用所有不同烈度地区的地震记录进行统计，还需考虑地震持续时间、地震频谱特的地震记录进行统计，还需考虑地震持续时间、地震频谱特性的影响，即还须

21、考虑地震特性、场地特性的影响。性的影响，即还须考虑地震特性、场地特性的影响。版权所有：颜军标准反应谱标准反应谱 产生的工程背景：产生的工程背景：由于地震由于地震的随机性，影响地震动的因素的随机性，影响地震动的因素复杂多变，因此，即使在同一复杂多变，因此，即使在同一地点、同一烈度，由不同地震地点、同一烈度，由不同地震记录（加速度记录）给出的地记录（加速度记录）给出的地震动反应谱往往表现得非常离震动反应谱往往表现得非常离散（如右图），不便于工程应散（如右图），不便于工程应用。用。 标准反应谱标准反应谱根据大量的强震记录计算出对应于每一根据大量的强震记录计算出对应于每一条强震记录的条强震记录的反应谱

22、曲线反应谱曲线，然后将不同地震动记录的，然后将不同地震动记录的反应谱曲线反应谱曲线加以统计平均（均值反应谱），即得到标准反加以统计平均（均值反应谱），即得到标准反应谱。应谱。版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军3.5 3.5 标准反应谱标准反应谱设计反应谱的概念设计反应谱的概念 产生的工程背景：产生的工程背景：从工程设计角度，人们希望得到从工程设计角度，人们希望得到具有一定具有一定安全程度安全程度的地震力规定，设计反应谱便是基于这种需要产生的；的地震力规定，设计反应谱便是基于这种需要产生的； 在在标准反应谱标准反应谱基础上，各规范（国家、地区）根据各自的情基础上，各规范（国家、地区）根据

23、各自的情况，提出用于指导设计的设计反应谱。况，提出用于指导设计的设计反应谱。版权所有：颜军在研究与应用中，应该认清设计反应谱、标准反应谱与地震反在研究与应用中，应该认清设计反应谱、标准反应谱与地震反应谱之间的概念差异。应谱之间的概念差异。 地震反应谱主要反映了地震动频谱特性地震反应谱主要反映了地震动频谱特性 标准反应谱是地震反应谱的统计分析和数学处理标准反应谱是地震反应谱的统计分析和数学处理 设计反应谱则是在标准反应谱基础上对设计地震力的一种规定设计反应谱则是在标准反应谱基础上对设计地震力的一种规定 三者都同一在反应谱是单质点体系最大地震反应关于结构周期三者都同一在反应谱是单质点体系最大地震反

24、应关于结构周期（频率）的变化曲线这已反应谱的普遍定义上来。（频率）的变化曲线这已反应谱的普遍定义上来。版权所有：颜军版权所有：颜军E KFkGG抗震规范采用的设计反应谱抗震规范采用的设计反应谱地震影响系数地震影响系数 为便于一般工程设计，抗震规范引入地震影响系数为便于一般工程设计，抗震规范引入地震影响系数； 并采用地震影响系数曲线作为设计加速度反应谱。并采用地震影响系数曲线作为设计加速度反应谱。 我国抗震规范定义地震影响系数我国抗震规范定义地震影响系数为作用于单质点弹性体系为作用于单质点弹性体系上的水平地震作用于该质点的重力之比，即上的水平地震作用于该质点的重力之比，即0max0maxAAEK

25、AxSSFmSmgGGxgg 物理意义：物理意义：表示体系地震作用于重力的相互关系；表示体系地震作用于重力的相互关系； 地震影响系数反应谱地震影响系数反应谱实质是一种加速的反应谱。实质是一种加速的反应谱。版权所有：颜军 关键点一关键点一加速度反应谱的特点加速度反应谱的特点场地土的特性场地土的特性场地卓越周期场地卓越周期版权所有：颜军 关键点二关键点二加速度反应谱的特点加速度反应谱的特点震级震级震级（烈度）高，峰值相近，长周期部分提高；震级（烈度）高，峰值相近，长周期部分提高；震中距震中距当烈度基本相同时，震中距远时，加速度反应当烈度基本相同时，震中距远时，加速度反应谱的峰点偏于较长周期，近时则

