数学物理方法课件第七章-----行波法

1、本章主要内容本章主要内容 能够导出并且记住一维波动方程的通解能够导出并且记住一维波动方程的通解（达朗贝尔公式）；（达朗贝尔公式）； 掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义; 掌握行波法解题的要领，并且能够使用掌握行波法解题的要领，并且能够使用行波法求解定解问题；行波法求解定解问题；第七章第七章 行波法行波法7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）： )(| )(| - ,)(002xuxuxuautttxxtt一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式为已知函数。和其

2、中)()(xx视为无限或无界。略，可以那弦线的长度远处的边界条件可以忽内的振动情况，则开边界很远的一段范围又仅仅是在较短的、离长，而需要知道的如果考察的弦线长度很这里“无界”的理解：22121( )()0()()0(), dxadtdxdxaadtdtxatc xatcxatxat解： ）做特征变换，求定解问题中方程的通解的特征方程为：即从而得到两簇特征线 积分后得到 如下：做特征变换一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解0aautxtx式算符分解坐标变换：坐标变换： ()xat222222222222222()() 22uuuuu

3、xxxuuuuuxxxuuuuuuuat 利用复合函数求导法则，有同理有，一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式的的任任意意函函数数。是是积积分分，得得到到两两边边对对代代入入方方程程中中，得得到到和和把把)( ),(022222ffuuxutu7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解为任意函数。和其中，通解为还原自变量，得到的积分，得两边再对)()( )()(),()()()()(),(GFatxGatxFtxuGFGdfu一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式 atxatx7

4、.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解一次，得到积分式两边对和式联立求解，把为了把和，得。为此，把代入条件和，确定中的任意函数、利用初始条件和 )(1)()( )( )( )( )()()()20cdaxGxFxxGxFaxxGxFxGFx一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式 )()(),(atxGatxFtxu7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式 )()(),(atxGatxFtxu0011( )( )( ) 22211( )( )( ) 22211( , ) ()()( ) 22xxx atx atcF

5、 xxdacG xxdaxxatxatu x txatxatda 联立和式，可得利用式关系，把 换成和，并且得，达朗贝尔公式达朗贝尔公式DAlembert7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解实际上，这里 )(21)()(21)(21)(21)(21)(21)()()()(),(00daatxatxdaatxdaatxatxGatxFGFtxuatxatxatxatx一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式(11)( )D Alembert式称为达朗贝尔（）公式。它就是无界弦自由振动的定解问题的解。这种求解方法也称达朗贝尔法。 atxatx7.1 行波法行波法一维波动方程

6、的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解行波法解题要领行波法解题要领 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为：行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： （1 1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从而得到方程的通解；而得到方程的通解； （2 2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微分方程为常数），从而得到其特解。分方程为常数），从而得到其特解。 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或的通解均不

7、易获得，使用定解条件确定其任意函数或常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点( (实际实际上我们主要只使用它研究波动问题上我们主要只使用它研究波动问题) )。因此行波法是求。因此行波法是求解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。四、关于达朗贝尔公式的应用四、关于达朗贝尔公式的应用20010, 0 1|cos , |1( )cos ,( ),111( , )cos()cos()22 costtxxtttx atx atua

8、 u-x, t uxuexxxeu x txatxatdaeat 例：求解初值问题解：本例题为一维波动方程的标准形式，可以直接使用达朗贝尔公式求解。这里故由达朗贝尔公式得costxe贝尔公式直接求解。贝尔公式直接求解。问题，均可以使用达朗问题，均可以使用达朗够化为这类够化为这类的问题，或者变形后能的问题，或者变形后能中的定解问题中的定解问题故只要遇到形如故只要遇到形如，弦的自由振动问题的解弦的自由振动问题的解行波法推得的一维无界行波法推得的一维无界、达朗贝尔公式是根据、达朗贝尔公式是根据)(1 . 717.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解四、关于达朗贝尔公式的应

9、用四、关于达朗贝尔公式的应用)arctan()arctan(21 1121),(,11)(, 0)(11| , 0| 0 , 02222002atxatxadatxuxxxxuu, tx-uauatxatxtttxxtt故由达朗贝尔公式得这里公式求解。直接使用达朗贝尔方程的标准形式，可以解：本例题为一维波动问题：使用行波法求解定解例7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解四、关于达朗贝尔公式的应用四、关于达朗贝尔公式的应用)( )()(21)()(21 )( 21)()(21 )( 21)()(21),(),( )(),()()( | ),(| 0 , 0:)( )

10、(3002atxatxatxatxatxdatxatxdaaatxatxtxuxaxxxxauxu, tx-uauxaxatxatxatxatxtttxxtt故由达朗贝尔公式得公式求解。这里直接使用达朗贝尔方程的标准形式，可以解：本例题为一维波动下定解问题。该问题可以归结为如初始速度为，题，设弦的初始位移为：求解弦的自由振动问例7.1 行波法行波法一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解7.2 行波法行波法强迫振动强迫振动强迫振动问题强迫振动问题0| , 0| 0 ),()(,)(| ),(| 0 ),()(1002002tttxxtttttxxttuu, tx-txfuauuuuuu

11、xuxu, tx-txfuau纯纯强强迫迫振振动动问问题题。，相相当当于于求求解解下下列列定定；对对其其解解由由达达朗朗贝贝尔尔公公式式确确代代表表自自由由振振动动，其其中中成成。其其解解可可以以分分为为两两部部分分组组（非非齐齐次次）定定解解问问题题、对对于于一一般般的的强强迫迫振振动动),(| , 0| 0 , 0);,(,);,(),(0| , 0| 0 ),()(020002xfvv, tx-vavtxvdtxvtxuuu, tx-txfuautttxxttttttxxtt满足下列定解问题而确定，即其解可以由冲量定理法对于纯强迫振动问题：强迫振动问题强迫振动问题达朗贝尔公式直接求解7.

