第5章-弯曲变形1

1、F挠度和转角梁的基本方程挠度和转角梁的基本方程F按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角F梁的刚度计算梁的刚度计算F简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法第五章、弯曲变形F梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.1.挠度：挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移线位移。用用 y 表示。表示。 与与 y 轴同向为正，反之为负

2、。轴同向为正，反之为负。2.2.转角：转角：横截面绕其中性轴横截面绕其中性轴转转动的角度动的角度。用。用 表示，逆时表示，逆时针转向为正，针转向为正，反之为负。反之为负。二、二、挠曲线：挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： y = y(x)三、转角与挠曲线的关系三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量dtg dyyx小变形小变形第5-1节、挠度和转角梁的基本方程挠度和转角梁的基本方程FxyC C1yy 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分1( )

3、( )M xxEI一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程()()MxyxE I 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程yxM0( )0y xyxM0( ) 0y x()()MxyxEI适用：线弹性、小变形、平面弯曲适用：线弹性、小变形、平面弯曲)(xyy 挠曲线挠曲线: :曲曲 率率: :2/32)1 ()(1yxy )(1xy 小变形小变形1y挠曲线方程的其它形式挠曲线方程的其它形式)(xMyEI S( )EIyF x (4)( )EIyq x梁的（梁的（2阶）弯矩方程阶）弯矩方程梁的（梁的（3阶）剪力方程阶）剪力方程梁的（梁的（4阶）载荷方程阶）载荷方程求解以上微分方程分别需要几个边界

4、条件？求解以上微分方程分别需要几个边界条件？()()MxyxEI等截面直梁等截面直梁 EI = 常数常数)()(xFxMS)()(xqxM 二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线）( )( )EIy xM x1( )( )dEIy xM xxC12( )( ( )d )dEIy xM xx x C x C 1.1.微分方程的积分微分方程的积分2.2.位移边界条件（变形的几何相容条件）位移边界条件（变形的几何相容条件）FABCFD转角方程转角方程挠度方程挠度方程两两次次积积分分法法支座位移约束条件：梁的某些截面位移已知支座位移约束条件：梁的某些截面位移已知连续条件：连续条件：光滑

5、条件：光滑条件：0Ay0By0Dy0DCCyyCC右左或写成CCCCyy左右或写成连续光滑性：连续光滑性：相邻梁段的相邻梁段的交接处交接处，相邻两截面应具有，相邻两截面应具有相同的挠相同的挠度和转角度和转角。FABCFD积分常数积分常数C1、C2的确定的确定在固定端，在固定端，挠度挠度和和转角转角都等于零。都等于零。yxx0，y=0， 0在铰支座上，挠度等于零。在铰支座上，挠度等于零。yx0，y=0 x在弯曲变形的对称点上，转在弯曲变形的对称点上，转角等于零。角等于零。xa， 0yx讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面

6、弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的可应用于求解承受各种载荷的等截面等截面或或变截面梁的位移变截面梁的位移。 积分常数积分常数由挠曲线变形的由挠曲线变形的几何相容条件几何相容条件( (边界条件边界条件) )确定。确定。 优点：优点：使用范围广，直接求解，较精确；使用范围广，直接求解，较精确； 缺点：缺点：计算较繁。计算较繁。例例 求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程( )()M xF xL写出梁的写出梁的微分方程并积分微分方程并积分应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数(

7、 )()EIyM xF xL 211()2EIyF xLC 3121()6EIyF xLC xC321(0)06EIyFLC 211(0)(0)02EIEIyFLC231211 ; 26CFLCFL 解：解：FLxy写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线2323( )()(3)6266FFLFLFxy xxLxLxEIEIEIEI3max( )3FLyy LEI 2max( )2FLLEI 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xyFL3121()6EIyF xLC xC231211 ; 26CFLCFL 2)2(2)(2222xLxFFLLxFEIy解：解：建立坐标系并写出弯矩方

8、程建立坐标系并写出弯矩方程() (0)( )0 ()F xaxaM xaxL写出梁的写出梁的微分方程并积分微分方程并积分2111()2F xaCEIyD 312121()6F xaC xCEIyD xD() (0)0 ()F xaxaEIyaxL xyFLa例例 求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。求图示等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数321(0)06EIyFaC 211(0)02EIFaC23112211 ; 26CDFaCDFa ()()y ay a)()(aa11DC 2121DaDCaCyFLa2111()2

9、F xaCEIyD 312121()6F xaC xCEIyD xD写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线32332()3 (0)6( )3 ()6Fxaa xa xaEIy xFaa x axLEI2max( )36Fayy LLaEI 2max( )2FaaEI 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角FLaxy312121()6F xaC xCEIyD xD2111()2F xaCEIyD 例：求均布载荷作用下简支梁的挠度和转角。例：求均布载荷作用下简支梁的挠度和转角。 2122qlEIyM xxqx 341224qlqEIyxxCxDqmaxyAB2ql2qll2346qlqEI

