第三章 泊松过程 2

1、第三章第三章 泊松过程泊松过程23.1.1 泊松简介泊松简介3.1.2 泊松分布和泊松定理泊松分布和泊松定理3.1.3 泊松过程泊松过程 泊松，法国著名数学家。1781 年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1812年当选为巴黎科学院院士。1800年毕业后留校任教1802年任副教授1808年任法国经度局天文学家1809年任巴黎理学院力学教授。毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。 泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其 在摆的运

2、动和声学理论中的应用。他工作 的特色是应用数学方法研究各类力学和物 理问题，并由此得到数学上的发现。他对 积分理论、行星运动理论、热物理、弹性 理论、电磁理论、位势理论和概率论都有 重要贡献。设随机变量X所有可能取的值为0,1,2, ,而取各个值得概率为,0,1,2,!keP Xkkk()E X()D X泊松分布泊松分布：其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为Xp（） 设0是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有 lim(1).!kekn knppnnnkk例如：例如： 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 火车站某段时间内

3、购买车票的旅客数；火车站某段时间内购买车票的旅客数； 机器在一段时间内发生故障的次数；机器在一段时间内发生故障的次数； 泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程10 定义定义1 随机随机过程过程 N(t)，t 0 0 称为称为计数过程计数过程，如果如果 N(t) 表示从表示从0到到t 时刻某一特定事件事件时刻某一特定事件事件A 发生的次数，它具备以下两个特点发生的次数，它具备以下两个特点(1) N(t) 0 0 ，且且 N(t) 取整数；取整数；(2)当当s t 时，则时，则 N(s) N(t), 且且 N(t)- -N(s) 表示在时间表示在时间(s,

4、 t时间内事件时间内事件A 发生的发生的次数次数.11例例对观察事件出现的次数感兴趣，可以用对观察事件出现的次数感兴趣，可以用计数过程描述。计数过程描述。一段时间内某商店购物的顾客数。一段时间内某商店购物的顾客数。经过公路上某一路口的汽车数量。经过公路上某一路口的汽车数量。保险公司接到的索赔次数。保险公司接到的索赔次数。1213 独立增量计数过程独立增量计数过程: : 对于对于t1t23)，N(t2)- -N(t1), N(t3)- -N(t2), , N(tn)- -N(tn- -1) 相互独立相互独立. 平稳增量计数过程平稳增量计数过程: : 在在(t, t+s内内(s0)，事件事件A 发

5、生的次发生的次数数N(t+s)- -N(t) 仅与时间间隔仅与时间间隔 s 有关，有关，而与初始时刻而与初始时刻 t 无关无关.14 定义定义2 2 计数计数过程过程 N(t)，t 0 0 称为参数为称为参数为 （ 0）的的泊松过程泊松过程, 如果如果 ()()( ),! 0,1,2,nttP N tsN snenn (1) N(0)=0，(2) 过程有独立增量过程有独立增量(3) 在任一长度为在任一长度为 t 的时间区间中的时间区间中事件事件A发发生的次数服从均值为生的次数服从均值为 t t 的泊松分布，的泊松分布，即对任意即对任意s 0, t 0，有，有15注：注： (1)(1)泊松泊松过

6、程过程是平稳独立增量过程是平稳独立增量过程;( )E N tt (2) (2)EN(t)= t , , 表示单位表示单位时间内事件时间内事件A A发生的平均次数，一般称为发生的平均次数，一般称为过程的强度或速率过程的强度或速率. .例例 在在(0, t内接到服务台咨询电话的次数内接到服务台咨询电话的次数N(t)，在在(0, t内到某火车站售票处购买车内到某火车站售票处购买车票的旅客数票的旅客数N(t) 等都是泊松变量，等都是泊松变量， N(t), t 0 0 是一个是一个泊松过程泊松过程.16例例（Poisson过程在排队论中的应用）随机服过程在排队论中的应用）随机服务系统中排队现象，可以用务

7、系统中排队现象，可以用Poisson过程描述过程描述。例如，到达电话总机呼叫数目、到达车站。例如，到达电话总机呼叫数目、到达车站顾客数等等。以车站售票处为例，上午顾客数等等。以车站售票处为例，上午8：00开始，连续售票，乘客开始，连续售票，乘客10人人/h的速度到达，的速度到达，从从9：00-10：00这这1小时内最多小时内最多5名乘客到来名乘客到来的概率？的概率？10：00-11：00之间没人来的概率？之间没人来的概率？ 解解 设设8:00为为0时刻，时刻，9：00为为1时刻，参数时刻，参数10.510 10(10 1)(2)(1)5,!nnP NNen01010(10)(3)(2)0.0!