12、2 行波法行波法强迫振动强迫振动)(| ),(| 0 ),()(002xuxu, tx-txfuautttxxtt次）定解问题一般的强迫振动（非齐u（达朗贝尔公式）（达朗贝尔公式）u()()0()()0()1( , )( , )2( )111( , ) ()()( )( , )222tx a tx a ttx atx a tx atx a tu x tfd dau x txatxatdfd daa 这样就得到了纯强迫振动问题 的解为纯强迫振动问题的解。从而一般的强迫振动（非齐次）定解问题的解为：五、强迫振动问题五、强迫振动问题7.2 行波法行波法强迫振动强迫振动行波法复习小结行波法复习小结1、

13、一维无界弦自由振动的初值问题、一维无界弦自由振动的初值问题 2 ( ,0)( ),( ,0)( )ttxxtua uxu xxu xx 2、行波法解波动方程的基本思想与关键步骤：、行波法解波动方程的基本思想与关键步骤： 基本思想：基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确 定特解。定特解。 关键步骤：关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。次二阶偏微分方程。( , )0aau x ttxtx算符分解算符分解xat xat 0),(2u1122( , ) ()()( )x atx

14、 atu x txatxatda 12( )( )uff12( , )()()u x tfxatfxat变量代换变量代换通解通解代入初始条件代入初始条件0( )tux 0( )ttux 特解特解达朗贝尔公式达朗贝尔公式 ( , )0aau x ttxtx3、达朗贝尔解的物理意义、达朗贝尔解的物理意义a达朗贝尔公式表明，弦上任意扰动总是以行波的形式分别向左右两个方向传播出去，其传播速度刚好等于弦振动方程中的常数 ，两列波的叠加给出了弦上任意时刻、任意位置的位移。正因为如此，本章所使用的方法叫做行波法。4、行波法的应用、行波法的应用求解一维无界弦的求解一维无界弦的自由振动（齐次）自由振动（齐次）问

15、题问题；（；（7.1）求解一维无界弦的求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）强迫振动（非齐次）问题；问题；（7.2）基本思想：利用偏微分方程和定解条件的线性叠加性质， 将定解问题分解为自由振动和纯强迫振动两部分。关键步骤：利用冲量原理法求解纯强迫振动0| , 0| 0 ),()(| ),(| 0 0,)(| ),(| 0 ),(002002002tttxxtttttxxtttttxxttuu, tx-txfuauuxuxu, tx-uauuuuuuuxuxu, tx-txfuau：相当于纯强迫振动问题代表自由振动，其中利用线性叠加性质：非齐次）定解问题对于一般的强迫振动（),(| , 0| 0 ,

16、 0);,(,);,(),(0| , 0| 0 ),(020002xfvv, tx-vavtxvdtxvtxuuu, tx-txfuautttxxttttttxxtt满足下列定解问题而，即可以由冲量定理法求解对于纯强迫振动问题：达朗贝尔公式直接求解)(| ),(| 0 ),(002xuxu, tx-txfuautttxxtt次）定解问题一般的强迫振动（非齐u（达朗贝尔公式）（达朗贝尔公式）u()()0()()01( , )( , )2( )111( , ) ()()( )( , )222tx a tx a ttx atx a tx atx a tu x tfd dau x txatxatdfd

17、 daa 这样就得到了纯强迫振动问题的解为纯强迫振动问题的解。从而一般的强迫振动（非齐次）定解问题的解为：4、行波法的应用、行波法的应用求解一维无界弦的求解一维无界弦的自由振动（齐次）自由振动（齐次）问题；问题； （7.17.1）求解一维无界弦的求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）强迫振动（非齐次）问题；问题；（7.27.2） 求解半无界弦的自由振动问题求解半无界弦的自由振动问题端点的反射：端点的反射： 端点固定端点固定22222() (, )0au x ttx (0)x 0( )tux 0( )ttux 边界条件边界条件00 xu 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为达朗贝尔公式是无

18、限长弦的公式。由于自变量限制为x 011( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 当当tx/a时，上式后两项无意义，必须将时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围。延拓到这个范围。初始条件初始条件定解问题定解问题讨论：讨论：2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始条件：代入初始条件：延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：代入边界条件：代入边界条件：0)()(21atfatf令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x奇延拓奇延拓)0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(x)()(12xfxf)0( x所以做奇延拓：所以做奇延拓：(0, )0ut 由边界条件：由边界条件：taxtaxdaatxatxu)(21)()(21达朗贝尔解为：达朗贝尔解为：2)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02Cdaatxatxftaxx（1）x at, 即即 x - a