平面解析几何初步

1、平面解析几何初步（ 1）各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块 2-10 解析几何初步 将邀请陈光立老师主讲。 陈光立老师是苏教版高中数学教材编写组成员， 南京外 国语学校特级教师。我们知道，普通高中数学课程标准在几何内容的设置和安排上，与原数 学大纲有较大的变化， 请陈老师能谈谈新教材中解析几何内容的安排有什么变化 吗？好的。普通高中数学课程标准 （ 实验） （ 以下简称标准 ） 中，解析几何 的内容强调几何， 突出了用代数方法解决几何问题的过程， 同时也强调代数关系 的几何意义。整个解析几何内容的安排遵循“降低起点、重构基础、注重应用、 反映前沿”的指导思想，强调实际应用，注重过

2、程教学，接轨初中新课程标准。我们知道与以往教材不同， 以往的数学大纲的解析几何是安排在高二， 标 准中解析几何的内容是分层次设置的。 在所有学生都要学的必修 2 的第二章“平 面解析几何初步”中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则 放在选修系列 1-1 和系列 2-1 中，适合于文科、 理科学生都去学的， 坐标系与参 数方程作为专题内容安排在选修系列 4-4 。采用上述处理方式， 主要是为了增进学生对几何本质的理解， 培养学生对几 何学习的兴趣， 克服以往几何学习容易造成学生两极分化的弊端。 这样安排更加 方便学生， 按照自己的意愿， 来规划个人的进一步发展， 让不同的学生学出

3、不同 的数学，各有所发展，为不同发展方向的学生提供不同的基础。因此，课程标准 安排是有这个优点。也就是说，遵循了尊重学生的不同选择的这一基本理念。对，那么陈老师，必修 2 中安排了“平面解析几何初步”，这部分内容有哪些教育价值？总体上说，几何学是研究现实世界中物体的形状、 大小与位置关系的数学学 科。三维空间是人类生存的现实空间，那么，认识空间图形，要培养和发展学生 的空间想像能力、 推理论证能力、 运用图形语言进行交流的能力、 以及几何直观 能力，是高中阶段数学课程的基本要求。 那么在高中数学必修 2 包括了两部分内 容：“立体几何初步”和我们今天讲的“平面解析几何初步”两部分，这一模块 的

4、设置，正是出于上述目的。 平面解析几何初步的内容是高中数学课程的基本内 容，它的教育价值主要从以下几个方面来叙述：第一个价值是有助于学生认识数学内容之间的内在联系。大家知道，解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质， 它沟通了代数与几何之间的联系，很好地体现了数形结合的重要思想。课程标准要求学 生在解析几何初步的学习中， 经历将几何问题代数化， 处理代数问题， 分析代数 问题结果的几何含义， 解决几何问题这么几个过程。 这部分内容学习有助于学生 认识数学内容之间的一种联系， 拓宽它的视野， 丰富对数形结合思想的认识， 有 利于学生形成正确的数学观。第二个价值是有助于发展学生的直觉能力，培养

5、学生的创新精神。几何这个学科的特色是作为一种直观、 形象的数学模型， 在发展学生的直觉 能力，培养学生的创新精神方面具有它独特的无可替代的价值。 创新，源于问题， 往往发端于直觉。 在新课程领域， 我们对创新能力有足够的重视。 与数学其它分 支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探索、 创新的活动提供了更为有利 的条件。在几何当中，视觉思维占主导地位。学生在运用观察、操作、猜想、作 图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中， 获得视觉上的愉悦， 能增强探 究的好奇心，激发出潜在的创造力， 形成创新意识， 而这种意识又是十分重要的。 同时，有助于发展学生的推理论证能力、 合情推理能力、 以及

6、运用图形语言进行 表达与交流的能力。第三个价值就是有助于学生形成辩证唯物主义世界观解析几何中充满辨证法， 对立统一的法则、 量变到质变等哲学基本原理， 学 生通过解析几何的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受到 “形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的运动变化、相互联系、相 互转化的辨证唯物主义观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。陈老师，在“平面解析几何初步”内容的安排上，苏教版教材与别的版本教 材以及以往的教材有一些不同，请你简要介绍“平面解析几何初步” (苏教版 ) 的编写意图。“平面解析几何初步” (苏教版 )的编写突出了解析几何研究问题的一般方 法：

7、我们前面讲过了， 一个几何问题通过坐标的方法转化为代数问题， 我们把它 代入求解以后， 再把它还原到原来一个集合问题的结论， 就它的位置、度量关系， 在平面解析几何初步这一章里头，主要研究直线和圆的方程。这一方面的处理， 教材是以学生熟悉的问题出发， 包括生活实例、 已有的认知结构、 认知经验以及 熟悉的数学问题等以他们为背景， 按照顺序结构是 “问题情境数学活动 意义建构数学理论数学应用回顾反思” ，这条是苏教版高中教材主 要的线索，通过老师和学生共同对问题的分析和解决， 是学生感受到建立坐标系， 并用坐标、方程等知识来刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几 何的基本思想。比如说，