26、偏于较短周期谱的峰点偏于较长周期，近时则偏于较短周期版权所有：颜军 关键点三关键点三合成合成版权所有：颜军抗震规范抗震规范20102010规定：建筑结构的地震影响系数应根据烈度、规定：建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比等因素，按场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比等因素，按下图的设计反应谱确定。下图的设计反应谱确定。专门研究专门研究图图5.1.5 5.1.5 地震影响系数曲线地震影响系数曲线一地震影响系数；一地震影响系数；maxmax一地震影响系数最大值；一地震影响系数最大值；1 1一直线下降段的下降斜一直线下降段的下降斜率调整系数；率调

27、整系数；衰减指数；衰减指数；T Tg g一特征周期；一特征周期；2 2阻尼调整系数；阻尼调整系数；TT结构自结构自振周期振周期maxmaxmaxmax0,1= k=k0.452.25T 刚体版权所有：颜军反应谱曲线的描述参数反应谱曲线的描述参数max12,gT 版权所有：颜军的确定的确定maxmaxmaxk基本烈度基本烈度6789地震系数地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40的确定的确定max 地震资料统计结果表明，动地震资料统计结果表明，动力系数最大值与地震烈度、地力系数最大值与地震烈度、地震环境影响不大，根据对四类震环境影响不大，根据对四类场地土的场地土的max

28、max分析可知，各类分析可知，各类场地的场地的maxmax相近，当阻尼比为相近，当阻尼比为0.050.05时，规范取时，规范取maxmax=2.25.=2.25.该该系数消除了烈度的影响，便于系数消除了烈度的影响，便于分析。分析。版权所有：颜军maxmaxk表5.1.4-1水平地震影响系数最大值地震影响地震影响6 6度度7 7度度8 8度度9 9度度多遇地震多遇地震0.040.040.080.08（0.120.12）0.16(0.24)0.16(0.24)0.320.32罕遇地震罕遇地震0.280.280.500.50（0.720.72）0.90(1.20)0.90(1.20)1.401.40

29、注：括号中数僮分别用于设计基本地震加速度为0. 15g和0.30g的地区。特征周期特征周期TgTg的确定的确定特征周期反映场地类别、场地分组的影响；特征周期反映场地类别、场地分组的影响；根据场地类别和设计地震分组按下表采用根据场地类别和设计地震分组按下表采用设计地震分设计地震分组组场地类别场地类别0 01 1第一组第一组50.250.350.350.450.450.650.65第二组第二组00.300.400.400.550.550.750.75第三组第三组0.300.300.350.350.450.450.650.650.900.90版权所有：颜军

30、阻尼系数的调整阻尼系数的调整当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定：0.050.90.3 610.050.024 3220.0510.08 1.6 版权所有：颜军阻尼系数的调整阻尼系数的调整 除有专门规定外，建筑结构的阻尼比应取0.05，地震影响系数曲线的阻尼调整系数应按1.0采用，形状参数应符合下列规定： 1)直线上升段，周期小于0.1s的区段。 2)水平段，自0.1s至特征周期区段，应取最大值(max)。 3)曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。 4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系

31、数应取0.02。版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军3.6 3.6 多自由度体系地震反应分析多自由度体系地震反应分析版权所有：颜军3.6.1 3.6.1 多自由度体系地震反应微分方程的建立多自由度体系地震反应微分方程的建立一一 两个自由度体系运动方程两个自由度体系运动方程版权所有：颜军隔离体受力分析隔离体受力分析x x2 2x x1 1mm2 2mm1 1c c2 2k k2 2c c1 1k k1 1mm2 222( )m x t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx t1 1( )cx t1 1( )k x t1 1( )mx t221( )( )c x t

32、x t221( )( )k x tx tmm1 1mm2 222( )m x t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx t版权所有：颜军111111221221( )( )( )( )( )( )( )0m x tc x tk x tcx tx tkx tx t建立隔离体平衡方程建立隔离体平衡方程质点质点mm1 1质点质点mm2 21 1( )cx t1 1( )k x t1 1( )mx t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx tmm1 1mm2 222( )m x t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx t2

33、2221221( )( )( )( )( )0m x tc x tx tk x tx t版权所有：颜军1 11211212222( )() ( )() ( )( )( )0m x tcc x tkkx tc x tk x t111111221221( )( )( )( )( )( )( )0m x tc x tk x tcx tx tkx tx t22221221( )( )( )( )( )0m x tc x tx tk x tx t建立方程组建立方程组进行变换进行变换22222 1222 1( )( )( )( )( )0m x tc x tc x tk x tk x t1 1121121

