高考数学复习专题-坐标系与参数方程（解析版）

1、专题22 坐标系与参数方程【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】（1）C的直角坐标方程为；的直角坐标方程为；（2）【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为的直角坐标方程为（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）C上的点到的距离为当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题求解本题中的最值问题通

2、常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题【母题来源二】【2018年高考全国卷理数】在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程【答案】（1）的直角坐标方程为；（2）的方程为【解析】（1）由，得的直角坐标方程为（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离

3、为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点综上，所求的方程为【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，结合图形，将曲线相交的交点个数问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而求得结果.【母题来源三】【2017年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为为参数）.（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距

4、离的最大值为，求【答案】（1），；（2）或【解析】（1）曲线的普通方程为当时，直线的普通方程为由解得或从而与的交点坐标为，（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为当时，的最大值为由题设得，所以；当时，的最大值为由题设得，所以综上，或【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性可求得参数的值【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题2.理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义

5、进行解题.【命题规律】高考中以解答题的形式考查参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，难度不大，熟练应用互化公式、理解参数的几何意义即可顺利解决.【答题模板】解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为：第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外，当直线经过点P(x0,y0) ，且直线的倾斜角为，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1+t2，t1·t2，得到|AB|=|t1-t2|=.【方

6、法总结】1参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法;加减消元法;恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x,y的值.一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的问题，常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan(x0)4参

7、数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.5几种常见曲线的参数方程（1）圆以O（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中是参数当圆心在（0，0）时，方程为，其中是参数（2）椭圆椭圆的参数方程是，其中是参数椭圆的参数方程是，其中是参数（3）直线经过点P0（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是，其中t是参数1【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.（1）求的普通方程和

8、的直角坐标方程；（2）若曲线与交于，两点，的中点为，点，求的值.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）3.【解析】（1）曲线的普通方程为.由，得曲线的直角坐标方程为.（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），代入，化简得，所以，.因为点对应的参数为，所以.【名师点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、参数方程、普通方程的互相转化，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义2【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）

9、过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）消去参数，可得曲线的普通方程为，即，由，得曲线的极坐标方程为.（2）显然直线的斜率存在，否则无交点.设直线的方程为，即.而，则圆心到直线的距离.又，所以，解得.所以直线的方程为或.【名师点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、参数方程的互化、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力以及数形结合思想.3【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学】在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线

10、的极坐标方程为，它与曲线的交点为，与曲线的交点为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），普通方程为，化为极坐标方程为.（2）联立与的极坐标方程：，解得点的极坐标为，联立与的极坐标方程：，解得点的极坐标为，所以，又点到直线的距离，故的面积.【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程的互化，极径的几何意义，联立曲线与直线的极坐标方程求出交点的坐标是解题的关键.4【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学】已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）

11、求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为.【解析】（1）将代入，可得直线的直角坐标方程为.（2）曲线上的点到直线的距离，其中，.故曲线上的点到直线的距离的最大值为，曲线上的点到直线的距离的最小值为.【名师点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.5【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（

12、2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于，两点，证明：为定值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）见解析.【解析】（1）由题意，可得，则曲线的直角坐标方程为.直线的极坐标方程展开为，故直线的直角坐标方程为.（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为（为参数），代入：，得，所以，为定值.【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力6【江西省南昌市江西师范大学附属中学201

13、9届高三三模数学】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，是曲线上两点，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将的参数方程化为普通方程得：，由，得的极坐标方程为：，将点代入中得：，解得：，代入的极坐标方程整理可得：，的极坐标方程为：.（2）将点，代入曲线的极坐标方程，得：，.【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程的互化、极坐标中的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的变为，从而使问题得以求解.7【山东省聊城市2019届高三三模】在平面直角坐标系中，以为极点，轴

14、的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，倾斜角为的直线经过点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）,（为参数）；（2）.【解析】（1）由可得，即.设点，则，即点，直线的参数方程为（为参数）.（2）将直线的参数方程代入得，恒成立，设点对应的参数为，点对应的参数为，则，则.【名师点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，考查直线的参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二）】已知直线l：(t为参数)，曲线(为参数)

15、（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）易得l的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得l与的交点为,，则. （2）的参数方程为（为参数)，故点的坐标是，从而点到直线l的距离是，由此知当时，取得最小值，且最小值为.【名师点睛】本题考查了参数方程与一般方程的转化，并运用参数方程求解距离的最值问题，需要灵活运用三角恒等变换的知识.9【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正

16、半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于、两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的直角坐标为，求的值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，由直线的参数方程得直线的普通方程为.（2）将直线的参数方程代入，化简并整理，得.因为直线与曲线分别交于、两点，所以，解得，由一元二次方程根与系数的关系，得，又因为，所以.因为点的直角坐标为，且在直线上，所以，解得，此时满足，故.【名师点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程中t的几何意义，准确计算是关键.10【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）】在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，