8、苏教版在研究直线的点斜式方程的过程当中， 首先提出一个数学问 题，说：“若直线I经过以定点A( 1, 3)，斜率2,当动点P在直线I上运 动时，点P的坐标(x , y)满足什么条件？”这是我们研究直线方程的第一个问题， 对学生而言，他的直线方程的概念是非常淡薄的，还没建立，那么，什么叫直线方程啊？我们先没给，就让学生回答一下直线上的动点坐标(x , y)满足的条件,然后让学生在充分的活动中体会直线方程的本质和求直线方程的方法。本章内容呈现， 除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外， 同时又 考虑到学生的认知规律， 通过设计相关的问题情境， 降低学习的难度， 展现了知 识的发生和发展的过程

9、。 而这种过程的呈现是十分重要的。 比如在直线斜率的呈 现过程中，我们让学生分析， 最熟悉的例子坡度入手， 比如说楼梯的坡度啊， 教室的坡度啊， 斜面的坡度等等， 通过比较， 让学生认识到斜率刻画直线倾斜程 度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系。这样就不会空穴来风， 比较自然。再比如， “空间直角坐标系”是新增内容，在编写的时候，除了遵循 解析几何研究问题的一般方法外， 又通过类比、 猜想的方法， 把平面上的知识推 广到空间。 这样处理， 不仅使学生体会到解析法的一般思路， 而且为学生留下了 较大的发展空间。大家知道，数形结合是平面解析几何初步这一章重要的数学思想。 这不仅是 因为

10、解析几何本身就是数形结合的典范， 而且在研究几何图形的性质时候， 也充 分体现“形”的直观性、“数”的一致性，体现数学的美。例如，直线和圆是学 生非常熟悉的两种图形， 学生已经知道如何从 “形”的角度分析直线和圆的位置 关系，那么，如何从“数”的角度来分析它们之间的位置关系呢？教材中对这方 面的内容采用了两个途径： 一、采用通过方程求直线与圆的交点的方法， 同时又 采用比较圆心到直线的距离与半径大小的关系来判断的两种方法来判断。这样， 在将学生所学知识加以整合和升华的同时， 也为今后学习直线和圆锥曲线的位置 关系的学习奠定了基础。解析法的思想是通过代数方法转化成好学的内容来学习， 将几何问题变

11、成有 章可循，而且能按一定的步骤或程式去推导、 求解，实际上它是设计了一种算法。 我们在编写的过程中， 充分考虑到这一点。 比如在计算点到直线的距离和推导圆 的方程的过程中， 我们写出了解决这些问题的步骤， 第一步干什么， 第二步干什 么，第三步干什么，为数学 3 里头学习算法作了铺垫。本章编写中还通过设置“思考” “阅读”等栏目，为引导学生进一步学习和 拓宽学生的思路提供了载体， 比如我们研究在空间直角坐标系下的球面方程和中 点坐标公式的时候。 为了适应不同层次学生的需要， 我们在习题和复习参考题里 增加一些探究和拓展类的问题。另外在这一章里我们还特别注意体现数学的应用价值， 在设置上，不仅

12、充分 体现解析法在解决直线和圆的问题中的重要作用， 而且充分利用这些知识解决日 常生活中的问题，比如市场经济中的平衡价格；桥梁、隧道中的数学；光线的入 射和反射等。还有，本章注意体现数学的文化价值， 比如通过设置阅读， 介绍解析几何产 生的背景和发展过程； 介绍跟解几有关的重要历史人物笛卡儿和费马的生平 以及他们对解析几何的重要贡献。这些对学生文化素养的提高都是不可或缺的。 谢谢陈老师，也就是说这一章的核心内容是解析法在研究几何内容问题的作用，本章的编写都体现这种用途。对。那么，请问陈老师，作为教材的编写者，请你就“平面解析几何初步”的教学能不能给大家提一些建议。好的，总体上说， “用代数方法

13、研究几何问题”的思想应贯穿平面解析几何 教学的始终。 要让学生在学习过程中不断地体会数形结合的思想方法。 具体的建 议分下面几点展开：第一，突出坐标方法，感悟数形结合。前面我们已经反复强调过了，解析几何的主要研究对象是直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线等等， 它们的性质及解决有关问题时， 不仅要关注这些几何对象， 更要重视研究过程中所隐含的数学方法。 其中最重要的、 处于核心位置的数学方 法当属坐标法。在这一章中， 我们是借助直角坐标系， 实现几何条件的代数化， 得到直线和 圆的方程， 是把直线和圆看成是动点的轨迹来研究的， 又在结合方程研究直线和 圆的性质。 深入理解坐标法的精髓， 所有研究对

14、象的性质将成为很显然的几何事 实，便于记忆、掌握与运用。在教学过程中， 可通过教师的引导， 让学生经历下列过程： 就是我们前面讲 过的将几何问题代数化， 用代数语言描述几何要素及其相互关系， 进而将几何问 题转化为代数问题 ;处理代数问题 ; 把结果的几何含义分析清楚， 最终解决几何问 题。通过上述活动， 使学生感受到坐标法研究问题的一般程序。 这一过程从本质 上讲也是数形结合的过程。所以在重视将“形”的问题转化为“数”的问题加以 研究的同时，也要注意到构造 “形”来体会数的本质， 开拓思路，进而解决“数” 的问题。从而在教学过程中要注意不断渗透。使学生形成一种良好的思维品质， 善于从多角度地