34、2222( )() ( )() ( )( )( )0m x tcc x tkkx tc x tk x t进行变换进行变换22222 1222 1( )( )( )( )( )0m x tc x tc x tk x tk x t版权所有：颜军1200mMm 1122112212222222( )( )( )0( )( )( )x tcccx tkkkx tmx tccx tkkx t1 11211212222( )() ( )() ( )( )( )0m x tcc x tkkx tc x tk x t方程形式方程形式22222 1222 1( )( )( )( )( )0m x tc x tc

35、 x tk x tk x t运动方程的矩阵表达运动方程的矩阵表达 12xxx 12xxx 12xxx 版权所有：颜军 12211122221221221112222122ccccccccc ckkkkkkkkk k ( )( )( )0mx tcx tkx t 1122112212222222( )( )( )0( )( )( )x tcccx tkkkx tmx tccx tkkx t令令运动方程组为运动方程组为版权所有：颜军 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t有地震有地震 加速度输入加速度输入 12211122221221221112222122ccccccccc

36、ckkkkkkkkk k1200mMm 12xxx 12xxx 12xxx 版权所有：颜军二二 三个自由度体系运动方程三个自由度体系运动方程221 ()()c x tx t221 ()()k x tx t2 2()mx t332( )( )c x tx t332( )( )k x tx tmm2 2mm2 233( )m x t332( )( )c x tx t332( )( )k x tx t隔离体受力分析隔离体受力分析x x1 1mm2 2mm1 1c c2 2k k2 2c c1 1k k1 1x x2 2x x3 3mm3 3c c3 3k k3 31 1( )cx t1 1( )k

37、x t1 1( )mx t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx tmm1 1版权所有：颜军建立平衡方程建立平衡方程221 ()()c x tx t221 ()()k x tx t2 2()mx t332( )( )c x tx t332( )( )k x tx tmm2 222232332 1232332 1( )()( )( )( )()( )( )( )0m x tcc x tc x tc x tkk x tk x tk x t建立方程组建立方程组22232332 1232332 1( )()( )( )( )()( )( )( )0m x tcc x tc x

38、 tc x tkk x tk x tk x t111111221221( )( )( )( )( )( )( )0m x tc x tk x tcx tx tkx tx t3333323332( )( )( )( )( )0m x tc x tc x tk x tk x t版权所有：颜军 ( )( )( )0mx tcx tkx t矩阵形式矩阵形式123mMmm 123xxxx 123xxxx 123xxxx 122111222332122233332331221112223321222333323300000000ccccccccccccccccckkkkkkkkkkkkkkkkk版权所有：

39、颜军有地震加速度输入有地震加速度输入123mMmm 123xxxx 123xxxx 123xxxx 122111222332122233332331221112223321222333323300000000ccccccccccccccccckkkkkkkkkkkkkkkkk 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t版权所有：颜军三三 n n个自由度体系运动方程个自由度体系运动方程 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t12nmmMm12nxxxx 12nxxxx 12nxxxx 11121222122232233(1)(1)1112122212223

40、2233(1)(1)0000000000000000000000000000nnnn nnnnnnnnn nnnnnccccccccccccccccccckkkkkkkkkkkkkkkkkkk版权所有：颜军 ( )( )( )0mx tcx tkx t2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX3.6.2 3.6.2 多自由度体系自由振动特性多自由度体系自由振动特性（一）频率方程及自振频率（一）频率方程及自振频率对于对于2 2自由度体系，自由度体系，忽略阻尼的影响忽略阻尼的影响1122()()xX SintxX Sint1 111 11222221 1222()0()0

41、m xk xk xm xk xk x 2()0kmX微分方程的解的形式微分方程的解的形式带入微分方程，得带入微分方程，得用矩阵表示用矩阵表示版权所有：颜军 20km2221122112212211212()()0kkk kk kmmm m（二）两个自由度体系的自振频率（二）两个自由度体系的自振频率 两个方程，三两个方程，三个未知数，不个未知数，不能全部求解能全部求解 克莱姆法则克莱姆法则2111122212220kmkkkm2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX2211221122112212211,212121211()()22kkkkk kk kmmmmm m

