数值分析例题IIPPT学习教案

1、会计学1数值分析例题数值分析例题II 若插值结点若插值结点 x0, x1,xn 是是(n+1)个互异点个互异点,则满足则满足插值条件插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn存在而且惟一存在而且惟一。多项式插值存在唯一性定理多项式插值存在唯一性定理nnnkkknyxlyxlyxlyxlxL)()()()()(11000 Laglarge插值公式插值公式插值基插值基)()()()(110knknnkjjjkjkxxxxxxxxxl ( k = 0, 1, 2, , n )第1页/共18页插值误差插值误差(余项余项)(

2、)!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnn )()()(101nnxxxxxxx 其中其中,注记注记1: n 次多项式次多项式插值的插值结点最佳选择是插值的插值结点最佳选择是(n+1)次次切比雪夫多项式零点切比雪夫多项式零点。 已知已知 x0, x1, , xn 处的值处的值 f(x0), , f(xn).( j = 0,1, , n-1 ) jjjjjjxxxfxfxxf 111)()(,jjjjjjjjjxxxxfxxfxxxf 212121,( j = 0,1,n-2 ) 均差定义均差定义第2页/共18页)(,)(,)()()(011000 xxxfxxxfxxfxNn

3、nn 牛顿插值公式牛顿插值公式1)(0 x )()()(1xxxxkkk ( k=1,2,n )注记注记2:均差具有对称性：均差具有对称性：)(,110 xxxxxfRnnn 牛顿插值余项牛顿插值余项jjyxH)(jjmxH)( j = 0, 1 )三三次次Hermite插值插值)()()()()(11001100 xmxmxyxyxH ,0110 xxfxxf ,201210 xxxfxxxf 第3页/共18页 给定给定a , b 的分划的分划: a = x0 x1 xn = b.已知已知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果如果 ,),(,),(,),()(1212101nn

4、nxxxxSxxxxSxxxxSxS满足满足: (1) S(x)在在 xj，xj+ 1上为三次多项式上为三次多项式; (2) S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 则称则称S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.三次样条的定义三次样条的定义第4页/共18页拟合函数拟合函数: (x)=a0 0(x) + a1 1(x) + +an n(x)数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型离散数据离散数据 x x1 x2 xm f(x) y1 y2 ym mnmnmmnnyyyaaaxxxxxxxxx2110102212011110)()(

5、)()()()()()()( ya yaTT 超定方程组超定方程组)()(1yaTT 超定方程组最小二乘解超定方程组最小二乘解:第5页/共18页例例1.设设x0，x1，xn 是互异的插值结点是互异的插值结点，l0(x) 为对应于为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明的拉格朗日插值基函数，试证明)()()()(1)(010101000nnxxxxxxxxxxxxxl x x0 x1 xn f(x) 1 0 0证证 由基函数插由基函数插值条件计算差商值条件计算差商10101,xxxxf 0,21 xxf0,1 nnxxf)(1,2010210 xxxxxxxf )()(1,01010nnxxxx

6、xxxf 代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零并注意插值误差为零,则有则有)()()()(1)(010101000nnxxxxxxxxxxxxxl 第6页/共18页例例2.设设x0, x1, x2, , xn为互异的结点为互异的结点, ,求证求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式插值基函数满足下列恒等式1)(0 njjxl(1)knjjkjxxlx 0)(2)( k = 1,n )证证: (1)令令 1)()(0 njjnxlxP在插值结点处在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n )n 次多项式次多项式 Pn(x)有有 n+1 个相异零点个相异

7、零点Pn(x) = 0 1)(0 njjxl第7页/共18页)()()()()()(00jnjjnjnjjxfxlxRxfxlxf 所以所以将将 f(x) = xk (k n) 代入代入, 得得knjjkjxxlx 0)(k =0,1,2,n)问题问题: : f(x)是是(n+1)次多项式且最高次项系数次多项式且最高次项系数为为1，取互异的插值结点取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值多构造插值多项式项式Pn(x)，证明证明：f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x xn)(2) 取取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =0第8页/共18页例例3.