15、考虑问题。第二，鼓励直觉猜想，引导学生探究我们考虑到学生的接受能力， 在解析几何中的许多知识采用的是直接告知已 有的结论的方式呈现的。 教学中可引导学生经历从具体情境中得到数学模型的过 程，掌握它们的定义。当然，无论是何种猜想，在可能的情况下都应该通过方程 或建立方程加以证明，同时，也不要忽视适当运用方程等工具进行逻辑的探索， 从而从各个侧面、不同层次，提高学生的数学素养。当然，也要把握好度，不必 作过多的超越学生能力范围的探究，做到适度的形式化。在探究过程中，不必追求曲线与方程之间的对应关系的严格定义。 这一章里， 我们要求并不高，通过具体的方程来体会一下，比如说，什么是直线的方程，什 么方

16、程直线，一般的处理方法是先通过特殊曲线， 从感性上认识曲线方程的意义， 再建立一般的曲线方程的概念。 就这一章讲就是直线方程的问题， 所以我们直线 方程就是采用这样的方法来介绍的， 不必要涉及方程的解与曲线上点的对应关系 的两个方面， 因为学生毕竟还没有学充要条件等有关知识， 探究重点放在怎样建 立曲线方程及怎样用曲线的方程研究曲线的几何性质上。第三，重视方法类比，揭示内在联系。虽然在直线与圆中所研究的几何对象是有区别的， 但从思想方法的角度看却 是一脉相承的。 因此，在教学的过程中要重视类比。 让学生体会相同的方法在研 究不同对象时的作用。比如，通过解方程组可以求得两条直线的公共点的坐标；

17、同样借助方程组也可以求得直线与圆、 圆与圆的公共点的坐标。 以后在学习圆锥 曲线时，当学生研究获得了椭圆的几何性质后， 可以能过类比获得双曲线的几何 性质。这种类比的数学方法思想特别重要。第四，关注知识沟通，重在能力培养。我们知道解析几何的灵魂是 “解析” ，也就是用代数方法研究几何图形的坐 标法，这是贯穿于解析几何教学的一条主线，我们前面反复强调了。那么认识并处理好函数及其图像与曲线及其方程的联系与区别是很重要的。 虽然这两者都是以坐标系为纽带， 但函数毕竟与二元方程有着本质的区别。 举个 很简单的例子，直线x=a与函数y=f(x)的图像最多只能有一个公共点，因为函 数定义，对任意的一个 x

18、 在定义域里头有唯一的一个 y 对应，而直线 x = a 与方 程 F (x ， y) = 0 的曲线的公共点却可以超过一个。在一定条件下，曲线方程可 以转化为函数。在这里，函数与方程、函数的图像与方程的曲线实现了沟通。在 比如解决有关弦长、 图形的面积、 直线的斜率的问题中， 我们都是转化为对目标 函数的求解与研究，因此要注意知识的沟通。在重视一般方程的作用。在研究直线与圆位置关系时，常联立方程组求解， 另外不等式也有着很多应用。第五，保障学生主体，优化思维品质。所谓保障学生的主体性， 指的是树立学生的主体精神， 强化学生的主体意识， 确立学生的主体地位，发挥学生的主体作用。要特别重视学生的

19、亲身经历体验。 特别是将几何问题转化为代数问题后， 常常需要进行一定量的运算。 这些需要学 生脚踏实地地去做。一定防止只分析思路，不动笔运算，出现那种“一想就会， 一算就错”的现象。当然，但这并不意味着削弱教师的主导作用。最后一个建议要展现人文精神，体现文化价值。这个前面我们已经也提过了， 希望我们老师在教学过程中灵活地根据学情进 行采用，具体内容具体分析。这一讲，陈老师和大家讨论了平面解析几何初步这一章的教育价值、 编写意 图和教学建议，这有利于从宏观上让广大教师把握教材，指导教学设计和实践， 为进一步学习和理解，我们给出下面两个讨论题供大家参考：1. 解析几何所涉及的基本问题是什么？如何理

20、解 “平面解析几何初步”的教 育价值？2. 平面解析几何初步的教学中，应关注哪些问题？平面解析几何初步（2）各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块 2-10解析几何初步 将邀请陈光立老师主讲。首先请允许我介绍今天主讲的老师。陈光立老师是苏教 版高中数学教材编写组成员，南京外国语学校特级教师。前面已经研讨了 “平面解析几何初步”这一章的教育价值、编写意图和教学 建议，有利于从宏观上把握教材，指导教学设计。下面我们比较具体地来讨论。 首先一个问题是为什么先讲斜率再谈倾斜角呢，先探索直线方程后研究位置关 系？好的。苏教版编的解析几何的安排，与传统的教材不同，是先讲斜率后讲倾 斜角的，先讲直

