第四章 重复博弈

1、第四章第四章 重复博弈重复博弈重复博弈：基本博弈重复进行重复博弈：基本博弈重复进行重复博弈中博弈方的重复博弈中博弈方的行为行为和博弈和博弈结果结果不一定是基不一定是基本博弈的简单重复本博弈的简单重复必须把整个重复博弈过程作为整体进行研究。必须把整个重复博弈过程作为整体进行研究。本章分三节本章分三节4.1 4.1 重复博弈引论重复博弈引论4.2 4.2 有限次重复博弈有限次重复博弈4.3 4.3 无限次重复博弈无限次重复博弈已知概率的随机已知概率的随机停止重复博弈停止重复博弈4.1 重复博弈引论重复博弈引论4.1.1 4.1.1 为何研究重复博弈为何研究重复博弈4.1.2 4.1.2 基本概念基

2、本概念4.1.1 为何研究重复博弈为何研究重复博弈n普遍存在性：普遍存在性：经济中的长期关系经济中的长期关系n与一次性博弈的差异：与一次性博弈的差异：未来利益对当前行为的制约未来利益对当前行为的制约n与动态博弈的差异：与动态博弈的差异：各阶段有独立的选择和利益各阶段有独立的选择和利益短期关系中缺乏形短期关系中缺乏形成某种默契或合作成某种默契或合作关系，或通过报复、关系，或通过报复、制裁的威胁，约束制裁的威胁，约束相互行为，追求共相互行为，追求共同利益的机会同利益的机会4.1.2 基本概念基本概念n有限次重复博弈：有限次重复博弈：给定一个基本博弈给定一个基本博弈G G（可以是静态博弈，（可以是静

3、态博弈，也可以是动态博弈），重复进行也可以是动态博弈），重复进行T T次次G G，并且在每次重复，并且在每次重复G G之前各博弈方都能观察到以前博弈的结果，这样的博弈过之前各博弈方都能观察到以前博弈的结果，这样的博弈过程称为程称为“G G的的T T次重复博弈次重复博弈”，记为，记为G(T)G(T)。而。而G G则称为则称为G(T)G(T)的的“原博弈原博弈”。G(T)G(T)中的每次重复称为中的每次重复称为G(T)G(T)的一个的一个“阶阶段段”。n无限次重复博弈：无限次重复博弈：一个基本博弈一个基本博弈G G一直重复进行下去的博一直重复进行下去的博弈，记为弈，记为G( )G( )没有可以预见

4、的结束时间，主观上认为会不断进行没有可以预见的结束时间，主观上认为会不断进行n策略：策略：博弈方在每个阶段针对每种情况如何行为的计划博弈方在每个阶段针对每种情况如何行为的计划n子博弈：子博弈：从某个阶段（不包括第一阶段）开始，包括此后从某个阶段（不包括第一阶段）开始，包括此后所有的重复博弈部分所有的重复博弈部分n均衡路径：均衡路径：由每个阶段博弈方的行为组合串联而成由每个阶段博弈方的行为组合串联而成重复博弈的得益重复博弈的得益的平均得益为相同的现在值，则称得益序列阶段的得益，能产生与无限次重复博弈）各个重复博弈或作为重复博弈（有限次：如果一常数，,2121平均得益11)1 (ttt虑贴现问题无

5、限次重复博弈必须考考虑贴现因素有限次重复博弈不一定若重复次数较少，或每次若重复次数较少，或每次重复时间间隔短重复时间间隔短11/(1)ttt随机停止和贴现率随机停止和贴现率n随机结束重复博弈：停止重复概率随机结束重复博弈：停止重复概率p p，重复下去概率，重复下去概率1-p1-p。设某博弈方第设某博弈方第t t阶段得益为阶段得益为t t，利率为，利率为，则该博弈方，则该博弈方期望得益的现在值为：期望得益的现在值为：22321)1/()1 ()1/()1 (pp1111111)11()1 ()1 (ttttttttttpp)1/()1 (p其中，其中，4.2 有限次重复博弈有限次重复博弈4.2.