42、 解该方程，得解该方程，得版权所有：颜军2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX21211111112XmkXk22212112112XmkXk2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX（三）主振型及其特点（三）主振型及其特点FF将求得的频率将求得的频率1 1和和2 2代入上述方程组，可求质点代入上述方程组，可求质点1 1，2 2的位移幅值的比值。对应于的位移幅值的比值。对应于1 1的用的用X X11 11和和X X1212表示；表示；对应于对应于2 2的用的用X X2121和和X X2222表示。表示。l l对应于对应于1 1l l对应于

43、对应于2 2常数常数版权所有：颜军1111112121( )()( )()xtX SintxtX Sint 111211XXX212121111111112( )( )xtXmkxtXk222221211212112( )( )xtXmkxtXkl l对应于对应于1 1 可得可得l l同样地，同样地，对应于对应于2 2，有，有 212221XXX 当体系按照某一自振频率振动时，当体系按照某一自振频率振动时，体系中所有质点位移在任体系中所有质点位移在任意时刻的比值保持不变意时刻的比值保持不变，这种振动形式称为，这种振动形式称为主振型主振型。 主振型一般将其中一个质点对应量记为主振型一般将其中一个

44、质点对应量记为1 1，其余按比例确，其余按比例确定定特征向量的归一化。特征向量的归一化。版权所有：颜军 2()0kmX12n 任一多自由度体系的任一多自由度体系的运动微分方程运动微分方程 克莱姆法则克莱姆法则上述齐次线性方程组要存在非零解，必须上述齐次线性方程组要存在非零解，必须 20km上式即为多自由度体系的上式即为多自由度体系的频率方程频率方程，通过对该方程的求解即可，通过对该方程的求解即可求得求得n n个频率方程的正实根，即为个频率方程的正实根，即为n n 个自由度体系的所有个自由度体系的所有n n个自振圆个自振圆频率。频率。12n自振频率数量与自由度的个数相等。频率的排列顺序由大到小，

45、自振频率数量与自由度的个数相等。频率的排列顺序由大到小，最小的称最小的称基本频率基本频率，对应的周期称，对应的周期称基本周期基本周期。基本频率基本频率版权所有：颜军1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47关键点关键点当体系按某一主振型振动时，这个当体系按某一主振型振动时，这个多自由度体系实际上就像一个单自由度体系在振多自由度体系实际上就像一个单自由度体系在振动。主振型就是多自由度体系能够按照单自由度动。主振型就是多自由度体系能够按照单自由度振动所具有特定形式。振动所具有特定形式。版权所有：颜军 主振型的几点说明主振型的几点说明线性代数线性代数线性方程组（微分方程组

46、）、特征值（圆频线性方程组（微分方程组）、特征值（圆频率）、特征向量（主振型）。率）、特征向量（主振型）。在一般情况下，在一般情况下，n n个自由度体系的振动可以看作是个自由度体系的振动可以看作是n n个不个不同频率的主振型的组合振动，各个主振型所占比例随时间同频率的主振型的组合振动，各个主振型所占比例随时间变化，总体表现为复杂的振动形式。变化，总体表现为复杂的振动形式。多自由度体系能够按照某一主振型自由振动的条件是：初多自由度体系能够按照某一主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度与主振型相对应。始位移和初始速度与主振型相对应。举例：多声部大合唱举例：多声部大合唱.版权所有：颜军版权所有：

47、颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军212122222222( )()( )()xtX SintxtX Sint2111111121211211( )()( )()xtX SintxtX Sint 主振型及其正交性主振型及其正交性111111121212( )()( )()xtX SintxtX Sint2212212222222222( )()( )()xtX SintxtX Sint 第一振型第一振型第二振型第二振型版权所有：颜军版权所有：颜军22121112121222()() 0mX Xm X X虚功原理虚功原理第一状态的力在第二状态的位第一状态的力在第二状态的

48、位移上所作的功等于第二状态的力移上所作的功等于第二状态的力在第一状态的位移上所作的功。在第一状态的位移上所作的功。11121212220m X Xm X X2211112121122222122121222212mX XmX XmX XmXX 121111222221111122221112121222210000TmXXXmXXX mX mXm X Xm X XXmX版权所有：颜军 110Tjkn nnnXmXjk对于多自由度体系对于多自由度体系 21110TTjkjkkn nnnnXkXXmXjk 0Mxkx 21kkkn nnkXmX忽略阻尼影响忽略阻尼影响两边左乘两边左乘 1TjnX版