21、线方程后研究直线的位置关系， 其用意都是突出用代数方法来研 究几何问题的思想，而不是像有的老师认为是必修 4三角函数没学过，不得不先 学斜率。大家知道，确定直线的几何要素可以是直线上的点和直线的倾斜程度。教材在处理这个问题过程中，直接通过问题的形式提出“直线的倾斜程度如何刻画 呢？”，揭开了解析几何研究的序幕。大家知道角的概念是一个几何的形象。而我们解析几何是想通过代数方法来 研究几何问题。所以教材是通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念，借助“增量yz-yiAy比” ，这个符号对学生是熟悉的，这个符号他们在初中数学和物理中都接触过，得到研究直线倾斜程度的量一一斜率。 有了直线的斜率公式后，我们

22、要注意：斜率公式与两点的顺序无关；也要注意对于不垂直于x轴的直线，这条直线的斜率是确定的，与所选择的直线上的两点位置无关；还要注意与x轴垂直的直线，它的斜率不存在。这样，使学生初步感受直线的方向与直线的斜 率之间的对应关系，所以斜率和我们以往的倾斜角都是刻画直线的方向，只不过斜率从数的方面来刻画，而倾斜角更偏向于几何的因素，这个目的是为了体会， 要研究直线方向的变化规律，只要研究直线的斜率的变化规律，这样显得我们解 析几何的味儿特浓。在根据斜率判定两条直线平行或垂直时，我们苏教版教材也摆脱了以往教材 借助于倾斜角并利用正切函数诱导公式进行研究的模式，利用初中平面几何中相似三角形的基本知识，就把

23、初中的“相似比”与我们这儿提到的“增量比”之间 的联系加以沟通，这样使学生在温故知新的同时，加深了学生对斜率公式（增量 比）的理解，所以我们对教材这个变化，应该从解析几何的本质就用代数方法，也就是几何问题的角度来思考，来规划我们的教学设计。当然对于先学必修 4 再学必修 2 的学校来说，我们也可以先讲倾斜角， 再讲 斜率。我们知道按照课程标准的规定，我们教材的编写意图及教材的逻辑顺序， 规定先必须学必修一，而其他必修 2，3，4，5 是可以随时定的，那么我们教材 编写的时候是按照 1,2,3,4,5 的顺序编写的， 因此这个顺序是比较合理的。 当然 考虑到必修 2 立体几何初步和解析几何初步这

24、两块内容加起来和必修 1的函数对 高一的学生分量可能大了一点儿， 所以我们有个设想， 能不能把必修 2 的平面几 何中初步这个内容先讲， 把立体几何初步放到后边儿讲， 这对高一学生也是可以 接受的。当然我们说， 回到传统方法来处理斜率和两条直线的位置关系也未尝不 可，但课本里我们花了很多力气来讲的相似比、 增量比， 就斜率的方法是非常重 要的，当中不可或缺。陈老师，直线方程是学生第一次用解析法研究曲线的尝试和实践， 请您谈谈 如何进行直线与方程的教学答：其实像你说的，直线与方程的教学是我们研究曲线与方程的一个范例， 我提的很高的程度。你想啊，学生在高一之前，他没有用方程来研究直线，在他 的印象

25、里， 直线是一个几何的对象， 我们现在要用方程的观念来研究直线， 那么 提怎样的问题呢？我们交出这么说的， 在平面直角坐标系中， 把直线可以看作满 足某种条件的点的集合。 这是学生首次接触轨迹方程的问题。 直线的位置可以由 两点唯一确定， 这初中他印象很深的： 两点确定一条直线， 也可由一个点和一个 方向来确定。 我们前面已经引出了两点式及其特殊情况： 截距式，而一个点和一 个方向来确定直线，就是后面提出点斜式及其特殊情况：斜截式教材里提出这样的问题：直线I经过点A和斜率，点P在直线I上运动，那 么点P的坐标（x，y）满足什么条件？（而不是提出如何求直线的方程）因为这个 时候，学生对直线方程是

26、没有任何印象的，所以我们提的问题很浅，就是说，动 点的坐标（x , y）满足什么条件，而且我们把这条写在课本推导直线的点斜式方程 时的一个旁注：“求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点 P（x， y） 的坐标 x和y之间的关系）”；同时我们在推导直线的点斜式方程以后，有这么一段话， 可以验证直线上点的坐标都满足这个方程， 以这个坐标的点都在这个直线上， 这 两句话是提了一下， 其实是从正反两个角度来说明这个方程的直线， 这一点在教 师参考里说的很清楚， 不要刻意地拓展和加深， 因为毕竟学生是第一次学习， 而 且对曲线与方程的关系，直线与方程的作为模板、样板，让学生初步理解。同时在直线与方程教

27、学中要注意的是： （1） 凡涉及“斜率” 的问题一定要考 虑斜率是否存在， 无论求直线方程还是判断两条直线位置关系， 都要考虑斜率是 否存在还是不存在的问题； 还有直线方程在形式上出现分式时， 一定要考虑分母 是不是为零。 从而引发学生思考我们学的那四种形式， 点斜式、斜截式、两点式、 截距式，是表达直线方程的一种“局限性”，从而为研究直线方程的一般式作铺 垫。对斜率不存在的直线要怎么办呢，要本着“特事特办”的原则，另行讨论， 这一点不容忽视。（2）从“数”的角度来看，确定直线方程需要两个独立的条件，我们常用待 定系数法来求直线方程，那么从“形”的角度来看，确定一条直线需要两个条件 （ 两点或