8、P NNee17N(t) N(t)，t 0 0 4 12(4 12)(12)(0),!(12)(0)4 1248.nP NNnenE NN 由定义2可知，为了确定一个任意的计数过程实际上是一个泊松过程，必须证明它同时满足定义中的（1）、（2）、（3）三个条件，其中条件（1）只是说明事件的计数过程是从时刻t=0开始的，条件（2）根据我们对计数过程了解的情况直接验证，而对于条件（3）我们全然不知道如何去满足。 因此，给出另一个泊松过程的定义是就显得很因此，给出另一个泊松过程的定义是就显得很有必要，接下来介绍泊松过程的另一个定义：有必要，接下来介绍泊松过程的另一个定义： 在此之前，首先熟悉一个函数一

9、个函数f是是o(h)的概念的概念（高阶无穷小） 即：即：若对于一个函数f，满足： 则称函数f是是o(h).( )0lim0f hhh20 定义定义2 计数计数过程过程N(t)，t 0 是是泊松泊松 过程过程，如果，如果N(t)满足满足 ()( )1( )P N thN tho h (1) N(0)=0， (2) N(t)是平稳独立增量过程，是平稳独立增量过程，(3) 存在存在 0，当，当h 0 时，有时，有 ()( )2( )P N thN to h（4）当）当h 0时，时， 分析定义2可知，其中条件(3),(4)说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发

10、生。这种假设对于很多物理现象较容易得到满足。 22 N(t)，t 0 M(t)，t 0 p p23()( ).!mptptP M tmem解：解：首先首先M(0)=0， M(t) 具有平稳独立具有平稳独立增量，接下来只需验证增量，接下来只需验证 M(t) 服从均值为服从均值为 pt 的的泊松分布泊松分布. 即对任意即对任意 t 0 , 下边将用到全概率公式，二项分布的背下边将用到全概率公式，二项分布的背景、公式，以及泰勒展式景、公式，以及泰勒展式xnnenx 0!24000( )( )|( ) ( )()()!()()!()().!nm nmmntm nnnmtnmmqttptP M tmP

11、M tm N tmn P N tmntCp qemnqtptenmptpteeemm 例 若每条蚕的产卵数服从泊松分布，强 度为 ，而每个卵变为成虫的概率为p， 且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系 ，求在时间0,t内每条蚕养活k只小蚕的 概率 例 观察资料表明，天空中星体数服从泊 松分布，其参数为 V V，这里V V是被观察 区域的体积。若每个星球上有生命存在 的概率为p，则在体积为V的宇宙空间中 有生命存在的星球数服从参数为 pVpV的 泊松分布27( ),0N t t N(t)32100T1T2T3T1X2X3XPoisson过程的样本路径。符号说明设( )N t，0t为泊松过程， ( )

12、N t表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数 Home显然Xn 表示第表示第n次与第次与第n- -1次事件发生次事件发生 的时间间隔的时间间隔.n 表示第表示第n次事件发生的时刻次事件发生的时刻 (n 1)，121nnniiTXXXX 规定规定0 =0定理定理1HomenXnT且都服从参数为且都服从参数为 的指数分布的指数分布则到达时间间隔序列12XX ，是相互独立的随机变量序列， 定理定理2Home31 参数为参数为 n 与与 的的 分布又称爱尔兰分分布又称爱尔兰分 布，它是布，它是 n 个相互独立且都服从于参数个相互独立且都服从于参数 为为 的指数分布的随机变量之和的分布的指数分布的随机变

13、量之和的分布32N(t), t 0 12,.XX泊松过程的另一种泊松过程的另一种定义定义33 例例1（顾客接受服务问题）设从早（顾客接受服务问题）设从早8:00开开始就有许多人排队等候某项服务，只有始就有许多人排队等候某项服务，只有一名服务员，每个人接受服务的时间是一名服务员，每个人接受服务的时间是独立的且服从于均值为独立的且服从于均值为20min的的指数分指数分布布(1) 问到中午问到中午12:00为止平均有多少为止平均有多少人已经离去？人已经离去？(2) 求已有求已有9人接受服务的人接受服务的概率概率34.12)4(),34()4() 1 (NEPN.! 9129)4()2(129eNP解

14、：解：设设早早8:00为零时刻为零时刻, 并并以以N(t)表示表示在时在时间间(0, t内离去的顾客数内离去的顾客数, 则则N(t), t 0 是是泊泊松过程松过程由题设由题设, 顾客以每小时顾客以每小时3人的平均人的平均速率接受服务速率接受服务, 即即 人人/小时小时.3 35 泊松过程中事件发生时刻的条件分布泊松过程中事件发生时刻的条件分布 事实上，当事实上，当N(t)=1时时，若若s t ， 假设到时刻假设到时刻 t 为止为止, 泊松过程泊松过程N(t), t 0中的事件中的事件A 已经发生了已经发生了n 次次, 现在考察这现在考察这 n 次事件发生的时刻次事件发生的时刻1 ,2 , ,

