高数一复习(期末)(内容)

1、 xkd xx d xxd xxd1 xxd12 21dxx xxdcos xxdsec2 21dxx xxdsin xxdcsc2xxxdtansec xxxdcotcsc xexd xaxd xxdchxxdsh xxdtanxaxd122 xaxd122 xxdcot xxdsec xxdcscxxad122 xxad122 xaxd122 xexd- xxd2sin xx1dxxaxd22 xxxdcossin xxdln xxaxd22 xd2sin xxd xxd xxd1 xxd12 21dxx xxd3cos xxdsec2 21dxx xxd5sin xxdcsc2xxxdt

2、ansec xxxdcotcsc xexd xxd5 xxdtanxxd412 xxd412 xxdcot xxdsec xxdcscxxd412 xxd412 xxd412 xexd- xx1dxxxd22 xxxdcossin xxdln xxxd22 第四章第四章不定积分不定积分主要内容主要内容积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分公公式式第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()( uufd)()(xu tttfd)()( 易求易求难求难求 x

3、xfd)()(tx 第二类换元法解决的问题第二类换元法解决的问题常用的几种配元形式常用的几种配元形式 p193 xbxafd)()1( )(bxaf)(dbxa a1 xxxfnnd)()2(1 )(nxfnxdn1 xxxfnd1)()3( )(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法 xxxfdcos)(sin)4( )(sin xfxsind xxxfdsin)(cos)5( )(cosxfxcosd xxxfdsec)(tan)6(2 )(tan xfxtand xaafxxd)()9( aafxln)(xad xxxfd1)(ln)8( )(ln xfxlnd xxxfdcsc)(

4、cot)7(2 )(cot xfxcotd xxxfd11)(arcsin)10(2 )(arcsinxfxarcsind xxxfd11)(arctan)11(2 )(arctanxfxarctand xxfxfd)()()12()(dxf )(1xfxxxkndcossin122 xxxknsindcossin22 AT xxndsin kn2 降幂降幂12 kn xxfcosd)(cosBT;)0(cossind2222 baxbxax;)0(cosd222 baxbax; )0(sind222 baxbax.)0(cossind22 baxxbaxx2cos1分子分母同乘分子分母同乘C

5、T1.三角代换三角代换一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 不加绝对值；不加绝对值；习惯约定开偶次方后习惯约定开偶次方后在三角代换中在三角代换中, .,运运算算不不用用反反三三角角回回代代时时用用辅辅助助三三角角形形在在三三角角代代换换中中 第二类换元法中常用代换第二类换元法中常用代换2.分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, ,可采用倒代换可采用倒代换.1tx 3. 当被积函数含有当被积函数含有 时，令时，令 ( (其中其中 为各根指数的最小公倍数

6、）为各根指数的最小公倍数） lkxx,ntx n第五章第五章 定积分定积分问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式主要内容主要内容与定积分性质有关的证明与应用与定积分性质有关的证明与应用1. 利用性质证明不等式、估值、比较大小利用性质证明不等式、估值、比较大小 2. 积分上限函数积分上限函数 求导、极限、最值、拐点求导、极限、最值、拐点; ;判别单调性、凹凸性判别单调性、凹凸性; ;证明证明 计算计算1.

7、是常义积分还是广义积分是常义积分还是广义积分(特别是第二类）特别是第二类）2. 积分区间是否对称，被积函数的奇偶性积分区间是否对称，被积函数的奇偶性绝对值绝对值被积函数开根号后要加被积函数开根号后要加在定积分中,在定积分中,3. 重要结论重要结论4. 利用变量代换计算分段函数的定积分及证明等式利用变量代换计算分段函数的定积分及证明等式, ,)(. 1aaCxf xxfaad)( 则则,d)(20 xxfa 时时)()(xfxf 时时)()(xfxf ,0 的奇数的奇数为大于为大于为偶数为偶数1,3254231,22143231nnnnnnnnnn 200d)(sin2d)(sin. 4 xxf

8、xxf.dsin2dsin200 xxxxnn 2022d)(cos2d)(cos. 5 xxfxxf.dcos2dcos2022 xxxxnn.)()(. 6函数函数偶偶函数其原函数为奇函数其原函数为奇奇奇连续的偶连续的偶),()()(. 7xflxfxf 连续，连续，.d)(d)(0 llaaxxfxxf则则0sinsinsin520561365 dxxdxxdxx 如如第六章第六章 定定 积积 分的应用分的应用内容小结内容小结一、几何应用一、几何应用平面图形的面积平面图形的面积xyo)( xfy abxyo)( yx cd )()(tytx 21d)()(ttttt baxxfd)( d

9、cyy d)( 21:ttt )d(212r,)( Crr 旋转体体积旋转体体积 baxxxfVd)(2 dcyyyVd)(2 21d)()(2ttxtttV 内容小结内容小结一、几何应用一、几何应用弧长弧长xyo)( xfy abxyo)( yx cd )()(tytx t,)( Crr xxfbad)(12 yydcd)(12 tttd)()(22 d)()(22 rr22)(d)(ddyxs 注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须上大下小下限必须上大下小)sin(ttax )cos1(tay ar cos2ar sin2ar )cos1( ar os2222car taytax

10、33sincos)20( txyoa a0 xya24 a 2xyo二、物理应用二、物理应用1. 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功抽水做功抽水做功2. 水压力水压力第七章第七章 微分方程微分方程0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程)()(dd. 121yfxfxy xxgyyd)(d)( )(dd. 2xyxy ,xyu ).(dduxuux )()(dd. 3xQyxPxy CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(nyxQyxPxy)()(dd. 4 CxexQneyzxxPnxxPnnd)()1(d)()1(d)()1(1高高阶阶微微分分方方程程)(. 1)(xfyn 通过通

11、过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .),(. 2yxfy )(y缺缺)(. 3xPeyqypymx 方程方程常系数非齐次线性微分常系数非齐次线性微分其通解为其通解为Yy *y 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解高高阶阶微微分分方方程程)(. 1xfy 通过通过 两两 次积分次积分, 可得含可得含 2个任意常数的通解个任意常数的通解 .),(. 2yxfy )(y缺缺)(. 3xPeyqypymx 方程方程常系数非齐次线性微分常系数非齐次线性微分其通解为其通解为Yy *y 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解设设, )(xpy ,ddxppy 则则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程),(ddpxfxp 设其通解为设其通解为),(1Cxp 则得则得),(1Cxy 再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解