28、一点和方向 ） ，这样看， 数和形是和谐统一的。 这有利于后面同学们对学 习圆的方程的理解以及对圆的曲线方程的理解， 所以我们提到直线与方程是研究 曲线方程的一个模板。（3）对“直线的方程”和“方程的直线”讲解上要注意“度”的把握。我们 写了着两句话， 说可以验证如何如何， 并不要求学生对它理解的如何透彻， 因为 后面研究圆的方程， 再到选修里研究圆的曲线方程等等， 这次只是初步涉及到直 线与方程的关系陈老师，在直线方程及其应用中， 有几个具体内容的把握上想请陈老师谈谈 你的看法。比如说两条直线的位置关系是从斜率的角度来推导和呈现的。那么， 对于直线的一般式方程，平行和垂直条件的推导和运用又该

29、如何把握呢 ?这一点在教材编写的时候， 我们也考虑到了， 为了不增加学生的负担， 为了 更好地理解我们的两条直线的位置关系的时候， 是从斜率来考虑的。 有斜率的两 条直线， 它平行就是斜率相等， 斜率相等的两条直线相互平行。 对两条有斜率的 直线，它们的垂直条件是乘积等于 -1. 。反过来也是如此。在习题里，我们分别 在“思考运用”和“探究拓展”中，就直线的一般式方程情况下，平行和垂 直它的系数满足什么条件的讨论安排了相应的习题， 老师在教学的时候可以根据 学生的情况而定。当然，要了解这种表达形式的意义，要便捷地来解决填空题、 选择题，而且后面我们学了向量以后，直线也可以从向量的角度来理解。比

30、如， 过点P（X0, yo）且与直线Ax+ By+ C= 0平行的直线我们可写出 A（x X。） + B（y y）二0（P不在直线上），这么一看，它的一次项系数成比例相等，只不过常数项 变成了 -xo加上-Byo实际上，这个方程让学生理解非常有意义。你看，一次项系 数成比例，这边特殊情况相等，经过一个特定的点。同样的，过点P（xo，yo）且与直线Ax+ By+ C= 0垂直的直线可立马写出 B（x xo） A（y yo） = 0。也是这么 理解啊，它的一次项系数是交换相反数，同时这个直线显然经过 （xo，yo）。对这 类的问题， 一定要让学生理解， 而不是机械地背诵， 这样既可以提高我们的解题

31、 效率，同时也可以对直线方程有进一步的理解。陈老师，还有关于中点坐标公式和距离公式的证明， 我们的教材又有什么特 点呢?请您给我们介绍一下。好的。有关这一段教材， 大家注意到没有， 我们是同一个问题背景下进行了 三次讨论：那个背景是这么说的。 已知 A（1， 3）， B（3，2）， C（6，1）， D（2， 4），点的坐标告诉你了，第一问是求证四边形 ABCD是否为平行四边形？我们是 用两组对边相等证明的， 那么在研究两点间距离时， 以这个问题做背景， 想引导 学生如何来求两个点的距离；同时证明它是个平行四边形的时候，还有个方法， 就是对角线互相平分，于是引出了一个如何求线段的中点。同样这个背

32、景，我们还提出了如何计算平行四边形 ABCD勺面积？于是引出点 到直线的距离。 也就是说， 我们这个问题的背景是同一个， 可以就这一个背景提 出不同的问题，引发学生思考，其解决问题的思路也是学生已有的认知结构、 知 识结构可以够得着的，比如两点间距离，就做坐标的平行线，通过勾股定理来推 导。而中点呢，我们的教材处理很有特色。先通过具体问题猜想一般的会怎么样，一般的：是 2，刃是 2 。我们教材处理是如何证明以 2 为横坐标，以为纵坐标这样一个点是中点。那我们是怎么证的呢？首先证明这个点与两个端点共线，再证这个点到两个端点距离相等。那么这样就用距离公 式和斜率公式教学来证明的；为什么这里特别强调

33、呢，我们从教材看，这一段教 材是我们第一次呈现用解析法来证明几何问题， 它提供了一个样本，当然这种证 法对学生接收来说是有一定难度的， 但是我们讲解的时候，则无疑是一个很好的 途径。再比如说，点到直线的距离，教材提供两种方法，方法1过这一点做已知直线的垂线，接着求出垂线方程，求垂足，再算距离，这样有 4步，教材写的很 清楚，第一步，第二步，第三步，第四步，而且有算法的意思在里头，计算量比 较大；我们又提出方法2面积转化，过这个点做平行坐标轴的两条直线和已知直 线产生交点，构成一个直角三角形，再算两条直角边的长，因为他们分别与坐标 轴平行，很好算的长度，再通过面积转化，由面积等于直角边乘积的二分