49、权所有：颜军 110Tjkn nnnXkXjk 110Tjkn nnnXmXjk振型正交性振型正交性 振型具有相互独立性振型具有相互独立性某一振型在振动过程中在其他振型某一振型在振动过程中在其他振型上不做功，所以它的动能不会转移到别的振型上，即它不会引上不做功，所以它的动能不会转移到别的振型上，即它不会引起和改变别的振型振动。起和改变别的振型振动。 主振型的正交性是多自由度体系自由振动的一个重要特性，主振型的正交性是多自由度体系自由振动的一个重要特性，也是多质点体系地震反应分析的重要工具。也是多质点体系地震反应分析的重要工具。版权所有：颜军多自由度体系振型的计算方法多自由度体系振型的计算方法矩

50、阵迭代法矩阵迭代法StodolaStodola法法运动方程矩阵表达式运动方程矩阵表达式 22()0kmXkXmX 12XkmX 利用迭代的办法逐步逼近的方法求振型和结构的频率利用迭代的办法逐步逼近的方法求振型和结构的频率版权所有：颜军 12XkmX 计算步骤计算步骤计算结果计算结果假定假定计算计算反复迭代，直反复迭代，直到到 (0)1111X 1(1)211111Xkm ( )(1)11nnXX ( )1nXX根据正交性计算根据正交性计算xx2 2xxn n 特点特点误差积累，利用正交性求解，由低到高；对高振型误差较大。误差积累，利用正交性求解，由低到高；对高振型误差较大。 反复迭代反复迭代计

51、算工作量较大，编程计算计算工作量较大，编程计算 实际结构分析中，由于考虑主要前几个振型，所以误差积累的影响不大，实际结构分析中，由于考虑主要前几个振型，所以误差积累的影响不大，可以采用。可以采用。版权所有：颜军3.6.3 3.6.3 运动方程的解运动方程的解振型分解法振型分解法运动方程组运动方程组 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t 方程组中每一个方程包含所有未知量方程组中每一个方程包含所有未知量X X1 1XXn n，联立求解，联立求解实现困难实现困难解决办法解决办法方程解耦方程解耦 当体系按照某一主振型振动时，这个多自由度体系当体系按照某一主振型振动时，这个多自由

52、度体系实际上就像一个单自由度体系在振动。主振型就是多实际上就像一个单自由度体系在振动。主振型就是多自由度体系能够按照单自由度振动所具有的特定形式。自由度体系能够按照单自由度振动所具有的特定形式。版权所有：颜军因此，当振型确定以后，结构的反应因此，当振型确定以后，结构的反应 和和 就可就可以通过广义坐标来确定，而广义坐标相当于各振型所以通过广义坐标来确定，而广义坐标相当于各振型所占总体变形的比例。占总体变形的比例。广义坐标法广义坐标法变量代换变量代换对于二自由度体系，质点对于二自由度体系，质点1 1和和2 2在地震作用下任意时在地震作用下任意时刻的位移刻的位移x x1 1(t)(t)和和x x2

53、 2(t)(t)可以用两个振型的组合来表示：可以用两个振型的组合来表示：11112212112222( )( )( )( )( )( )x tq t Xq t Xx tq t Xq t X原来的未知量原来的未知量 和和 ；新的未知量为新的未知量为 和和 ，表示两个振型在任意时，表示两个振型在任意时刻所占比例，是时间的函数。刻所占比例，是时间的函数。广义坐标广义坐标 和和 替代原来坐标替代原来坐标 和和 ，定义，定义为广义坐标。为广义坐标。1( )qt2()q t1( )qt2()q t1( )x t2( )x t1( )x t2( )x t1( )x t2( )x t版权所有：颜军对于多自由度

54、体系，同样可以建立广义坐标对于多自由度体系，同样可以建立广义坐标q q1 1(t)q(t)qn n(t)(t)11( )( )njjijx tq t X xXq其中其中 12jnn nXXXXX 121Tjnnxxxxx 121Tjnnqqqqq版权所有：颜军 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t 阻尼的处理阻尼的处理为了使方程解耦，假定阻尼矩阵为质量阻为了使方程解耦，假定阻尼矩阵为质量阻尼和刚度阻尼的线性组合，即尼和刚度阻尼的线性组合，即 12cmk xXq将上述两公式带入运动方程，得到：将上述两公式带入运动方程，得到： 120()1( )mXqmkXqkXqmx t