6、1 4.2.1 两人零和博弈的有限次重复博弈两人零和博弈的有限次重复博弈4.2.2 4.2.2 唯一纯策略纳什均衡博弈唯一纯策略纳什均衡博弈 的有限次重复博弈的有限次重复博弈4.2.3 4.2.3 多个纯策略纳什均衡博弈多个纯策略纳什均衡博弈 的有限次重复博弈的有限次重复博弈4.2.4 4.2.4 有限次重复博弈的民间定理有限次重复博弈的民间定理4.2.1 两人零和博弈的有限次重复博弈两人零和博弈的有限次重复博弈n零和博弈是严格竞争的，重复博弈并不改变这零和博弈是严格竞争的，重复博弈并不改变这一点。一点。n以零和博弈为原博弈的有限次重复博弈与猜硬以零和博弈为原博弈的有限次重复博弈与猜硬币博弈的

7、有限次重复博弈一样，币博弈的有限次重复博弈一样，博弈方的正确博弈方的正确策略是重复一次性博弈中的纳什均衡策略策略是重复一次性博弈中的纳什均衡策略。n上述结论可推广到非零和或多个博弈方，没有上述结论可推广到非零和或多个博弈方，没有纯策略纳什均衡的纯策略纳什均衡的严格竞争博弈严格竞争博弈中。中。4.2.2唯一纯策略纳什均衡博弈的唯一纯策略纳什均衡博弈的 有限次重复博弈有限次重复博弈n定理：定理：设原博弈设原博弈G G有唯一的纯有唯一的纯策略纳什均衡策略纳什均衡, ,则对任意整数则对任意整数T T，重复博弈重复博弈 G(T)G(T)有唯有唯 一的子博一的子博弈完美纳什均衡，即各博弈方弈完美纳什均衡，

8、即各博弈方每个阶段都采用每个阶段都采用G G的纳什均衡的纳什均衡策略。各博弈方在策略。各博弈方在G(T)G(T)中的总中的总得益为在得益为在G G中得益的中得益的T T倍，平均倍，平均得益等于原博弈得益等于原博弈G G的得益。的得益。-5-5，-5-50 0，-8-8-8-8，0 0-1-1，-1-1坦坦 白白不坦白不坦白囚徒囚徒2 2坦白坦白不坦白不坦白囚囚徒徒1 1（-5-5，-5-5）-10-10，-10-10-13-13，-5-5-5-5，-13-13-6-6，-6-6坦坦 白白不坦白不坦白囚徒囚徒2 2坦白坦白不坦白不坦白囚囚徒徒1 1（-10-10，-10-10）有限次重复削价竞争

9、博弈有限次重复削价竞争博弈100100，1001002020，150150150150，20207070，7070高高 价价低低 价价高价高价低价低价寡头寡头2 2寡寡头头1 1削价竞争博弈削价竞争博弈有唯一纯策略纳什均衡有唯一纯策略纳什均衡（7070，7070）有限次重复的结果仍然是有限次重复的结果仍然是（低价，低价）（低价，低价）上述结论对有限次古诺模型重复博弈也成立。上述结论对有限次古诺模型重复博弈也成立。重复囚徒困境悖论和连锁店悖论重复囚徒困境悖论和连锁店悖论n重复囚徒困境博弈结果与直觉经验和大量重复囚徒困境博弈结果与直觉经验和大量实验结果不一致；实验结果不一致；n塞尔顿塞尔顿(197

10、8)(1978)提出提出”连锁店悖论连锁店悖论”n症结：较多阶段的动态博弈中逆推归纳法症结：较多阶段的动态博弈中逆推归纳法的适用性的适用性B B不进不进进进（1 1，1010）A A不打击不打击 打击打击（5 5，5 5）（-2-2，3 3）4.2.3多个纯策略纳什均衡博弈的多个纯策略纳什均衡博弈的 有限次重复博弈有限次重复博弈5 5，5 53 3，3 32 2，0 00 0，2 22 2，0 06 6，0 00 0，2 20 0，6 61 1，1 1H HM MH H厂商厂商2 2M ML L厂厂商商1 1L L三价博弈三价博弈2 2，2 23 3，1 13 3，1 11 1，3 34 4，

11、4 47 7，1 11 1，3 31 1，7 78 8，8 8厂厂商商1 1厂商厂商2 2L LM MH HH HM ML L两次重复三价博弈的等价模型两次重复三价博弈的等价模型触发策略：触发策略：两博弈方先试探合作，一旦发现对方不合作则也用不合作报复两博弈方先试探合作，一旦发现对方不合作则也用不合作报复博弈方博弈方1 1：第一次选：第一次选H H；如第一次结果为；如第一次结果为(H,H)(H,H)，则第二次选，则第二次选M M，否则选，否则选L L博弈方博弈方2 2：同博弈方：同博弈方1 1可以运用触发策略实可以运用触发策略实现较好的结果现较好的结果子博弈完美纳什均衡路径：第一阶子博弈完美纳

