第七章二次曲线的射影性质

1、 两个古老而美丽的定理两个古老而美丽的定理. 内容包括两个定理及其内容包括两个定理及其逆定理逆定理, 以及它们的各种极限、退化形式以及它们的各种极限、退化形式. 有着重要有着重要的应用意义！的应用意义！简单六点形简单六点形654321AAAAAA简记为：简记为：123456三双对边三双对边12, 45；23, 56；34, 61(间隔间隔(n2)/2条边条边)简单六线形简单六线形654321aaaaaa简记为：简记为：123456一、一、Pascal定理与定理与Brianchon定理定理 定理定理4.7(Pascal) 定理定理4.7(Brianchon) 定理定理4.8(Pascal逆定理逆

2、定理) 定理定理4.8(Brianchon逆定理逆定理)Pascal线线Brianchon点点一、极点与极线一、极点与极线 在二次曲线理论中十分重要在二次曲线理论中十分重要, 与二次曲线的大部分重要性质与二次曲线的大部分重要性质有关有关. 只讨论二阶曲线只讨论二阶曲线, 总假定：非退化总假定：非退化.设设) 1 (. 0| ,0:31,ijjiijjijiijaaaxxaS定义定义7.1 两点两点P, Q关于关于 共轭共轭. (如图如图) 定理定理7.13 点点P关于关于 的共轭点的轨的共轭点的轨迹为一条直线迹为一条直线Sp=0. 证明证明 设设P(pi), Q(qi). 则则PQ与与 : S

3、=0的交点的交点M(pi+ qi)满满足足. 022pppqqqSSS设两根为设两根为 1, 2. 则交点为则交点为Mj( pi+ jqi)(j=1,2). 于是于是(PQ, M1M2)= 1 1/ 2= 1 1+ 2=0 200.pqpqqqSSS将将qi 改为流动坐标改为流动坐标xi , 得得P关于关于 的共轭点的轨迹为直线的共轭点的轨迹为直线Sp=0.一、极点与极线一、极点与极线定理定理7.13 点点P关于关于 的共轭点的轨迹为一条直线的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.推论推论7.5 两点两点P, Q关于关于 共轭共轭Spq=0. 即即注注2 P在在 上上, 则则Spp=0, 规定规定：

4、 上的点关于上的点关于 自共轭自共轭.注注1 验证两点验证两点P, Q关于关于 共轭共轭, 只要验证上式只要验证上式. 0),(321332313232212131211321qqqaaaaaaaaappp2. 极点与极线极点与极线定义定义7.7 对于点对于点P, 若若P则称则称P关于关于 的的共轭点轨迹共轭点轨迹pP切线切线p为为P关于关于 的的极线极线, 方程为方程为Sp=0. 反之反之, 称称P为直线为直线p关于关于 的的极点极点.一、极点与极线一、极点与极线 推论推论7.6 平面上任一点平面上任一点P关于关于 的极线存在唯一的极线存在唯一, 方程方程为为Sp=0. 反之反之, 平面上任

5、一直线平面上任一直线p关于关于 的极点存在唯一的极点存在唯一. 证明证明 只要证后半只要证后半. 设直线设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求求u关关于于 的极点的极点. 设设P(pi)为其一个极点为其一个极点. 由于由于P(pi)的极线唯一存在为的极线唯一存在为Sp=0, 从而从而u与与Sp=0为同为同一直线一直线, 即即2. 极点与极线极点与极线一、极点与极线一、极点与极线2. 极点与极线极点与极线)0(332211uxSuxSuxSppp即即.0,1,2,3.iipSuix二、配极变换二、配极变换1. 配极变换配极变换定义定义7.9 称由称由)18. 4(. 0| , 3 ,

6、 2 , 131ijjiijjjijiaaaixau决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 : S=0的的配极变换配极变换.注注2 任一非退化二阶曲线任一非退化二阶曲线 都决定了平面上的一个配极变换都决定了平面上的一个配极变换.)18. 4(0, 0|333223113332322211223132121111ijaxaxaxauxaxaxauxaxaxau 注注1 (4.18) 即即表示点表示点x与直线与直线u是关于是关于 : S=0的极点极线关系的极点极线关系.注注4非异实对非异实对称矩阵类称矩阵类非退化非退化二阶曲线二阶曲线配

