D121常数项级数实用教案

1、一、常数项级数一、常数项级数(j sh)的的概念概念 引例1. 用圆内接正多边形(zhngdubinxng)面积逼近圆面积.依次(yc)作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正第1页/共21页第一页，共22页。定义定义(dngy)：给定一个(y )数列将各项依即称上式为无穷(wqing)级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作第2页/共21页第二页，共22页。当级数(j sh)收敛时, 称差值为级数(j sh)的余

2、项.则称无穷(wqing)级数发散 .显然第3页/共21页第三页，共22页。例例1. 讨论讨论(toln)等等比级数比级数 (又称几何级数(j h j sh)( q 称为(chn wi)公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为第4页/共21页第四页，共22页。2). 若因此级数(j sh)发散 ;因此(ync)n 为奇数(j sh)n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.第5页/共21页第五页，共22页。例例2. 判别下列判别下列(xili)级级数的敛散性数的敛散性:解

3、: (1) 所以级数(j sh) (1) 发散 ;技巧(jqio):利用 “拆项相消” 求和第6页/共21页第六页，共22页。(2) 所以级数(j sh) (2) 收敛, 其和为 1 .技巧(jqio):利用(lyng) “拆项相消” 求和第7页/共21页第七页，共22页。 例例3.判别(pnbi)级数的敛散性 .解:故原级数(j sh)收敛 , 其和为第8页/共21页第八页，共22页。二、无穷二、无穷(wqing)级数的级数的基本性质基本性质 性质(xngzh)1. 若级数1nnu收敛(shulin)于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证: 令则这说明1nnuc收敛 , 其和为

4、c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .第9页/共21页第九页，共22页。性质性质2. 设有两个收敛设有两个收敛(shulin)级数级数则级数(j sh)也收敛(shulin), 其和为证: 令,1nkknuS则这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S第10页/共21页第十页，共22页。说明(shumng):(2) 若两级数(j sh)中一个收敛一个发散 , 则必发散(fsn) . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .(用反证法可证)第11页/共21页第十一页，共22页。性质性质

5、(xngzh)3.在级数前面加上或去掉有限(yuxin)项, 不会影响级数的敛散性.证: 将级数(j sh)的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数第12页/共21页第十二页，共22页。性质性质(xngzh)4. 收敛(shulin)级数加括弧后所成的级数仍收敛(shulin)于原级数的和.证: 设收敛(shulin)级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定

6、收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如第13页/共21页第十三页，共22页。三、级数三、级数(j sh)收敛的必收敛的必要条件要条件 设收敛(shulin)级数则必有证: 可见: 若级数的一般(ybn)项不趋于0 , 则级数必发散 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.第14页/共21页第十四页，共22页。注意注意(zh y):并非级数收敛(shulin)的充分条件.例如(lr), 调和级数虽然但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .第15页/共21页第十五页，共22页。例例4.判断判断(pndun)级级数的敛散性数的敛散性:解: 考虑(

7、kol)加括号后的级数发散(fsn) ,从而原级数发散 .第16页/共21页第十六页，共22页。例例5. 判断下列级数判断下列级数(j sh)的敛散性的敛散性, 若收敛若收敛求其和求其和:解: (1) 令则故从而(cng r)这说明(shumng)级数(1) 发散.第17页/共21页第十七页，共22页。因进行(jnxng)拆项相消这说明原级数(j sh)收敛 ,其和为(2) 第18页/共21页第十八页，共22页。211212nn1212nn这说明原级数(j sh)收敛, 其和为 3 .(3) 第19页/共21页第十九页，共22页。作业(zuy) P253 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)； 3； 4(2), (4); 第二节 第20页/共21页第二十页，共22页。感谢您的欣赏(xnshng)！第21页/共21页第二十一页，共22页。NoImage内容(nirng)总结一、常数项级数的概念。这个和逼近于圆的面积 A .。第1页/共21页。级数的前 n 项和。并称 S 为级数的和,。第2页/共21页。第4页/共21页。综合 1)、2)可知,。不存在 , 因此级数发散.。所以级数 (1)