_解直角三角形_第3课时

1、 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形第第3 3课时课时1 1、能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有、能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的实际问题关的实际问题；2 2、培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结、培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法合的数学思想和方法. .1.1.测量高度时测量高度时, ,仰角与俯角有何区别仰角与俯角有何区别? ?2.2.解答下面的问题解答下面的问题如图如图, ,有两建筑物有两建筑物, ,在甲建筑物上从在甲建筑物上从A A到到E E点挂一长为点挂一长为3030米的宣传条幅米的宣传条幅, ,在乙建在乙建筑物的

2、顶部筑物的顶部D D点测得条幅顶端点测得条幅顶端A A点的仰点的仰角为角为4545, ,条幅底端条幅底端E E点的俯角为点的俯角为3030. .求甲、乙两建筑物之间的水平距离求甲、乙两建筑物之间的水平距离BCBCAEDCB甲甲乙乙坡度坡度( (坡比坡比) )、坡角：、坡角：(1)(1)坡度也叫坡比，用坡度也叫坡比，用i i表示表示. .即即i=i=h/h/l，h h是坡面的铅直高度，是坡面的铅直高度，l为对应水平宽度，如图所示为对应水平宽度，如图所示(2)(2)坡角：坡面与水平面的夹角坡角：坡面与水平面的夹角. .(3)(3)坡度与坡角坡度与坡角( (若用若用表示表示) )的关系：的关系：i=

3、i=tantan. . 方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于9090的角，叫方向角的角，叫方向角. .修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度注明斜坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h）和水平长度（和水平长度（l）的比的比叫做坡面叫做坡面（或（或）. 记作记作i , 即即 i = .坡度坡度通常写成通常写成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6.坡面与坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作水平面的夹角叫做坡角，记作a，有有. 显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，

4、坡面就越陡就越大，坡面就越陡. lhlh新概念：坡度、坡比新概念：坡度、坡比ABhL如图：坡面的垂直高度如图：坡面的垂直高度h和和水平宽度水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度（或叫坡比）（或叫坡比）用字母表示为用字母表示为 ，坡面与水平面的夹角记作坡面与水平面的夹角记作（叫坡角）叫坡角） 则则tan = Lhi Lhi 练习：练习：（1 1）一段坡面的坡角为）一段坡面的坡角为6060，则坡度，则坡度i=_;i=_;（2 2）已知一段坡面上，铅直高度为）已知一段坡面上，铅直高度为 ， 坡面长为坡面长为 ， 则坡度则坡度i i_,_,坡角坡角_。33233033你会算吗？你会算吗？1、坡角、坡角=45坡

5、比坡比i= 3、坡比为、坡比为i=13，坡角，坡角的余弦值为的余弦值为1 1303 10102、坡比为、坡比为,坡角坡角=1: 3如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡斜坡ABAB的坡度为的坡度为1 1： ，坡面，坡面ABAB的水平的水平宽度为宽度为 米，基面米，基面ADAD宽宽2 2米，米，求路基高求路基高AEAE、坡角坡角B B和基底和基底BCBC的宽的宽. .33C2例例1ABDE3F例例2 2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是水库大坝的横

6、断面是梯形，坝顶宽梯形，坝顶宽6m6m，坝坝高高23m23m，斜坡斜坡ABAB的坡度的坡度i=13i=13，斜坡斜坡CDCD的坡的坡度度I=12.5I=12.5，求斜求斜坡坝底宽坡坝底宽ADAD和斜坡和斜坡ABAB的长的长练习练习1 1：如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BCBC宽为宽为6m6m，坝高坝高23m23m，斜坡斜坡ABAB的坡度的坡度=1: =1: ，斜边斜边CDCD的的坡度为坡度为=1:1=1:1，求斜坡求斜坡ABAB的长，坡角的长，坡角和坝底和坝底ADAD宽。宽。3ADBCEF3:1i1:1i练习练习2:2:修建一条铁路要经过一座高山，修建一条铁路

7、要经过一座高山，需在山腰需在山腰B B处开凿一条隧道处开凿一条隧道BCBC。经测量，。经测量，西山坡的坡度西山坡的坡度i i5:35:3，由山顶，由山顶A A观测到点观测到点C C的俯角为的俯角为6060，ACAC的长为的长为60m60m，如图所，如图所示，试求隧道示，试求隧道BCBC的长的长. .A AB BC Ci = 5：3 hlilhi: i 坡度或坡比坡度或坡比l水平长度水平长度铅垂铅垂高度高度坡角坡角课堂小结课堂小结: : 1 1弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，的意义，明确各术语与示意图中的

8、什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题为数学问题 2 2认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题 3 3选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错且不易出错4 4按照题中的精确度进行计算，并按照题目按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位中要求的精确度确定答案以及注明单位方方向向角角北东西南A A5858 2828 B B北偏