12、什均衡路径：第一阶段段(H,H)(H,H)，第二阶段，第二阶段(M,M)(M,M)触发策略的进一步讨论触发策略的进一步讨论n触发策略存在报复机制触发策略存在报复机制 的可信性问题的可信性问题q如果第一阶段一方偏离如果第一阶段一方偏离H，另，另 一方第二阶段采用报复性的一方第二阶段采用报复性的L 策略是不可信的。策略是不可信的。n触发策略在不少情况是触发策略在不少情况是 非常可信的非常可信的4 4，4 45 5，3 35 5，3 33 3，5 56 6，6 69 9，3 33 3，5 53 3，9 98 8，8 8厂厂商商1 1厂商厂商2 2L LM MH HH HM ML L重复三价博弈的等价

13、博弈：重复三价博弈的等价博弈：不可信报复不可信报复触发策略不可信，因此触发策略不可信，因此不管第一阶段结果如何，不管第一阶段结果如何，第二阶段都是第二阶段都是(M,M)(M,M)第一阶段第一阶段得益矩阵得益矩阵两市场博弈的重复博弈（重复两次）两市场博弈的重复博弈（重复两次）n(A,B)+(A,B) OR (B,A)+(B,A)(1,4)(4,1)(A,B)+(A,B) OR (B,A)+(B,A)(1,4)(4,1)n连续两次采用混合策略连续两次采用混合策略(2,2)(2,2)n(A,B)+(B,A) OR (B,A)+(A,B)(2.5,2.5)(A,B)+(B,A) OR (B,A)+(A

14、,B)(2.5,2.5)轮换策略轮换策略n一次纯策略一次纯策略+ +一次混合策略一次混合策略(1.5,3)(3,1.5)(1.5,3)(3,1.5)0 0，0 04 4，1 11 1，4 43 3，3 3厂厂商商1 1厂商厂商2 2B BA AA AB B两市场博弈两市场博弈没有运用触发策略的条没有运用触发策略的条件（或机会）件（或机会）触发策略不是普遍触发策略不是普遍存在的存在的策略与平均得益策略与平均得益重复博弈不同策略、均衡及一次性博弈得益比较重复博弈不同策略、均衡及一次性博弈得益比较n不同策略组合、均衡得益图示不同策略组合、均衡得益图示厂商厂商2 2得益得益厂商厂商1 1得益得益(1,

15、4)(1,4)(3,3)(3,3)( (2.5,2.52.5,2.5) )(2,2)(2,2)(3,1.5)(3,1.5)(4,1)(4,1)(1.5,3)(1.5,3)平均效率和公平性平均效率和公平性较好的均衡结果较好的均衡结果两市场博弈的重复博弈（重复三次或以上）两市场博弈的重复博弈（重复三次或以上）n三次及以上存在触发策略运用的条件三次及以上存在触发策略运用的条件n触发策略触发策略q厂商厂商1 第一阶段选第一阶段选A；若第一阶段结果为；若第一阶段结果为(A,A),则第二则第二阶段选阶段选A, 若第一阶段为若第一阶段为(A,B),则第二阶段选则第二阶段选B，第三阶，第三阶段无条件选段无条件

16、选Bq厂商厂商2 第一阶段选第一阶段选A；第二阶段无条件选；第二阶段无条件选B,若第一阶段若第一阶段结果为结果为(A,A), 则第三阶段选则第三阶段选A，若第一阶段为，若第一阶段为(B,A),则则第三阶段选第三阶段选B触发策略有很强的可信性，是子博弈完美纳什触发策略有很强的可信性，是子博弈完美纳什均衡均衡，双方每阶段平均得益，双方每阶段平均得益: (: (3+1+4)/3=2.673+1+4)/3=2.67均衡路径均衡路径(A,A) (A,B) (B,A)4.2.4 有限次重复博弈的民间定理有限次重复博弈的民间定理n个体理性得益：个体理性得益：不管其它博弈方的行为如不管其它博弈方的行为如何，一

17、博弈方在某个博弈中只要自己采取何，一博弈方在某个博弈中只要自己采取某种特定的策略，最低限度保证能获得的某种特定的策略，最低限度保证能获得的得益得益n可实现得益：可实现得益：博弈中所有纯策略组合得益博弈中所有纯策略组合得益的加权平均数组的加权平均数组n定理：定理：设原博弈的一次性博弈有均衡得益设原博弈的一次性博弈有均衡得益数组优于数组优于w w，那么在该博弈的多次重复中所，那么在该博弈的多次重复中所有不小于个体理性得益的可实现得益，都有不小于个体理性得益的可实现得益，都至少有一个子博弈完美纳什均衡的极限的至少有一个子博弈完美纳什均衡的极限的平均得益来实现它们平均得益来实现它们厂商厂商2 2得益得