34、之一， 也可以等于斜边的长乘斜边的高，而斜边的高就是点到直线的距离。这两个方法 一比较，显得第二个方法很简单，只需 3步，而且有一般性，因此，最后公式推 导就得出一个很漂亮的结论。再例如，我们求两条直线的交点的问题也是突出了代数方法解决几何问题的 特点。有了直线的方程，对直线之间位置关系的研究就可以转化为对它们方程的 研究。两条直线的平行、相交、重合问题就转化为两条直线方程构成的方程组是 否有解、无解、还是有无穷多解的问题，这样有利于学生进一步领会解析法的本 质。主持人：这一讲陈老师和大家一起研讨了关于直线与方程教学的有关问题， 这有利于我们更好地把握课程标准的要求， 引领大家对教材的研读，指

35、导教学设 计和实践。为了进一步学习和理解，我们给出下面两个讨论题供大家参考:1.如何引导学生探索、建立直线的方程?2.直线与方程的教学中，应关注哪些问题?平面解析几何初步（3）各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块 2-10解析几何 初步将邀请陈光立老师主讲。陈光立老师是苏教版咼中数学教材编写组成员，南 京外国语学校特级教师。主持人：上一讲我们较深入地研讨了如何进行直线与方程教学的设计和实 践。下面我们的话题将围绕圆与方程来展开。陈老师，请您谈一谈关于圆的标准 方程和一般方程的教学该如何展开呢？我强调的是：经验的迁移一一借鉴直线与方程的思路和方法，就是说在这一章里我安排两个内容，一个

36、是直线与方程，一个是圆与方程。我们在直线与方程 里面已经经历这个过程了，就是说直线上一动点 P,它的坐标(x, y)满足什么条 件，这个满足的条件就是直线的方程， 而且初步体会了，通过方程研究直线的优 点，比如说研究直线的位置关系、两条直线交点的问题。那么圆的方程是本章又 一个核心概念，教材在编写时，和直线方程一样，也是先设计一个问题情境，在 解决情境中提出的具体问题，最后上升到知识。我们在教学过程中，可以让学生 讨论，并注意引导学生分析圆上的点它具有什么特点，哪些是不变的，哪些是改变的，变与不变有什么联系。表面看起来，圆的方程就有两个条件：一个点和一 个半径。但是这个点不是普通的点，是作为圆

37、心的点，所以实际上还是由(a, b) 圆心的坐标和半径r三个条件来确定的。同时，我们在进行圆与方程的教学时， 让学生先回忆与圆有关的几何性质，如垂径定理：垂直于弦的直径平分弦等。教学时要重视圆的一般方程和标准方程互互化的过程，熟练掌握配方法，而不要机械地记忆公式。我们刚讲过，确定一个圆需要三个独立的条件，在几何里 讲过，不共线的三个点确定一个圆，反映在圆的标准方程中，有三个参数a、b、r，反映在圆的一般方程中，也有三个参数 D E、F,解题时，因为的系数相等，我们可以约掉为1,常常根据所给的三个条件，列出方程组，利用待定系 数法求出圆的方程。与我们理解的直线与方程一样，两个独立的条件确定一个直

38、 线的方程，和平面上过两点有且只有一条直线一致的。那么平面内不共线三点确定一个圆三个独立的条件确定圆的方程是 一致的，这个是形与数的对应；(1) 圆的标准方程和一般方程的关系要非常清楚、要学会互化和灵活运用；什么情况用圆的标准方程比较简单，什么情况用圆的一般方程比较方便，为我们 后面研究直线与圆的位置关系和圆和圆的位置关系，选的方程的时候做个铺垫。(2) 我们在平面几何里也知道，点与圆的位置关系是通过点到圆心距离与圆 的半径大小进行比较的，那么在数的方面怎么来确定一个圆和点的位置关系呢， 怎么赖判断这个点在圆上，还是圆内，还是圆外呢，也是按照这个道理，如果把点的坐标代进去，代到左方正好等于右方

39、那么说明在圆上；如果小于，就在圆内。实际上，我们把圆的方程两边开方的话，就等于点到圆心的距离，这是非 常清楚的。(3) 另外，我们会接触到求经过过不共线三点的圆的方程的方法比较；这种 问题我们通过两种方法， 有的学生学习这种问题的时候学的比较死板， 光知道把 三点的坐标代到圆的一般方程里面， 然后建立一个关于 D,E,F 的一个三元一次方 程，其实，有时候，不用这个方法更简单，我们可以取任意的两组点，找它的垂 直平分线，得到交点确定圆的方程，特别是，给的三点中，某两点的连线和坐标 轴平行的时候，会显得更方便，所以数形结合在解决这类问题中显得特别重要。 我们通常说，解决解析几何的问题，画一个草图

40、，再画一个示意图，可以提供一 个比较好的方法。(4) 再比如以已知线段为直径的圆的方程的问题； 我们也可以这样， 通常学 生往往会说，先求这个线段的中点，找到圆心，再求线段的长，已它一半作为半 径，其实我们想一下，根据圆的性质，直径所对的角是一个直角，也就是说圆上 任一一点和直径两端的连线相垂直， 那么可以用两条连线的斜率乘积等于 -1 ，直 接得到一个圆的方程，因此，形数结合起来更灵活一点。(5) 再比如一个比较典型的问题： 到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹 方程。这些问题我们在后面选修里面只学过到两个定点的距离之和为定值的点的 轨迹是椭圆， 到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹

