一元一次方程的应用等积变形问题

1、4.3一元一次方程的应用hR要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？你还能举出相类似的事例吗？你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）形状改变，体积不变。想一想： 请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形； 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变 解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变 解：形状改变，体积不变常用几何图形的计算公式 长方形的周长长方形的周长 =

2、 长方形的面积长方形的面积 = 三角形的面积三角形的面积 = 圆的周长圆的周长= 圆的面积圆的面积= 长方体的体积长方体的体积 = 圆柱体的体积圆柱体的体积 =（长宽）（长宽） 2 长长 宽宽 底底高高122r(其中其中r是圆的半径）是圆的半径）r长长宽宽高高 rh（这里（这里r为底面圆的半径，为底面圆的半径，h为圆柱体的高）为圆柱体的高）底面积底面积高高问题问题1 用一根长用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形厘米的铁丝围成一个长方形使长方使长方形的宽比长少形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积厘米，求这个长方形的面积60厘米厘米C铁丝铁丝 = C 长长方形方形 小明想用一根长为小明想用一根长

3、为10米的铁丝围成一个长方形米的铁丝围成一个长方形.（1）使得这个长方形的长比宽多）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽米，此时长方形的长、宽各为多少米？各为多少米？解：设此时长方形的宽为解：设此时长方形的宽为x米，米，2(x+x+1.4)=102x=3.6x=1.8长方形的长为长方形的长为1.8+1.4=3.2长方形的长为长方形的长为3.2米，宽为米，宽为1.8米米则它的长为（则它的长为（x+1.4）米，）米，根据题意，得根据题意，得问用方程解决题二二 合作交流，探究新知合作交流，探究新知，(2)使得该长方形的长比宽多使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽米，此时

4、长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方）中所围成的长方形相比、面积有什么变化？形相比、面积有什么变化？用一根长为用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。米的铁丝围成一个长方形。解：设此时长方形的宽为解：设此时长方形的宽为x米，米，2(x+x+0.8)=102x=4.2x=2.1长方形的长长方形的长2.1+0.82.9则它的长为（则它的长为（x+0.8）米，）米，根据题意，得根据题意，得长方形的长为长方形的长为2.9米，宽为米，宽为2.1米，米，S=2.92.16.09米米2，（1）中的长方形围成的面积：）中的长方形围成的面积：3.21.8

5、5.76米米2比（比（1）中面积增大）中面积增大6.095.760.33米米2XX+0.8(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（积与（2）中相比又有什么变化？）中相比又有什么变化？用一根长为用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。米的铁丝围成一个长方形。解：设此时正方形的边长为解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得米，根据题意，得4x=10 x=2.5比（比（2）中面积增大）中面积增大6.256.090.16 米米2X正方形的边长为正方形的边长为2.5米，

6、米，S=2.52.56.25 米米2同样长的铁丝围同样长的铁丝围成怎样的四边形面成怎样的四边形面积最大呢？积最大呢？面积：面积：1.8 3.2=5.76面积：面积： 2.9 2.1=6.09面积：面积： 2.5 2.5 =6. 25围成围成正方形正方形时四边形面积最大时四边形面积最大小明的爸爸想用小明的爸爸想用1010米铁线在墙边围成一个米铁线在墙边围成一个菜地，使长比宽大菜地，使长比宽大4 4米，问小明要帮他爸米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？铁线铁线墙面墙面xX+4同学们有看过炼钢厂的同学们有看过炼钢厂的生产车间吗？生产车间吗？在锻压车间，我

7、们可以在锻压车间，我们可以看到工人经常将一些看到工人经常将一些“又矮又胖又矮又胖”的圆柱形的圆柱形铁锭锻造成铁锭锻造成“又瘦又长又瘦又长”的长方体条钢。的长方体条钢。你能根据自己的理解试你能根据自己的理解试着用橡皮泥先做出着用橡皮泥先做出“矮矮胖形胖形”圆柱体，再将它圆柱体，再将它变成变成“瘦长形瘦长形”长方体长方体吗？有何发现？找一找吗？有何发现？找一找其中什么发生变化，什其中什么发生变化，什么没有发生变化。么没有发生变化。V圆柱体圆柱体 = V 长方体长方体 问题问题2 2比比较问题较问题1和问题和问题2的解题过程，有什么发现的解题过程，有什么发现? 归纳归纳: : （1 1）两个问题都与

8、几何图形的变形有关）两个问题都与几何图形的变形有关 。问题。问题1 1是是“等周变形等周变形”，问题，问题2 2是是“等积变形等积变形”。 解决这类解决这类问题的问题的关键是抓住其中的不变量，周长或体积关键是抓住其中的不变量，周长或体积 。（2 2）在这类问题中，要熟记常见几何图形的）在这类问题中，要熟记常见几何图形的面积面积 、体积公式。注意不要把直径当成半径、体积公式。注意不要把直径当成半径 。？提示：提示： 长方体的体积长方体的体积= =长长 宽高宽高 圆柱体体积圆柱体体积= =底面积高底面积高1 1、一块长、宽、高分别为一块长、宽、高分别为4 4厘米厘米 、3 3 厘米厘米 、2 2