18、益厂商厂商1 1得益得益(1,4)(1,4)(3,3)(3,3)(1(1，1)1)(4,1)(4,1)w=(1.1)w=(1.1)其中其中w w为一次性博弈中各为一次性博弈中各方最差均衡得益数组方最差均衡得益数组4.3 无限次重复博弈无限次重复博弈4.3.1 4.3.1 两人零和博弈的无限次重复博弈两人零和博弈的无限次重复博弈4.3.2 4.3.2 唯一纯策略纳什均衡博弈唯一纯策略纳什均衡博弈 的无限次重复博弈的无限次重复博弈4.3.3 4.3.3 无限次重复古诺模型无限次重复古诺模型4.3.4 4.3.4 有效工资率有效工资率4.3.1 两人零和博弈的无限次重复博弈两人零和博弈的无限次重复博

19、弈n两人零和博弈无限次重复的所有阶段都不可能发生合作，两人零和博弈无限次重复的所有阶段都不可能发生合作，博弈方会一直重复原博弈的混合策略纳什均衡博弈方会一直重复原博弈的混合策略纳什均衡n上述结论可以推广到更多博弈方、非零和严格竞争的无上述结论可以推广到更多博弈方、非零和严格竞争的无限次重复博弈限次重复博弈不存在合作的潜在不存在合作的潜在利益利益4.3.2唯一纯策略纳什均衡博弈唯一纯策略纳什均衡博弈 的无限次重复博弈的无限次重复博弈两寡头削价竞争博弈两寡头削价竞争博弈 该博弈一次性博弈均衡是都采用低价，是囚徒困境型该博弈一次性博弈均衡是都采用低价，是囚徒困境型博弈博弈4 4，4 40 0，5 5

20、5 5，0 01 1，1 1H HL LH HL L无限次重复两寡头削价博弈无限次重复两寡头削价博弈 触发策略：触发策略：第一阶段采用第一阶段采用H H，如果前，如果前t-1t-1阶段的结阶段的结果都是果都是(H,H)(H,H)，则继续采用，则继续采用H H，否则采用，否则采用L L。 如果博弈方如果博弈方2 2采用采用L L，总得益现值为，总得益现值为 如果博弈方如果博弈方2 2采用采用H H，总得益现值为，总得益现值为 因此当因此当 时，时，此触发策略为纳什均衡策略此触发策略为纳什均衡策略151152VV 44/114V1514两寡头削价竞争无限次重复博弈的民间定理两寡头削价竞争无限次重复

21、博弈的民间定理厂商厂商2 2得益得益厂商厂商1 1得益得益(1,4)(1,4)(4,4)(4,4)(1,1)(1,1)(4,1)(4,1)(5,0)(5,0)(0,5)(0,5),(),(1),(),(11niininxxGiexGxxGeeG均得益为什均衡，各博弈方的平完美纳中一定存在一个子博弈次重复博弈，那么无限足够接近都成立，而对任意博弈方果的任意可实现得益。如表示用的纳什均衡的得益，记的静态博弈。用是一个完全信息理：设无限次重复博弈民间定4.3.3 无限次重复古诺模型无限次重复古诺模型 假定：假定： ，边际成本都为，边际成本都为2 2。 在无限次重复古诺模型中，当贴现率在无限次重复古诺

22、模型中，当贴现率 满足一满足一定条件时，两厂商采用下列定条件时，两厂商采用下列触发策略触发策略构成一个子博弈完美构成一个子博弈完美纳什均衡：纳什均衡： 在第一阶段生产垄断产量的一半在第一阶段生产垄断产量的一半1.51.5；在第；在第 t t 阶段，阶段，如果前如果前 t-1 t-1 阶段结果都是阶段结果都是(1.5,1.5)(1.5,1.5)，则继续生产，则继续生产1.51.5，否则生产古诺产量否则生产古诺产量2 2。 21,8qqQQP其中 设厂商设厂商1 1已采用该触发策略，若厂商已采用该触发策略，若厂商2 2也采用该触发策也采用该触发策略，则每期得益略，则每期得益4.54.5，无限次重复