41、是双曲线， 就是 没学到两个定点的距离之比， 其实这个问题用高一平面解析几何初步这个知识完 全可以解决，涉及点的坐标以后，建立方程，平分，化简后，很快得到这是一个 圆的方程。有条件的学校，学生基础比较好，我们还可以通过几何的方法，画个 三角形， 由它的内角平分线和外角平分线相互垂直这个来进行推导， 当然， 这个 要求稍微高了点， 所以，我想关于圆的标准方程和一般方程在解决问题时， 一定 要结合我们的图形，通过几何条件，求它的方程会比较简单。主持人：陈老师， 解析几何这部分毕竟属于几何部分， 那能不能请您谈一谈形数结合解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题呢？其实高一学生在初中学平面几何这块内容非常

42、熟悉，他们在直线和圆是相 离、相切还是相交， 当时也是从两个途径， 一就是看这条直线和圆有没有公共点， 是一个公共点还是两个公共点， 另外一个途径就是看圆心到直线的距离与半径加 以比较，既然学生已经知道如何从 “形”的角度分析直线和圆的位置关系， 那么， 如何从“数”的角度去分析它们之间的位置关系呢？如何把形的关系量化呢？前 面，学生已经熟悉了用方程研究两条直线间的位置关系，那么用“数”来刻画半 径和圆心到直线的距离间的关系就有了“模板”，样板。教材在处理直线和圆的 位置关系时，就是从“形”和“数”两个角度进行了分析，教学时，首先引导学 生回忆初中研究直线和圆的位置关系的判断方法， 再直截了当

43、提出问题： 如何从 “方程”的角度分析直线和圆的位置关系？这个就是由直线的二元一次方程和圆 的二元一次方程所联列得到一个方程组，这个方程组有解，有唯一解，有两解， 还是没有解，从而判断直线和圆相离、相切、相交。另外，更简洁的方法还是利 用圆心到直线距离，这个是行之有效，而且用得比较多的方法。再比如，通过方程求直线与圆的交点的方法， 或者比较圆心到直线的距离与 半径大小加以判断，这些东西都体现了解析几何用代数方法解决问题的最本质思 想。陈老师，我们发现，教材在习题中还安排了一些有探索和拓展空间的题目， 如何您是如何看待这样的安排的呢？苏教版教材在编写的意图里说的很清楚，就我们的正棱、旁注和我们学

44、习中 第一层次，所有学生都要去掌握的。那么在探索、拓展，习题的第三个层次，探 索拓展里面题目并不是要求对每个学生都要掌握， 而这些题目是有利于学有余力 的同学他们的更好的发展。这些题目安排是同学有利于对直线与方程以及圆与方 程的进一步理解。教材中的安排是循序渐进的，逐步深化的，比如说，最开始的 直线与方程的时候就出现了这样的习题，如何判断一条直线过定点的问题，乍一看，这个问题挺棘手，不好解决，其实我们可以换个角度想。这个问题的解法中 有一种解法，换个角度思考，本来这个二元一次关于坐标x，y的方程，那么，当里面含有参数的时候，可以换个角度，把这个方程换成含有某个参数的一元方 程。那么一个一元方程

45、不只一个解，所以只能是 Ox+O=O的形式。所以，换一个 角度思考问题，是提供了最初步的想法。至V后面的比如说我们的习题2.1练习中 出现这样一个问题，有一定思考的难度：两条直线 aix + biy + c = 0和 轴+ by+ c = 0都过点A（1，2），求过两点R（ai, bi），H）的直线方程。对高一学平 面解析几何初步的形式来说，这道题是有挑战性的。就是说我们这个点（1，2）满足这个方程，满足方程的话就意味着代进去等式就成立了， 这么一来，他把（1， 2）代进两个方程去以后，出现的情况是 x， y没有了，就变成了 ai + 2bi + c = 0， 以及a2 + 2b2+ c二0,

46、难就难在从这两个形式的等式中能抽象出一个方程，是（ai,bi），（a2，b2）是一个方程x+2y+c=0的解，这是有难度的。我想这类问题的处理 一定不要急于告诉结论，我们常常说数学教学当中，要反对告诉教育，反对复制 教育，要推迟判断的时间，这些题目可以让学生思考一天，两天，不要急于把答 案告诉他，因为它对思维角度是有一定的要求的。 再比如说，经过一个圆的直线 和一个圆的交点，如果直线和圆有两个交点，那么经过这两个交点的所有的圆该 怎么建立方程呢？有的老师会介绍一种叫圆系方程，让学生去背这个结论，大可不必；也是可以从圆与方程的角度理解， 也就是说，把圆的方程和一个直线方程 进行线性组合到一个新的

