D中值定理高等数学实用教案

1、费马费马(fermat)引引理理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定定理理(dngl)且 存在(cnzi)证: 设则)(0 xf 0)(0 xfxyo0 x费马 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 证毕第1页/共27页第一页，共28页。罗尔（罗尔（ Rolle ）定）定理理(dngl)满足(mnz):(1) 在区间(q jin) a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b )使xyoab)(xfy 证:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则因此在( a , b ) 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返

2、回 结束 第2页/共27页第二页，共28页。若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少中至少(zhsho)有有一个与端点值不等一个与端点值不等,不妨(bfng)设 则至少存在(cnzi)一点使注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,x1yo则由费马引理得 x1yo1x1yo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第三页，共28页。使2) 定理条件定理条件(tiojin)只是充分的只是充分的.本定理(dngl)可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且在( a , b ) 内至少(zhsho)存在一点. 0)(f证明提示: 设证 F(x) 在 a

3、, b 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。例例1. 证明证明(zhngmng)方程方程有且仅有一个(y )小于1 的正实根 .证: 1) 存在(cnzi)性 .则在 0 , 1 连续 ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(dngl)(1) 在区间(q jin) a , b 上连续)(xfy 满足(mnz):(2) 在区间 ( a ,

4、 b ) 内可导至少存在一点使xyoab)(xfy 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 .拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕第6页/共27页第六页，共28页。拉格朗日中值定理的有限增量拉格朗日中值定理的有限增量(zn lin)形式形式:推论(tuln):若函数(hnsh)在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.)(xf证: 在 I 上任取两点日中值公式 , 得由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .令则机动 目录 上页 下页

5、返回 结束 第7页/共27页第七页，共28页。例例2. 证明证明(zhngmng)等式等式证: 设由推论(tuln)可知 (常数(chngsh) 令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证:),(x,2cotarcarctanxx经验:欲证时只需证在 I 上机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。例例3. 证明证明(zhngmng)不不等式等式证: 设中值定理(dngl)条件,即因为(yn wi)故因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定中值定理理(dngl)分析(

6、fnx):及(1) 在闭区间(q jin) a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使满足 :要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。证证: 作辅助作辅助(fzh)函数函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx且使即由罗尔定理知, 至少存在(cnzi)一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考(sko): 柯西定理的下述证法对吗 ?两个 不一定相同错! !机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论. 第11页/共27页第十一页，共2

7、8页。柯西定理柯西定理(dngl)的的几何意义几何意义:注意(zh y):xyo弦的斜率(xil)切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。例例4. 设设至少存在(cnzi)一点使证: 结论(jiln)可变形为设则在 0, 1 上满足(mnz)柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使012即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。例例5. 试证至少存在试证至少存在(cnzi)一点一点使证: 法1 用柯西中值定理(dngl) .则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足(mnz)柯

8、西中值定理条件, 令因此 即分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。例例5. 试证至少存在试证至少存在(cnzi)一点一点), 1(e使.lncos1sin法2 令则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理(dngl)条件,使lncos1sin 因此(ync)存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 微分中值定理的条件、结论(jiln)及关系罗尔定理(dngl)拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(

9、3) 证明有关中值问题的结论关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。思考思考(sko)与练习与练习1. 填空题1) 函数(hnsh)在区间(q jin) 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值2) 设有个根 , 它们分别在区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.方程第17页/共27页第十七页，共28页。2. 设设且在内可导, 证明(zhngmng)至少存在一点(y din)使提示(tsh):由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。3

10、. 若若可导, 试证在其两个(lin )零点间一定有的零点(ln din). 提示(tsh):设欲证:使只要证e亦即作辅助函数验证)(xF在上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。4. 思考思考(sko): 在在即当时问是否(sh fu)可由此得出 不能 !因为(yn wi)是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。作业作业(zuy)P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提

11、示(tsh):题15.0题14. 考虑(kol)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。费马费马(1601 1665)法国(f u)数学家,他是一位律师(lsh),数学(shxu)只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.第22页/共27页第二十二页，共28页。拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国(f u)数学家.他在方程论, 解析(ji x)函数论,及数论方面都作出了重

12、要(zhngyo)的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.第23页/共27页第二十三页，共28页。柯西柯西(1789 1857)法国(f u)数学家, 他对数学的贡献主要(zhyo)集中在微积分学,柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等,有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 第24页/共27页第二十四页，共28页。备用备用(biyng)题题求证(qizhng)存在使1. 设 可导，且在连续(linx)，)(xf证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页，共28页。设 证明(zhngmng)对任意有证：2.不妨(bfng)设机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结费马(fermat)引理。一、罗尔( Rolle )定理。