10、yxxC 写出梁的写出梁的微分方程并积分微分方程并积分3:024qlxlyC 0:00 xyD由边界条件求积分常数由边界条件求积分常数3(0)24AqlyEI 4max5( )2384lqlyyEI 令( )0yx，得2lx ，即max()2lyy 341224qlqEIyxxCxD2346qlqEIyxxC qmaxyAB2ql2qll323( )4624qlqqly xxxEIEIEI334( )122424qlqqly xxxxEIEIEI3( )24Bqly lEIax 1023222222126FaEIyFaxxC xDllxa21111FbEIyMxxl21112FbEIyxCl

11、3111 116FbEIyxC xDl222222FaEIyFaxxCl maxyFblFallab1x2xABCDFx222)(xlFaFaaxFxlFbIE 例、集中力作用下梁的变形分析例、集中力作用下梁的变形分析1、列出平衡方程，求出支反力、列出平衡方程，求出支反力2、列出梁的挠度的微分方程并积分、列出梁的挠度的微分方程并积分待定常数待定常数22, DC21, CC边界条件边界条件：10:x 10y 2:xl20y 连续条件：连续条件：12:xxa12yy12:xxa12yy解出：解出：221212()600FbCClblDD maxyFblFallab1x2xABCDFxba 若求最大

12、挠度和转角求最大挠度和转角max06BFablaEIl令10y 即22211026FbFbxlbEIll3221blx322max9 3FblbyEIl 当2lba3max48FlyEI 时时由030622baEIlFabblEIlFbCA 在中间必有极值ymaxyFblFallab1x2xABCDFx积分法求梁的变形关键点： 分段列弯距方程 寻找边界条件分段分段 : AB、BC、CD三段，共六个积分常数三段，共六个积分常数边界条件边界条件 0 ; 0AAy ;右左右左ccccyyPDABC 右左BByy0 Dy边界条件：边界条件：BCBAlyy , 0集中力集中力作用点，作用点，集中力偶集中

13、力偶作用点，作用点，分分布力布力的起、终点，的起、终点，铰接点铰接点为分段点。为分段点。支承条件支承条件、连续条件连续条件、光滑条件光滑条件。有。有多少积分常数就需要多少边界条件。多少积分常数就需要多少边界条件。ABC第第5-25-2节、按叠加原理求梁的节、按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角积分法优点：积分法优点：可得到挠度方程可得到挠度方程y(x)和转角和转角方程方程 (x) 。因而可求出任意。因而可求出任意截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。积分法缺点：积分法缺点：叠加原理叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 每个载荷单独作用于结构而引起的变形的

14、代数和每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和121122()()()()nnnFFFFFF121122()()()()nnny FFFy Fy FyF适用：线弹性、小变形适用：线弹性、小变形若干类荷载所引起的变形若干类荷载所引起的变形( (挠度或转角挠度或转角) ) 各单一类荷载引起的变形各单一类荷载引起的变形( (查表查表) )之和之和zBEIqLy33zBEIqL22LAPBABLqzBEIqLy84zBEIqL63APBzCEIPLy483zAEIPL162zCEIqLy38454zAEIqL243ABqL/2L/2CL/2L/2C几种常见梁的挠度和转角（附录几种常见梁的挠度和转角（

15、附录C）例例6 6 按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点点 挠度。挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。36FCFayEI 24FAFaEI4524qCqLyEI 33qAqaEI qqFF=+AAABBB CaaqFAB CqF=+AABBaa叠加叠加AFAqA2(34)12aFqaEI 435246CqaFayEIEI 36FCFayEI 24FAFaEI4524qCqLyEI 33qAqaEI 例例求By? ?EIaPyBP323BMy?ayCMCMEIaMyCCM22EIaMCCMEIa

16、MyCBM232EIPaEIaMyCB382332aaPCMABCPBPyCMCMyBMyCMBMBPByyy求图示梁截面求图示梁截面B B的挠度的挠度解：为了利用附录C的结果，可将原荷载视为图(1)和图(2)两种情况的叠加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)zBEIqLf841ABcLq图（图（1 1）图图(2) CB段段M=0，所以所以CB为直线为直线zCEIqaf842zCEIqa632)( 222aLffCCB)(68 342aLEIqaEIqafzzBABcLqa2cf2cBBBBfff21 由叠加原理由叠加原理4436434aLaLEIqz第二类叠加原理第二类叠加原理-结构叠加（逐段刚化法结构叠加（逐段刚化法) )。=+FL1L2ABCBCFL2y1y2等价等价等价等价12yyyyFL1L2ABC刚化刚化AC段段FL1L2ABC刚化刚化BC段段FL1L2ABCM逐段刚化逐段刚化法法-应用于弹性支承与简单刚架应用于弹性支承与简单刚架求梁求梁AB中点中点E 的挠度的挠度E处的挠度与下列各处的挠度与下列各部分变形有关：部分变形有关：梁梁AB自身的变形；自身的变形；刚架横梁刚架横