7、极变换配极变换二、配极变换二、配极变换1. 配极变换配极变换 注注 本定理为配极变换最基本的几何性质本定理为配极变换最基本的几何性质. 定理定理7.14(配极原则配极原则)点点P关于关于 的极线的极线p通过点通过点Q点点Q关于关于 的极线的极线q通过点通过点P. 定理定理7.14(配极原则配极原则) 直直线线p关于关于 的极点的极点P在直线在直线q上上直线直线q关于关于 的极点的极点Q在直线在直线p上上.一、二阶曲线的奇异点一、二阶曲线的奇异点1. 定义定义 定义定义7.20 若点若点P0(p0i)的坐标是方的坐标是方程组程组) 1)(, 3 , 2 , 1,(031ijjiijjjijaia

8、axa秩的非零解的非零解, 则称则称P0为二阶曲线为二阶曲线 ：31,0jijiijxxa的一个的一个奇异点奇异点. 注注1. P0为为 的奇异点的奇异点 P0在在 上上, 且且Sp0=0. 注注2. : S=0有奇异点有奇异点|aij|=0 为退化为退化的的. 注注3. 若秩若秩(aij)=2, 则则 有唯一奇异点；若秩有唯一奇异点；若秩(aij)=1, 则则 有无穷多的奇异点有无穷多的奇异点, 构成一条直线构成一条直线.2. 性质性质 (1). 定理定理7.24. 上一点上一点P为奇异点为奇异点P与与 上任一点连线上的上任一点连线上的点都在点都在 上上.二、二阶曲线的射影分类二、二阶曲线的

9、射影分类1. |aij| 0,秩秩(aij)=3.再作一次仅改变单位点的射影坐标变换再作一次仅改变单位点的射影坐标变换3 , 2 , 1,|1 ixaxiiiiS=0又可化为又可化为. 0 2 32 22 1xxxS去掉去掉“ ”之后之后, 由于由于齐次性齐次性及及x1, x2, x3的的平等性平等性, 只有两种情只有两种情况况. 0233322222111xaxaxaS2221230.xxx实二阶曲线（长圆曲线）虚二阶曲线（零曲线）. 0232221xxx综上综上, 非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种标准方程标准方程之一之一.二、二阶曲线的射影分类二、二

10、阶曲线的射影分类2. |aij|=0,秩秩(aij)=2. 退化为两条相交直线退化为两条相交直线m1,m2 取新的射影坐标系如图所示取新的射影坐标系如图所示, 的方的方程可化为程可化为. 02221xx即即一对相交实直线. 02221xx一对共轭虚直线. 02221xx一对相交实直线. 02221xx 综上综上, 当二阶曲线当二阶曲线 退化且秩为退化且秩为2时时, 其方程必可化为其方程必可化为上述两种上述两种标准方程标准方程之一之一.二、二阶曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类3. |aij|=0,秩秩(aij)=1. 退化为一条完全由奇异点构成的直线退化为一条完全由奇异点构成的直线. 取此直

11、线为取此直线为坐标三点形的一边坐标三点形的一边, 比如比如A2A3, 则则S=0必可化为必可化为一对重合实直线 . 021x 综上综上, 当当 退化且秩为退化且秩为1时时, 的方程必可化为上述的方程必可化为上述标准方程标准方程. 由以上讨论由以上讨论, 二阶曲线被分成二阶曲线被分成5个等价类个等价类, 属于同一等属于同一等价类的二阶曲线的方程必可化为上述价类的二阶曲线的方程必可化为上述5种标准方程之一种标准方程之一.一、二阶曲线与无穷远直线的关系一、二阶曲线与无穷远直线的关系 定义定义7.21 对于任意的二阶曲线对于任意的二阶曲线 , 若若 交交l 于两个于两个相异的实点相异的实点重合的实点重

12、合的实点共轭的虚点共轭的虚点, 则称则称 为为双曲型双曲型的的抛物型抛物型的的.椭圆型椭圆型的的若若 非退化非退化, 则称为则称为双曲线双曲线抛物线抛物线.椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线椭圆椭圆约定约定 本节与下节本节与下节, 仅在仅在射影仿射平面射影仿射平面上讨论上讨论, 即指定即指定 l : x3=0.一、二阶曲线与无穷远直线的关系一、二阶曲线与无穷远直线的关系设设) 1 (. 1)(,0:31,ijjiijjijiijaaaxxaS秩其中其中xi为为射影仿射坐标射影仿射坐标, 则则x1, x2地位平等而地位平等而x3特殊特殊. 与与l 的交点为的交点为003xS, 0222222112