47、方程，要能理解这个新的方程还是个二元二次方程，还是具有系数相等的特点，说明它还是圆的类型的方程，而这个方程里面肯 定有两交点，所以它不会是虚轨迹，这个结论不是告诉学生，我想这类教学让学 生经历这个过程、理会一下就可以了。再比如，两圆相交时，求两圆相交公共弦所在直线方程的问题。 有的老师 就很诫告他，“你把这个方程减一减不就行了嘛。”学生就不理解，为什么就减 一减就是了呢。其实这类题是很好的渗透直线与方程的思想的问题。因为这两个方程相减的时候产生一个二元一次方程，学生都很清楚这个二元一次方程代表直 线，而这两个交点坐标都满足方程，根据两点确定一条直线，显然所得的二元一 次方程就是这个公共弦所在的

48、直线方程。我想这些题目的设置意在凸现解析几何的基本的思想方法，所以不要机械地告诉他，增加很多要学生背的结论，把方法让学生掌握。那么，我想解析几何的 基本的思想方法在教学中应该根据学生情况，适当地把握。通常说，思想、方法、工具是解决数学问题的一脉相承的三个层次的问题，那么我想通过这些题目就给学有余力的同学有一个发展的空间，也是我们教材中必须要有的一个内容。主持人：陈老师，我们这一章平面解析几何为什么在最后一部分要加入一个 空间直角坐标系这个内容呢？这个问题是很多老师都提出过的。平面解析几何怎么就冒出个空间直角坐标 系呢？因为我们理科学生在2-1里面有一章是空间向量和立体几何。大家知道在 必修2立

49、体几何初步中，我们要求很低，而且非常强调是直觉感知、度量计算和 实辩论正，那么，很多正面问题在2-1里面用空间向量的方法会显得很简单。 但 是文科学生不学这部分内容，那么作为一个合格的高中毕业生，他对空间直角坐 标系初步了解，所以我想课程标准做的规定和我们教材里面适当介绍空间直角坐 标系是很有必要的。其实说白了，这一部分的内容的学习也并不困难， 要求也不 高，但是给学生类比学习提供了一个平台，教学时可通过创设问题情景，采用类比的方法，研究怎么来刻画空间的位置，比如说空间点的位置以球面方程问题就 可以联想圆的方程，在平面是到定点距离等于定长的轨迹圆得到一个圆的标准方 程，到空间怎么样啊？到空间到

50、定点距离等于定长的轨迹应该是一个球面，球面公式不就从两点间的距离公式马上得到了嘛。 再比如中点坐标公式，也是一样的， 所以在空间直角坐标系这一节的学习中， 我想不用老师讲得太多，其实只要提供 一个建立的空间直角坐标系后，让学生自己把二维的结论向三维推广，不断尝试， 我想这样的探索不在于结论本身， 而在于过程。如果我们数学教学中，能坚持更 多的机会和条件，让学生不断探索的话，我想学生综合能力和素养提高都有可能。主持人：在这一讲陈老师和大家一起研讨了关于圆与方程教学的有关问题，这有利于我们更好地把握课程标准的要求，引领大家对教材的研读，指导教学设计和实践。感谢陈老师的讲解为进一步学习和理解，我们给

51、出下面两个讨论题供 大豕参考：1. 如何引导学生探索、建立圆的方程？2. 圆与方程的教学中，应关注哪些问题？另外，我们还提供几个“目标达成检测题”供老师们选用。1. 直线 y = kx + 3 与圆(x 3)2 + (y 2)2 = 4 相交于 MN 两点，若， 求k的取值范围。2. 直线I与圆x2 + y2 + 2x 4y+ a= 0 (a v3)相交于两点 A, B,弦AB的中 点为(0，1)，则直线I的方程为3. 设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x) = x2 + 2x + b(x R)的图象与 两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：(I) 求实数b的取值范围；(U)

52、求圆C的方程；(川)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论。1. 直线y = kx + 3与圆(x 3)2 + (y 2)2 = 4相交于M N两点，若 血2妙，求k的取值范围。【答案】3/4 , 02. 直线I与圆x2 + y2 + 2x 4y+ a= 0 (a v3)相交于两点 A, B,弦AB的中点为(0 , 1)，贝U直线I的方程为。【答案】x y+1=03. 设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x) = x2 + 2x + b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：(I)求实数b的取值范围；(U)求圆C的方程；(川)问圆C是否经过某定点

53、(其坐标与b无关)？请证明你的结论。【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。(I)令x = 0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令 f(x) = x2 + 2x+ b= 0，由题意 0 且厶。，解得 bv 1 且 b0。(U)设所求圆的一般方程为 x2 + y2 + Dx+ Ey+ F= 0令y= 0得x2 + Dx+ F= 0这与x2 + 2x+ b= 0= 0是同一个方程，故D= 2, F =bo令x= 0得y2 + Ey+ b= 0,此方程有一个根为 b,代入得出E= b 1.所以圆C的方程为x2 + y2 + 2x (b + 1)y + b= 0.(川)圆C必过定点(0 , 1)和(一2, 1)证明如下：将(0, 1)代入圆C的方程，得左边=02+ 12+ 2X o (b + 1) + b =0,右边二0,所以圆C必过定点(0 , 1)。同理可证圆C必过定点(一2，1)。平面解析几何初步(4)各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块 2-10解析几