空间直线及其方程

1、Space of lines and equation高高等等数数学学课课件件编编一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式二、空间直线的对称式 方程与参数方程方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角五、小结五、小结 思考题思考题四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角xyzo1 2 L高高等等数数学学2/13一、空间直线一般方程一、空间直线一般方程二、空间直线的对称式二、空间直线的对称式 方程与参数方程方程与参数方程2.1、方向向量、方向向量2.2、对称式、对称式(点向式点向式)方程方程2.3、直线的参数方程、直线的参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角3.1、

2、定义与夹角公式、定义与夹角公式3.2、两直线的位置关系、两直线的位置关系四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角4.1、定义与夹角公式、定义与夹角公式4.2、直线与平面的位置、直线与平面的位置关系：关系：五、小结五、小结 思考题思考题 在直线方程在直线方程pznymx+ +- -= = =- -6224中，中，m、n、p各怎样取值时，各怎样取值时，xoy、yoz都平行都平行. .直线与坐标面直线与坐标面 P49503；5；10；13；15。作业作业3/13xyzo1 2 空间直线可看成空间直线可看成两平面的交线两平面的交线0:11111= =+ + + + DzCyBxA0:22222= =+

3、 + + + DzCyBxA = =+ + + += =+ + + +0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L注意注意: 通过空间一直线通过空间一直线L的平面有无数个的平面有无数个, 其方其方程组仅需要两个联立即可程组仅需要两个联立即可; 方程组中两个平面方程组中两个平面,既不平行也不重合既不平行也不重合, 否则就不是空间直线否则就不是空间直线.4/13xyzo2.1、方向向量、方向向量 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL2.2、对称式、对称式(点向式

4、点向式)方程方程),(0000zyxM,LM ),(zyxMsMM0/pzznyymxx000- -= =- -= =- -),(pnms = =),(0000zzyyxxMM- - - -= =直线的直线的对称式对称式或或点向式点向式方程方程.5/13pzznyymxx000- -= =- -= =- -由直线的对称式方程由直线的对称式方程2.3、直线的参数方程、直线的参数方程tpzznyymxx= =- -= =- -= =- -000令令 + += =+ += =+ += =ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数直线的参数方程直线的参数方程方向向量方向向量s= =

5、(m,n,p)的余弦的余弦称为直线的称为直线的方向余弦方向余弦. .6/13例例1 用对称式方程用对称式方程 及参数方程表示直线及参数方程表示直线.043201 = =+ + +- -= =+ + + +zyxzyx解解 在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx令令10= =x,063020000 = =- - -= =+ + +zyzy解解2, 000- -= = =zy得点坐标得点坐标),2,0,1(- -因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns = =对称式方程对称式方程,321041- -+ += =- - -= =- -zyx参数方程参

6、数方程.3241 - - -= =- -= =+ += =tztytx),3, 1, 4(- - -= =312111- -= =kji7/13解解例例2 2 一直线过点一直线过点)4 , 3, 2(- -A，且和且和y轴垂直相轴垂直相交，求其方程交，求其方程.因为直线和因为直线和y轴垂直相交轴垂直相交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0(- -B取取BAs = =),4, 0, 2(= =由点向式可得所求直线方程为由点向式可得所求直线方程为.440322- -= =+ += =- -zyxxyzoBA28/13定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx- -= =- -=

7、=- -直线直线:2L,222222pzznyymxx- -= =- -= =- -两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之. .（锐角）（锐角）3.1、定义与夹角公式、定义与夹角公式22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL+ + + + + + + += =两直线的夹角公式两直线的夹角公式9/133.2、两直线的位置关系：、两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121= =+ + +ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm= = =直线直线:1L例如，例如，),0, 4, 1(1- -= =s直线直线:2L),1 ,

8、 0 , 0(2= =s, 021= = ss,21ss .21LL 即即10/13解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms = =根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns = =.153243- -= =- -= =+ +zyx所求直线的方程所求直线的方程例例3 3求过点求过点)5, 2, 3(- -且与两平面且与两平面34 = =- - zx和和152= =- - -zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程. .512401- - - -= =kji),1, 3, 4(- - - -= =11/13解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且

9、与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3= =- - - -+ +- -zyx再求直线与该平面的交点再求直线与该平面的交点N,令令tzyx= =- -= =- -= =+ +12131. 1213 - -= =+ += =- -= =tztytx例例4 4 求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131- -= =- -= =+ +zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程. .代入平面方程得代入平面方程得 , ,73= =t交点交点)73,713,72(- -N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272- - - - -= =,72

10、4,76,712- - -= =所求直线方程为所求直线方程为.431122- -= =- - -= =- -zyx12/13定义定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL- -= =- -= =- - 0.2 4.1、定义与夹角公式、定义与夹角公式),(pnms = =, 0:= =+ + + + DCzByAx),(CBAn = = + += =2),(ns - -= =2),(ns直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式 - -= = cossin2 222222|sinpnmCBACpBnAm+ + + + + + + += = .cos + += =2 13/134.2、直线与平面的位置关系：、直线与平面的位置关系： L)1(.pCnBmA= = = L)2(/. 0= =+ + +CpBnAm例例5 5设直线设直线:L21121+ += =- -= =- -zyx, ,平面平面: 32 = =+ +- -zy