9、厘厘米米 的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.51.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.10.1厘米，厘米，取取3.143.14）等量关系：等量关系： 长方体的体积长方体的体积= =圆柱体的体积圆柱体的体积234r=1.5x变形前的体积（周长变形前的体积（周长)=)=变形后的体积（周长变形后的体积（周长) )等积变形问题的等量关系等积变形问题的等量关系将一个底面直径是将一个底面直径是1010厘米厘米, ,高为高为3636厘米厘米的的“瘦长瘦长”形圆柱锻压成底面直径为形圆柱锻压成底面直径为2020厘米的厘米的“

10、矮胖矮胖”形圆柱，高变成了多少？形圆柱，高变成了多少？ 解：设锻压后圆柱的高为解：设锻压后圆柱的高为X X厘米，填写下表厘米，填写下表：锻压前锻压前锻压后锻压后底面底面半径半径高高体体 积积 5厘米厘米 10厘米厘米 36厘米厘米 X厘米厘米 5236等量关系：等量关系：锻压前的体积锻压前的体积= =锻压后的体积锻压后的体积 102 x根据等量关系，列出方程根据等量关系，列出方程： 5236 102 x解得：解得： X=9X=99=因此，高变成了因此，高变成了 厘米厘米 列方程时，关键是找出列方程时，关键是找出问题中的等量关系。问题中的等量关系。先请您试一试:例例1:1:某校三年共购买计算机某

11、校三年共购买计算机140140台台, ,去年购买数量去年购买数量是前年的是前年的2 2倍倍, ,今年购买数量又是去年的今年购买数量又是去年的2 2倍倍. .前前年这个学校购买了多少台计算机年这个学校购买了多少台计算机? ?分析分析: :设前年这个学校购买计算机设前年这个学校购买计算机x x台台那么那么, ,去年购买计算机去年购买计算机_台台今年购买计算机今年购买计算机_台台根据问题中的相等关系根据问题中的相等关系: :前年购买量前年购买量+ +去年购买量去年购买量+ +今年购买量今年购买量=140=140台台可列得方程可列得方程: : _ _2x4xx+2x+4x=140三三 应用迁移巩固提高

12、应用迁移巩固提高怎样调配劳动力怎样调配劳动力问用方程解决题解解:设前年这个学校购买计算机设前年这个学校购买计算机x x台台, ,那么那么, ,去年购去年购买计算机买计算机2x2x台台, ,今年购买计算机今年购买计算机4x4x台台, ,根据题意根据题意: :x+2x+4x=140 x+2x+4x=140 解得解得:x=20:x=20答答: :前年这个学校购买计算机前年这个学校购买计算机2020台台相等关系相等关系:总量总量=各部分量的和各部分量的和请您想一想请您想一想? ?在这个问题中的基本在这个问题中的基本等量关系有什么特征等量关系有什么特征?分析：分析： 原有人原有人数数抽调后人抽调后人数数

13、 甲组甲组 乙组乙组 设从甲组抽调了设从甲组抽调了x x人去乙组人去乙组。等量关系式：抽调后甲组人数的等量关系式：抽调后甲组人数的2 2倍倍= =抽调后的乙组人数抽调后的乙组人数方程：方程： 2(17-x) = 25+x2(17-x) = 25+x1725（17-x)(25+x)问用方程解决题 某班学生分两组参加植树活动，甲组有某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，人，乙组有乙组有25人，后来由于需要，又从甲组抽调了部人，后来由于需要，又从甲组抽调了部分同学去乙组，结果乙组人数是甲组的分同学去乙组，结果乙组人数是甲组的2倍。问从倍。问从甲组抽调了多少人去乙组？甲组抽调了多少人去乙组？怎样调

14、配劳动力怎样调配劳动力三三 应用迁移巩固提高应用迁移巩固提高例例4一张方桌由一张方桌由1个桌面、个桌面、4条桌腿组成，条桌腿组成，如果如果1立方米木料可以做方桌的桌面立方米木料可以做方桌的桌面50个个或做桌腿或做桌腿300条，现有条，现有5立方米木料，那立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配成多少方桌？好配成方桌？能配成多少方桌？分析：本题的配套关系是：桌面：桌腿分析：本题的配套关系是：桌面：桌腿=1：4，即一个桌面需要，即一个桌面需要4个桌腿个桌腿.解：设用解：设用x立方米做桌面，立方米做桌面，(5-x)立方米做立方米做桌腿，则可做桌面桌腿，则可做桌面50 x个，做桌腿个，做桌腿300(5-x)条条.根据题意，得根据题意，得450 x=300(5-x), 解得解得x=3, 5-x=2所以用所以用3立方米做桌面，立方米做桌面，2立方米做桌腿，