数学期望上课用学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)期望上课用期望上课用第一页，共24页。某学校为了了解交通拥堵对学生们上学迟到的影响情况，某学校为了了解交通拥堵对学生们上学迟到的影响情况，每天记录由于每天记录由于(yuy)交通问题迟到的同学人数，下表是交通问题迟到的同学人数，下表是100天中每天由于天中每天由于(yuy)交通原因迟到人数的情况交通原因迟到人数的情况人数人数0123天数天数 30 30 20 20那那么这么这所所学学校每天平均有多少校每天平均有多少(dusho)人由于交通人由于交通原因原因迟迟到呢？到呢？计算计算100天中记录的迟到总和是：天中记录的迟到总和是： 0 x30+1x30+2x20+3x2

2、0=130第2页/共24页第二页，共24页。平均平均(pngjn)每天迟到的人数为：每天迟到的人数为：3 . 1100130100203202301300上式改写(gixi)成3 . 12 . 032 . 023 . 013 . 00100203100202100301100300第3页/共24页第三页，共24页。人数和对应频率人数和对应频率(pnl)列表为列表为概率可以理解为频率的稳定值所以概率可以理解为频率的稳定值所以(suy)随随机变量机变量X的概率分布列：的概率分布列：X0123P1031031021023 . 11023102310311030X迟到人数迟到人数0123频率频率 0.

3、3 0.3 0.2 0.2第4页/共24页第四页，共24页。1 1、离散、离散(lsn)(lsn)型随机变量取值的平均值型随机变量取值的平均值一般地一般地,若离散若离散(lsn)型随机变量型随机变量X的概率分布为的概率分布为:nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或的均值或数学期望数学期望.它反映了离散型随它反映了离散型随机变量取值的机变量取值的平均水平平均水平.P1xix2x1p2pipnxnpX第5页/共24页第五页，共24页。1 1、甲、乙两名射手一次射击中的得分为、甲、乙两名射手一次射击中的得分为(fn wi)(fn wi)两个两个相互独立的随机变量

4、相互独立的随机变量 与与 , ,且且 ， 的分布列为的分布列为甲、乙两名射手谁的射击水平更高？甲、乙两名射手谁的射击水平更高？ 1 2 3 P0.30.10.6 1 2 3 P0.30.40.32、随机变量、随机变量(su j bin lin)的分布列是的分布列是47910P0.3ab0.2E=7.5,则则a= b= .0.40.1甲, 2)(, 3 . 2)(EE第6页/共24页第六页，共24页。例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不分，罚不中得中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则，则他罚球他罚球1次的得分次

5、的得分(d fn)X的均值是多少？的均值是多少？X=1或或X=0P(X=1)=0.7X X1 10 0P P0.0.7 70.0.3 31 0.70 0.30.7EX 第7页/共24页第七页，共24页。一般地，如果随机变一般地，如果随机变量量X服从两点分布，服从两点分布，那么那么EX=？10 (1)EXppp 一般地，如果一般地，如果(rgu)(rgu)随机变量随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX )1(01小结小结(xioji)：第8页/共24页第八页，共24页。例例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中

6、得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到）求他得到(d do)的分数的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望。的期望。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 2 EX7 . 03第9页/共24页第九页，共24页。如果如果XB（n，p），那），那么么EX=？一般一般(ybn)地地,如果随机变量如果随机变量X服从二项分服

7、从二项分布，即布，即XB（n,p），则），则小结小结(xioji)：npEX 练一练练一练: : 一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄个黄球球,从中有放回地取从中有放回地取5次次,则取到红球次数的数学则取到红球次数的数学(shxu)期望是期望是 .3第10页/共24页第十页，共24页。 求证求证(qizhng):若若B(n，p)， 则则E= npE =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(=k)= Cnkpkqn-k证明证明(zhngmng)：=np(Cn-10p0qn-1+