23、博弈总得益的现值为：，无限次重复博弈总得益的现值为： 如果厂商如果厂商2 2偏离上述触发策略，则他在第一阶段所偏离上述触发策略，则他在第一阶段所选产量应为给定厂商选产量应为给定厂商1 1产量为产量为1.51.5时，自己的最大利润产时，自己的最大利润产量，即满足：量，即满足： 解得解得 ，此时利润为，此时利润为5.06255.0625，高于，高于触发策略第一阶段得益触发策略第一阶段得益4.54.5。15 . 415 . 4222225 . 4max25 . 18max222qqqqqqq25. 22q 但从第二阶段开始，厂商但从第二阶段开始，厂商1 1将报复性地永远采用古诺产将报复性地永远采用古

24、诺产量量2 2，这样厂商，这样厂商2 2也被迫永远采用古诺产量，从此得利润也被迫永远采用古诺产量，从此得利润4 4。因此，无限次重复博弈第一阶段偏离的情况下总得益的现因此，无限次重复博弈第一阶段偏离的情况下总得益的现值为：值为： 当当 上述策略是厂商上述策略是厂商2 2对厂商对厂商1 1的同样触发策略的最佳反应，的同样触发策略的最佳反应，否则偏离是最佳反应。否则偏离是最佳反应。 140625. 540625. 52179140625. 515 . 4即低水平的合作低水平的合作n9/179/17时，可构造如下时，可构造如下触发策略触发策略：n第一阶段生产第一阶段生产q q* *(q(qm m/2

25、q/2q* *qqc c) )，第，第t t阶段，如果前阶段，如果前t-1t-1阶段的结果都是阶段的结果都是(q(q* *,q,q* *) )，则继续生产，则继续生产q q* *，否则生产，否则生产古诺产量古诺产量q qc c。n设厂商设厂商1 1已采用该触发策略，则厂商已采用该触发策略，则厂商2 2期望得益期望得益q采用触发策略：采用触发策略：* */(1-)/(1-)q第一阶段偏离：此时厂商第一阶段偏离：此时厂商2 2最优产量最优产量q q2 2=(6-q=(6-q* *)/2,)/2,得益得益d d=(6-q=(6-q* *) )2 2/4/4，无限次博弈得益现值为，无限次博弈得益现值为

26、* 24(6) / 411dcq低水平的合作低水平的合作n只有当只有当厂商厂商2才愿意采用触发策略，否则肯定会偏离。即只有才愿意采用触发策略，否则肯定会偏离。即只有当当 q*2(9-5)/(9-)时，触发策略是稳定的。时，触发策略是稳定的。n结论：结论：q越大，能支持越低的子博弈完美纳什均衡产量越大，能支持越低的子博弈完美纳什均衡产量q*q接近接近0时，时，q*接近古诺产量接近古诺产量2q09/17时，时，qm/2q* x q qc c，待定惩罚性产量待定惩罚性产量n可以证明对给定的贴现值可以证明对给定的贴现值，只要惩罚力度，只要惩罚力度x x足够大，上足够大，上述触发策略为子博弈完美纳什均衡

27、。述触发策略为子博弈完美纳什均衡。4.3.4 有效工资率有效工资率模型设定：模型设定： 首先厂商选择工资率为首先厂商选择工资率为 ，然后工人选择接受或拒，然后工人选择接受或拒绝。如果拒绝，则他作个体户得到收入绝。如果拒绝，则他作个体户得到收入 小于小于 ，如，如果接受果接受 ，则工人选择努力工作（负效用，则工人选择努力工作（负效用 ）还是偷）还是偷懒（无负效用）。懒（无负效用）。 厂商只能看到产量高低，高产量为厂商只能看到产量高低，高产量为 ，低产量，低产量0 0。 工人努力工作时一定是高产量工人努力工作时一定是高产量 ，不努力时却并不，不努力时却并不一定是一定是0 0，而是高产量，而是高产量

28、 的概率为的概率为 ，低产量，低产量0 0的概率的概率为为 。 工人努力工作时，厂商得益为工人努力工作时，厂商得益为 ，工人得益，工人得益为为 ； 工人偷懒时，厂商期望得益为工人偷懒时，厂商期望得益为 ，工人得益为工人得益为 。w0wwwe0yyypp1wyewwpyw考虑如下的考虑如下的触发策略触发策略： 厂商在第一阶段给工资率厂商在第一阶段给工资率 ，在第，在第t t阶段，如果前阶段，如果前面面t-1t-1阶段结果都是阶段结果都是 则继续给则继续给 ，否则，否则从此永远是从此永远是 。 工人的策略是如果工人的策略是如果 则接受，否则宁愿作则接受，否则宁愿作个体户得到个体户得到 ，并在以前各期结果都是，并在以前各期结