15、n 的的 联合分布联合分布.36 tsteesetNPsNtNPsNPtNPsNtNsNPtNPtNsTPtNsTPtsts)(111)(0)()(1)(1)(0)()(, 1)(1)(1)(,1)(|在在 N(t) 1的条件下，事件的条件下，事件A发生时刻发生时刻1 在在0, t 区间上是均匀分布的区间上是均匀分布的.37定理定理3在已知在已知 N(t) n (n 2)的条件下的条件下,事件发生的事件发生的n 个时刻个时刻T1 , T2 , , Tn 的联合的联合 分布密度为分布密度为.0,!),(2121nnnttttntttf 它是在区间它是在区间0, t 上均匀分布的上均匀分布的n个独

16、立个独立随机变量随机变量U1 ,U2 , , Un 的顺序统计量的顺序统计量 U (1) , U(2) ，U(n) 的联合分布的联合分布.38 .2)(|1)(1ntUEntNTEniitNii 在已知在已知 (0, t 时间内发生了时间内发生了n 次事件的次事件的条件下条件下, 如果不考虑次序如果不考虑次序, 各次事件发各次事件发生生的时刻的时刻T1 , T2 , , Tn 可看作可看作 n 个独立个独立同分布于区间同分布于区间0, t 上均匀分布的随机上均匀分布的随机变量变量 U1 ,U2 , , Un . 从而从而39 例例2 设乘客以强度为设乘客以强度为 的泊松过程的泊松过程 N(t)

17、, t 0 0 来到某火车站，火车在时来到某火车站，火车在时刻刻t 启程启程 计算计算在在(0, t时间内到达的乘时间内到达的乘客的等待时间的总和的期望值客的等待时间的总和的期望值. . )(1)(tNiiTtE解：以解：以Tn记第记第n 个乘客的来到时刻，个乘客的来到时刻， 则所求为则所求为40.22)(|)(| )()(1)(1ntntntntNTEntntNTtEtNiitNii ( )( )112() () |( )( ).22N tN tiiiiEtTE EtTN tnttE N t 习题习题 设在 0 , t 内事件A已经发生n 次，且0 s t，对于0 k 0 , M(t) 仍然

18、服从泊松分仍然服从泊松分布布, 均值为均值为 pt. 其中其中.)(10tdssPtp453.3 泊松泊松过程的推广过程的推广 非齐次泊松过程非齐次泊松过程 当泊松过程当泊松过程N(t), t 0的强度的强度 不再不再是常数是常数, 而与时间而与时间 t 有关时有关时, 称为非齐称为非齐次泊松过程次泊松过程 这种过程一般不具这种过程一般不具有平稳增量有平稳增量46 定义定义3 计数计数过程过程 N(t)，t 0 0 称为强度称为强度是是 (t)的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程如果满足如果满足 (1) N(0)=0， (2) N(t)具有独立增量，具有独立增量，(3) N(t)满足下列两式满足下

19、列两式 ：当：当h 0 时，时， ()( )2( )P N thN to h);()(1)()(hohttNhtNP 47(3) 对任意对任意s, t 0，在时间段在时间段( t, t+s 事事件件A 发生的次数发生的次数N(t+s)- N(t) 服从泊松服从泊松分布，参数为分布，参数为 定义定义3 计数计数过程过程 N(t), t 0 0 称为强度是称为强度是 (t)的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程如果满足如果满足 (1) N(0)=0， (2) N(t) 具有独立增量，具有独立增量，.)()()( sttduutmstm 0( )( )tm ts ds48 称为非齐次泊松过程称为非齐次泊松

20、过程 N N( (t t), ), t t 0 0 的强度的强度函数函数或均值函数或均值函数 tduutm0)()( 定理定理 (1) 设设N(t), t 0 0 是强度为是强度为 (t)的的非齐次泊松过程非齐次泊松过程对任意对任意t 0，令令)()(1*tmNtN 则则N*(t), t 0 是强度为是强度为1 的泊松过程的泊松过程49 tdsstm0)()( (2) 设设N*(t), t 0 是强度为是强度为 =1 的泊松的泊松过程过程若给定若给定强度函数强度函数 (t), t 0 ，对对任意任意t 0 ，令令)()(*tmNtN 则则N(t), t 0 0 是强度为是强度为 (t)的非齐次

21、泊的非齐次泊松过程松过程501, 05,2.5( )1, 510.2ttt1051000511(10)( )4.5.2.52mt dtdtdt914.52(4.5)9(10)(0)1.1!2P NNee51 例例2 某镇上有一小商店，营业时间为某镇上有一小商店，营业时间为8点点 -20点顾客平均到达率有如下规律：点顾客平均到达率有如下规律： 8-11点，点， 由由5人线性增加到人线性增加到20人；人； 11-13点点，每小时为每小时为20人；人； 13-20点点，由由20人线性减少到人线性减少到6人人 假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数相互独立顾客数