8、Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0( k Cnk =n Cn-1k-1)= np(q+p)n-1=np所所以以(su(suyy) )若若B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 第11页/共24页第十一页，共24页。例例3.一个袋子里装有大小一个袋子里装有大小(dxio)相同的相同的3 个红球和个红球和2个黄球，个黄球，从中摸出从中摸出3个球个球.（1）求得到黄球个数）求得到黄球个数的分布列；的分布列；（2）求）求的期望。的期

9、望。解解：(1) 服从超几何服从超几何(j h)分布分布012P032335C CC122335C CC212335C CC163(2)0121.2101010E 小结小结(xioji)：一般地一般地, ,如果随机变量如果随机变量X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的超几的超几何分布何分布, ,则则 NnMXE第12页/共24页第十二页，共24页。1 1、如果随机变量、如果随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pEX 2、如果、如果(rgu)随机变量随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则

10、），则npEX 3 3、如果随机变量、如果随机变量X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的超几何的超几何(j h)(j h)分布分布, ,即即X XH(n,M,N),H(n,M,N),则则NnMEX 第13页/共24页第十三页，共24页。设离散设离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量 的概率分布为的概率分布为 则的数学期望(qwng)（均值） Ex1p1x2p2xnpn第14页/共24页第十四页，共24页。设设 a ab b，其中，其中a a，b b为常数，则为常数，则 也是随机变量也是随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)其分布列为其分布列为 Ex1p

11、1x2p2xnpnx1x2xnax1+bax2+baxn+bPP1P2Pn即即 E(ab)aEbax1+bax2+baxn+bPP1P2Pn第15页/共24页第十五页，共24页。1、随机变量、随机变量(su j bin lin)的分布列是的分布列是135P0.50.30.22.45.8第16页/共24页第十六页，共24页。例例1：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数的值分别对应试验所得的点数.X分别是什么，分别是什么， X 取每个取每个值的概率值的概率(gil)分别是多少？分别是多少？则则XP1

12、 12 26 65 54 43 3161616161616解：随机变量解：随机变量(su j bin lin)X的取值有的取值有1、2、3、4、5、661)6(61)5(61)4(61)3(61)2(61)1( XPXPXPXPXPXP27616655644633622611EX题后小结题后小结(xioji)：答题规：答题规范性范性第17页/共24页第十七页，共24页。数学数学(shxu)(shxu)期望的应用期望的应用-决策问题决策问题第18页/共24页第十八页，共24页。解：分析本题考查离散型随机变量的分布列,准确把握随机变量的取值是解题的关键.解 用x1、x2和x3分别表示(biosh)

13、三种方案的损失.采用第一种方案,无论有无洪水,都损失3 800元,即x1=3 800.采用第二种方案,遇到大洪水时,损失2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,损失2 000元,即 同样,采用第三种方案,有 于是,Ex1=3 800,Ex2=62 000P(x2=62 000)+2 000P(x2=2 000)=62 0000.01+2 000(1-0.01)=2 600,Ex3=60 000P(x3=60 000)+10 000P(x3=10 000)+0P(x3=0)=60 0000.01+10 0000.25=3 100.采用方案二的平均损失最小,所以可以选择方案二.第1

14、9页/共24页第十九页，共24页。13（20092009年北京市高考第年北京市高考第1717题：共题：共1313分）分）某学生在上学路上要经过某学生在上学路上要经过4 4个路口，假设在各路口个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是遇到红灯时停留的时间都是2min.2min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望的分布列及期望. .=38第20页/共24页第二十页，共24页。02468P40432c解：随机变量解：随机变量(su j bin

15、lin) 的取值有的取值有0、2、4、6、83143231C222432)31(C133432)31(C44431CEX0 +2 +4 +6 +8 40432c3143231C222432)31(C133432)31(C44431C=38第21页/共24页第二十一页，共24页。附加练习附加练习. .某商场的促销决策：某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利(hu (hu l)2l)2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利(hu l)10(hu l)10万元万元；如遇下雨可则损失；如遇下雨可则损失4 4万元。万元。6 6月月1919日气象预报端午节下雨的概日气象预报端午节下雨的概率为率为40%40%，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？解解: