常微分方程第二章习题解答

1、第二章第二章 基本定理基本定理习题课习题课2012.11.20一一. 微分方程的几何解释微分方程的几何解释方方程程这这样样处处的的线线素素称称为为在在点点的的单单位位线线段段作作一一斜斜率率为为为为中中点点以以点点内内任任意意一一点点对对上上定定义义在在平平面面区区域域设设,.),(,),(,),(),(,),(yxyxfyxyxDDyxf)1.2(),(yxfdxdy 线线 素素 场场.上上确确定定了了一一个个线线素素场场在在区区域域D曲线曲线L是微分方程是微分方程 (2.1)的积分曲线的充要条件是的积分曲线的充要条件是:在曲线在曲线L上任意上任意一点一点, L的切线方向与的切线方向与(2.

2、1)所确定的线素场在该点的线素方向重所确定的线素场在该点的线素方向重合合.线素场与积分曲线的关系线素场与积分曲线的关系二二. 基本定理基本定理。的解存在满足初值条件12方程则对上连续在平面区域设00000000),;(=),;().(,),(,),(yxxyyyxxDyxDyxf1. 存在性定理存在性定理2. 存在唯一性、解关于初值的连续依赖性及延展性定理存在唯一性、解关于初值的连续依赖性及延展性定理的边界。到并且可以向左、右延拓具有连续依赖性，存在、唯一，关于初值解的满足初值条件12方程则对条件满足局部且关于上连续在平面区域设00000000DyxxyyyxxDyxLipschitzyDyx

3、f),;(=),;().(,),(,),(3. 解关于初值的可微性定理解关于初值的可微性定理-存在、连续并且有的偏导数关于则解上连续在平面区域设000000000000000000 xxyxxydsyxssfdsyxssfyeyeyxfxyxxxfxyxxyxxyxxyDyxfyxf),;(,(),;(,(=),(=),;(,(=,),;(=,),(),(三三. 两个重要定理两个重要定理,)(,)()(+)()(.,)(),()(baxexybaxdttytuxyxybxabaxuxyxxdttuxx则有满足不等式使得0如果存在常数上连续、非负在设0001. Bellman引理引理2. 比较定

4、理比较定理);,()(),(:)()(),(),(yxFyxfDyxFyxf不等式2；解的存在、唯一性条件1上满足在平面区域设.),(;),()(),(),;(=),;(=)(),(=),(=0000000000000000间上有下列不等式：则在它们共同存在的区和的解分别为的满足同一初值条件和方程记方程xxyxxyxxxxyxxyxxyxxyyxxyyxyyxFdxdyyxfdxdy四四. 奇解与包络奇解与包络的的奇奇解解。的的包包络络线线为为方方程程的的积积分分曲曲线线族族方方程程)1 . 2(0),(:)()1 . 2()1( CyxC的的包包络络线线。是是曲曲线线族族则则曲曲线线如如果果满满足足非非退退化化条条件件确确定定的的连连续续可可微微曲曲线线判判别别式式：由由求求包包络络的的)(0),()(),(, 0)( ()( ()()(:0),(0),()2(2222ClCyxCCyxCCCyCxlCyxCyx