计算方法复习习题

1、第1章 误差三、重、难点分析例1. 近似值的误差限为（ ）。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.解 因 ，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 。或，其误差限为 所以 答案为B.例2. 已知，求的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限： 所以（绝对）误差限为，也可以取。一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 。相对误差限： 所以，相对误差限例3 .已知 求近似值的误差限，准确数字或有效数字。解 由 误差限为 因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，准确到位的近似数。注意：当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。例4

2、. 已知近似数求的误差限和准确数位。解 因， 所以 准确到 位。准确到位。注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。第2章 线性方程组直接解法三、重、难点分析例1 用列主元消元法的方程组 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得 回代解得 第3、4章 插值与拟合三、重、难点分析例1 已知用线性插值计算，并估计误差。解 取插值节点x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为 故有 误差为 例3已知的函数表 x012y8-7.5-18 求在0，2内的零点近似值。解 因为yi关于x严格单调减少，用反

3、插值法求f(x) 零点的近似值比较简单，具体作法如下：先作反函数表 x8-7.5-18y012 将节点x0=8,x1=-7.5，x2=-18及对应函数值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得于是得f(x)在0，2内零点值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在a,b上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例4 已知数表：1233.87.210求最小二乘一次式。解 设最小一次式为，由系数公式得： 于是有法方程组 解法方程组得 所以最小二乘一次式 例5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。 解 令 由 得法方程组 解得 所以最小二乘解为 例6

4、已知插值基函数，证明 ：当时，证明：令 ， 则有 因为，所以。第5章 数值积分三、重、难点分析例1 在区间上，求以为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得 所以求积公式为例2求积公式的代数精确度为（ ）。 解 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。 令，代入内插求积公式得 左边=，右边， 所以 左边=右边 再令，代入内插求积公式得 左边=，右边= 所以 左边右边所以此公式具有3次代数精度。例3 用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解 （1） 梯形公式 因为 ，代入梯形公式得 则 （2） 复化梯形公式 因为 和复化梯形公式得 因为 ， ， 所以 注意：在用复化梯形公式

5、和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。例4 用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 ，使误差小于解 （1） 辛卜生公式 因为，代入辛卜生公式得 4（2） 复化辛卜生公式 因为解不等式 得 ，用，复化辛卜生公式计算得 例5 设为内插求积公式系数 证明 证明：设 ，因为 所以 。第6章 常微分方程数值解法三、重、难点分析例1 用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值问题，在（0.1）0.2近似解解 （1）用欧拉法计算公式，计算得 （2）用预估校正法计算公式计算得 ，例2 已知一阶初值问题 求使欧拉法绝对稳定的步长h值。解 由欧拉法公式相减得 当 时，时，有欧拉法绝对稳定。例3 欧拉法的局部截断

6、误差的阶为 。改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。第十章 非线性方程求根三、重、难点分析例1 证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解 （1）因计算等于求正根，代入切线法迭代公式得 (2) 设，因 所以 在上 由 ，选用上面导出的迭代公式计算得 例3 用割线法，一般迭代法求的最小正根（求出即可）。解 （1）用割线法因，故，在上，取 ，用割线法迭代公式，计算得 （2）用一般迭代法因，故在上将，同解变形为 则 取 应用迭代公式 ，计算得 第8章 线性方程组的迭代解法三、重、难点分析例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。 解 ，例2 证明 证明 因为 所以例3 已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数。解 ，例4 已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解 （1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。（3）取， 由迭代公式计算得 ， ， ， ， 则 =（， ，）例5 用高斯塞德尔迭代法解方程组 （1）证明