22、相互独立. 求从求从9-12点无顾客到达点无顾客到达商店的概率及这三小时内平均到达商店的商店的概率及这三小时内平均到达商店的顾客数顾客数52解：解：设设早早0点为零时刻点为零时刻, ,以以N(t)表示表示在在 时间时间(0, t内到达商店的顾客数内到达商店的顾客数, 则则 N(t), t 0 0 是非齐次是非齐次泊松过程泊松过程. 且且20131311118),13(220,20),855)(tttttt（53),50()9()12() 1 (PNN;0)9()12(50eNNP5020)8(55)()9()12(1211119129dtdttdttmm.50)9()12()2( NNE54

23、复合泊松过程复合泊松过程 定义定义4 设设 N(t)，t 0 0 是是 一个一个泊松过泊松过程，程，Yn 是一族独立同分布的随机变是一族独立同分布的随机变量序列，且与量序列，且与 N(t)，t 0 0 独立独立如果如果对对t 0， )(1)(tNiiYtX则称则称 X(t)，t 0 0 为复合为复合泊松过程泊松过程.55 例例1 保险公司接到的索赔次数是一个保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程泊松过程 N(t), t 0 0 , 每次的赔付金额每次的赔付金额Yn 是一族独立随机变量序列，且有相是一族独立随机变量序列，且有相同分布同分布F, 索赔数额与索赔数额与它发生的时刻无它发生的时刻无关关则

24、则在时间在时间(0, t内保险公司赔付的总内保险公司赔付的总金额为金额为 )(1)(tNnnYtX X(t), t 0 0 就是一个就是一个复合复合泊松过程泊松过程.56例例2（顾客成批到达的排队系统）设顾客（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某服务系统的批数到达某服务系统的批数是是一个泊松过程一个泊松过程 N(t)，t 0 0 . .每个时刻每个时刻Tn可以有多名顾可以有多名顾客到达，以客到达，以Yn 表示时刻表示时刻Tn 到达的顾客到达的顾客人数人数. . 假定假定Yn 相互独立，同分布，且相互独立，同分布，且与与Tn 独立独立则则在在(0, t时间内到达服务时间内到达服务系统的顾客总人数

25、为系统的顾客总人数为)(1)(tNnnYtX X(t)，t 0 0 也是一个也是一个复合复合泊松过程泊松过程.2022-5-1657例例3 设N(t)是在时间段(0，t内来到某商店的顾客人数， N(t)，t0 是泊松过程。若Yk是第k个顾客在商店所花的钱数，则Yk，k=1,2,是一列独立同分布随机变量序列，且与N(t)，t0 独立。记X(t)为该商店在内的营业额，则X(t)是一个复合泊松过程。58定理定理5 设设 是一个是一个复合复合 泊松过程泊松过程, 其中其中N(t), t 0 0 是强度为是强度为 的泊的泊松过程松过程, 则则(1) X(t)具有独立增量具有独立增量;(2) 若若 则则0

26、,)()(1 tYtXtNnn,21 EY.)(,)(211tEYtVarXtEYtEX 59例例4（保险赔付问题）设保险公司以平均保险赔付问题）设保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求，每次赔每月两次的速率接到索赔要求，每次赔付为均值是付为均值是10000元的正态分布则它元的正态分布则它的年平均赔付金额为的年平均赔付金额为11(t),(12)2 12 10000240000,2/,12,10000.EXtEYEXtEY元其中次 月月元 例例5 5 设移民到某地区定居的户数是一设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有个泊松过程，平均每周内有2 2户定居，户定居，但每户的人口数是随

27、机变量，一户但每户的人口数是随机变量，一户4 4人人概率为概率为1/61/6，一户，一户3 3人概率为人概率为1/31/3，一户，一户2 2人概率为人概率为1/31/3，一户，一户1 1人概率为人概率为1/61/6，求求5 5周内移民到该地区的人口的数学期周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。望与方差。 ( )1( )N tiiX tY11461233iiiiP YP YP YP Y21543 66iiE YE Y则:解 设N(t)为(0,t内的移民户数，Yi 表示每户的人口数，则在(0,t内的移民人数为是一个复合泊松过程，Yi 为独立同分布的随机变量，且215(5) 10=25 643215(5)1063E XtE YD XtE Y63 条件泊松过程条件泊松过程 定义定义 设设随机变量随机变量 0, 在在 = 的条件的条件 下，计数过程下，计数过程 N(t), t 0 0 是参数为是参数为 的泊松过程，则称的泊松过程，则称 N(t), t 0 0 为条为条 件泊松过程件泊松过程. 在风险理论中常用条件泊松过程来描在风险理论中常用条件泊松过程来描述意外事件发生的模型，其强度参数述