9、东北偏东5858南偏西南偏西2828例题：某船自西向东航行，在例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的方向上，前进的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）

10、轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？30458千米ABCD某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？解： 练习练习1：如图所示，某船以每小时：如图所示，某船以每小时36海里的速度海里的速度向正东航行，在向正东航行，在A点测得某岛点测得某岛C在北偏东在北偏东60方方向上，航行半小时后

11、到向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东点，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁（1）试说明）试说明B点是点是否在暗礁区域外否在暗礁区域外（2）若继续向东）若继续向东航行，有无触礁危航行，有无触礁危险？请说明理由险？请说明理由 北北东东ABCD解：（解：（1）AB=360.5=18，ADB=60，DBC=30，ACB=30又又CAB=30，BC=AB=1816，B点在暗礁区域外点在暗礁区域外（2）过）过C点作点作CHAF，垂足为，垂足为H，在，在RtCBH中，中，BCH=30，令令BH=x，则，则CH=x，在，在RtACH中，中，CAH=

12、30，AH=CH，18x=-x，x=9，CH=9 20 解：过点解：过点A作作ADBC于于D,ABDCNN1306024海里海里XADDCADBD 3 xX=123X+24设设CD=x,则则BD=X+24例例3、如图、如图X6-3，海岛，海岛A四周四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在由东向西航行，在B处见岛处见岛A在北偏西在北偏西60，航行，航行24海里到海里到C，见见岛岛A在北偏西在北偏西30，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？3060专题六专题六 热点探究热点探究图图X6-3例例4.海中有一个小岛海中有一个小岛

13、A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF= x , AD=2x则在则在RtADF

14、中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险3060解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但，但是，当我们要测量如图所示的山高是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就

15、不那么简单了，时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略策略.与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山坡的，而山坡是是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢？hhll 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡我们可以把山坡“化整为零化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段

16、时，注意使每一小段上的山坡近似是段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出这段坡长的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角，测出相应的仰角a1，这样就可以，这样就可以算出这段山坡的高度算出这段山坡的高度h1=l1sina1.hl 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再然后我们再“积积零为整零为整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”

17、“”“化化曲为直，以直代曲曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容你会更多地了解这方面的内容 如图所示，某地下车库的入口处有斜坡如图所示，某地下车库的入口处有斜坡ABAB，其坡比，其坡比i=11.5i=11.5，则，则AB=AB= m.m.13C C1.1.（20102010宿迁中考）小明沿着坡度为宿迁中考）小明沿着坡度为1:21:2的山坡向上走的山坡向上走了了1000m1000m，则他升高了（，则他升高了（ ）m5200A.500mB

18、.m3500C.1000mD.A A2.2.（20102010达州中考）如图，一水库迎水坡达州中考）如图，一水库迎水坡ABAB的坡度的坡度i1:3，则该坡的坡角则该坡的坡角=_.=_.3030 3.3.（20112011成都中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务成都中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶在航行到的我海军某军舰由东向西行驶在航行到B B处时，发现灯塔处时，发现灯塔A A在在我军舰的正北方向我军舰的正北方向500500米处；当该军舰从米处；当该军舰从B B处向正西方向行驶至处向正西方向行驶至达达C C处时，发现灯塔处时，发现灯塔A A在我军舰的北偏东在我军

19、舰的北偏东6060的方向的方向. .求该军舰求该军舰行驶的路程（计算过程和结果均不取近似值行驶的路程（计算过程和结果均不取近似值) ) 【解析解析】A=60A=60,BC=,BC=ABABtanAtanA=500=500tan60tan60= =500 3.4.4.海中有一个小岛海中有一个小岛A A，它的周围，它的周围8 8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在由西向东航行，在B B点测得小岛点测得小岛A A在北偏东在北偏东6060方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达D D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A A在北偏东在北偏东3030方向上，如果渔船方

20、向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAD60北北B BA AD DF F【解析解析】由点由点A A作作BDBD的垂线的垂线交交BDBD的延长线于点的延长线于点F F，垂足为，垂足为F F，AFD=90AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30DAF=30设设DF=x, AD=2xDF=x, AD=2x则在则在RtRtADFADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtRtABFABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=6x=666 310.4AFx10.4 810.4

21、 8没有触礁危险没有触礁危险30306060北北例例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直是指坡面的铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.41.解直角三角形解直角三角形, ,就是在直角三角形中就是在直角三角形中, ,知道除直角外的其他知道除直角外的其他 五个元素中的两个五个元素中的两个( (其中至少有一个是边其中至少有一个是边), ),求出其它元素的求出其它元素的 过程过程. .2.与之相关的应用题有与之相关的应用题有: :求山高或建筑物的高求山