55、 此即为用广义坐标表示的运动方程。此即为用广义坐标表示的运动方程。版权所有：颜军 120()1( )mXqmkXqkXqmx t 两边左乘两边左乘 TjX 120()1( )TTjjTTjjXmXqXmkXqXkXqXmx t 利用振型的正交性利用振型的正交性 110Tjkn nnnXkX 110Tjkn nnnXmX版权所有：颜军 120()1( )TTjjTTjjXmXqXmkXqXkXqXmx t 1212TjTjjnjnTjjjXmXqqqXmXXXXqqXmXq TTjjjjjXmXqXmXqM版权所有：颜军利用振型的正交性，同样可以得到下列关系利用振型的正交性，同样可以得到下列关系

56、 22()0jjjkmXkXmX TTjjjjjXkXqXkXqK 2TTjjjjjjjXkXqXmXq 1212212()()TjTTjjjjjjTjjjjXmkXqXmXqXkXqXmXq 版权所有：颜军 120()1( )TTjjjjTTjjjXmXqXmkXqXkXqXmxt TTjjjjXmXqXmXq TTjjjjXkXqXkXq 12212()()TjTjjjjXmkXqXmXq 221201TjjjjjjTjjXmqqqxXmX 2TTjjjjjjjXkXqXmXq版权所有：颜军 221201TjjjjjjTjjXmqqqxXmX 令令 1211nTijijijTnjjijii

57、m XXmXmXm X11njjijX2122jjj 最终得到最终得到202(1,2,. )jjjjjjjqqqxjn 版权所有：颜军 最终得到最终得到n n个微分方程，只有一个未知数个微分方程，只有一个未知数q qj j，将联立方程，将联立方程组解耦成功。因此，问题转变为求组解耦成功。因此，问题转变为求q qj j，而，而q qj j的解法与单自由的解法与单自由度体系地震反应分析求解方法类似。度体系地震反应分析求解方法类似。202(1,2,. )jjjjjjjqqqxjn ()00( )( )()tjtjjjq txeSintd 20( )2( )( )( )x tx tx tx t ()0

58、1( )( )()ttcx txeSintd 回顾单自由度解回顾单自由度解版权所有：颜军()00()00( )( )()1( )( )()( )( )tjtjjjttjjjjjjq txeSintdtxeSintdq tt 11( )( )( )nnijjijjjijjx tq t Xt X版权所有：颜军11( )( )( )nnijjijjjijjx tqt Xt X()001( )( )()ttjjjtxeSintd 1211nTijijijTnjjijiim XXmXmXm X振型参与系数振型参与系数主要参数主要参数jjiX版权所有：颜军?j2122jjj 2121112122222j

59、121221122212211222212()2() 试验确定试验确定12版权所有：颜军11( )( )( )nnijjijjjijjx tqt Xt X 根据上述公式，可以求得多自由度体系在地震作用根据上述公式，可以求得多自由度体系在地震作用下的位移反应，从而能进一步求得加速的和速度反应。下的位移反应，从而能进一步求得加速的和速度反应。 需要计算的参变量主要是多自由度体系的各阶振型需要计算的参变量主要是多自由度体系的各阶振型的频率、阻尼比、振型、振型参与系数。的频率、阻尼比、振型、振型参与系数。 所以关键是所以关键是动力特性（振型、阻尼比、频率）动力特性（振型、阻尼比、频率）的计算和试验确定

60、。的计算和试验确定。版权所有：颜军 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t 振型分解反应法复习振型分解反应法复习FFWHY?WHY?为什么需要振型分解法？为什么需要振型分解法？ 多自由度地震反应分析多自由度地震反应分析 单自由度单自由度直接求解；直接求解； 双自由度双自由度得到两个位移反应的比值，得到振型、但无法得到两个位移反应的比值，得到振型、但无法得到各质点的地震反应；得到各质点的地震反应； NN个自由度个自由度NN个方程耦合形成个方程耦合形成NN元二次微分方程，即：元二次微分方程，即：有有NN个方程，每个方程中有个方程，每个方程中有NN个未知量，无法直接得到各个振个