13、2111xaxxaxa解出解出x1:x2即得交点即得交点(x1,x2,0). 于是于是,对于对于x1:x2, 有两个有两个相异的实根相异的实根重合的实根重合的实根共轭的虚根共轭的虚根0003322121211Aaaaa 为为双曲型双曲型的的抛物型抛物型的的.椭圆型椭圆型的的 定理定理7.25 对于二阶曲线对于二阶曲线 : S=0, A33的符号为仿射的符号为仿射不变的不变的.由于由于l ： x3=0为仿射不变的为仿射不变的, 因此二阶曲线与因此二阶曲线与l 的相交的相交情况也是仿射不变的情况也是仿射不变的, 所以有下列定理所以有下列定理二、二阶曲线的中心二、二阶曲线的中心 定义定义7.22 l

14、 关于关于 的极点的极点C称为称为 的的中心中心. (1) 通常点通常点C为为 的中心的中心C为为 的对称中心的对称中心(即即C为过为过C的弦的中点的弦的中点). (2) 双曲线双曲线, 椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点无穷远点.双曲线双曲线椭圆椭圆有心二阶曲线有心二阶曲线. 033A无心二阶曲线无心二阶曲线抛物线抛物线. 033A因为中心因为中心C为为l 的极点的极点, 设设C(c1,c2,c3). 则中心方程组为则中心方程组为.100321332313232212131211cccaaaaaaaaa00323222112313212111ca

15、cacacacaca0021CCxSxS.:333231321AAAccc于是于是, 中心坐标为：中心坐标为：有心二阶曲线有心二阶曲线：(A31, A32, A33).无心二阶曲线无心二阶曲线：(A31, A32, 0). 即即(a12, a11, 0)或或(a22, a12, 0).易犯之错：易犯之错：A32的符号！的符号！三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径(1). 直径直径仿射定义仿射定义解几定义解几定义 无穷远点无穷远点P 的的有穷有穷远远极线极线(过中心的过中心的通常通常直线直线). 一组平行弦中点的一组平行弦中点的轨迹轨迹.(XY, ZP )= 1(2). 共轭直径共轭直径 直径直

16、径AB的共轭直的共轭直径为径为AB上无穷远点上无穷远点P 的极线的极线EF(相互通过相互通过对方极点的两直径对方极点的两直径). 直径直径AB的共轭直径的共轭直径为平行于为平行于AB的弦的中的弦的中点轨迹点轨迹EF.(XY, ZP )= 1仿射定义仿射定义解几定义解几定义(3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.l 不是任何二阶曲线的直径！不是任何二阶曲线的直径！利用中心坐标利用中心坐标, 可直接写出可直接写出 的直径方程为的直径方程为.)(012113212111bxaaybbxxaxa即为常数或者或者.)(022123222112bxaaybbxxax

17、a即为常数四、渐近线四、渐近线 1. 定义定义. 二阶曲线上无穷远点处的二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线有穷远切线称为其称为其渐近线渐近线.注注1. 等价定义等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线：过中心的有穷远切线称为渐近线.注注2. 与渐近线平行的方向称为与渐近线平行的方向称为渐近方向渐近方向.注注3.双曲线双曲线椭椭 圆圆有两条有两条实实虚虚渐近线渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线一对渐近方向；抛物线无渐近线.从而从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论渐近线只对有心二阶曲线讨论.问题：问题：在射影仿射平面上在射影仿射平面上, 给定给定) 1 (. 1)(,0:31,ijjiijjijii

18、jaaaxxaS秩适当选取射影仿射坐标系适当选取射影仿射坐标系, 将将 的方程化为的方程化为射影仿射标射影仿射标准方程准方程. 依据：依据： 的秩的秩, A33的符号的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆将双曲型、抛物型、椭圆型三类曲线进一步细分为若干射影仿射等价类型三类曲线进一步细分为若干射影仿射等价类, 得到每得到每一类的一类的标准方程标准方程. 注意：注意：由由l ：x3=0在射影仿射平面上的特殊性在射影仿射平面上的特殊性, 故在故在选取新的射影仿射坐标系时必须保持选取新的射影仿射坐标系时必须保持A1, A2总在总在l 上上.一、一、 非退化非退化|aij| 0,秩秩(aij)=3.1. A330, 有心二阶曲线有心二阶曲线. 以以A1A2A3为坐标三点形为坐标三点形, 适当选取单位点适当选取单位点E(按单位点规则按单位点规则), 建立新的仿射坐标系建立新的仿射坐标系. 0 232221xxxS注意到注意到x1, x2地位平等地位平等,