8、 设设 P(x) 是不超过是不超过 n 次的多项式次的多项式, ,而而 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)证明存在常数证明存在常数Ak( k =0，1，n)使得使得 nkkknxxAxxP01)()( 证证 由由n次多项式插值得次多项式插值得 nkkkxlxPxP0)()()()()()()(11knknkxxxxxl 其其中中 nkknknknnxxxxxPxxxP01111)()()()()(1)()( nkkkxxA0)()(1knkkxxPA 第9页/共18页证明证明: F x0, x1, xn = njjnjxxf01)()( )()()()()()()(1100n

9、nnxfxlxfxlxfxlxL )()()()(11jnjnjxxxxxl 例例4. 记记 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)( j = 1,2, , n )(,)(,)()()(1011000 xxxxfxxxfxxfxNnnn 对比对比Lagrange插值和插值和Newton插值中插值中 xn 的系数的系数, 得得 F x0, x1, xn = njjnjxxf01)()( 第10页/共18页例例5. 如果如果X*是方程组是方程组GTGX=GTb的解的解，则则X*是超定是超定方程组方程组GX=b的最小二乘解的最小二乘解 证证 由题设由题设,有有GT(b GX*)=0.对

10、任意对任意n维向量维向量Y，故故22*22|)()(|YXGGXbGYb 22*22*22|)(|YXGGXbGYb 22*22|GXbGYb | b GY |2 | b GX*|2等式仅当等式仅当Y=X*时成立时成立。所以所以X*是超定方程组是超定方程组GX=b的最小二乘解。的最小二乘解。第11页/共18页Ex1 次埃尔米特插值的适定性问题次埃尔米特插值的适定性问题, ,给定插值条件给定插值条件：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解么条件能使插值问题有唯一解。 思考思考: 带导数条件的二次插值多项式公式适定性带导

11、数条件的二次插值多项式公式适定性 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；解解: 设设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H(x) = a1 + 2a2x 210210222120012101ymyaaaxxxxx2201xxx 第12页/共18页 215342GEx2. 求矩阵求矩阵 广义逆广义逆 G+=(GTG )-1GT Ex3. 求矩阵求矩阵 条件数条件数 Cond= 215342G22| GG)1(!21)(2nnnnnxdxdnxP Ex4*. 设设利用分部积分法证明利用分部积分法证明 nmnnmdxxPxPnm,122, 0)()(11第13页/共18页E

12、x5 5.如果如果 xa, b , t-1, 1,(1)用线性插值方法推导联系两个区间的映射用线性插值方法推导联系两个区间的映射tabbax22 )13(21)(22 ttp(2) 对于对于 t-1, 1上的二次正交多项式上的二次正交多项式将其转换为将其转换为xa, b 上的二次正交多项式上的二次正交多项式)(21baxabt 第14页/共18页Ex6. 一个量一个量 x 被测量了被测量了 n次次,其结果是其结果是a1, a2, an.用最小二乘法确定超定方程组用最小二乘法确定超定方程组 x = aj ( j =1,2,n)x 的值为多少的值为多少？Ex7*.给定给定五个观测值五个观测值 yj

13、 ( ( j=2，1，0，1，2 )写出求二次拟合函数写出求二次拟合函数 P(t) = a0 + a1t + a2t2的超定方程组系数矩阵，并求广义逆的超定方程组系数矩阵，并求广义逆. .简化情况简化情况: : 求线性拟合函数求线性拟合函数. .taatP101)( 第15页/共18页xxxx )(,1)(10 证证 取取拟合函数拟合函数:Ex8. 验证线性验证线性 回归公式回归公式)(),(),()(),(),()(11110000 xyxyx x x1 x2 xm y y1 y2 ym y = a + b x 其中其中 b = lxy / lxx ,xbya mkkxxxxl12)( mkkkxyyyxxl1)(显然显然yxy )(),(),(0000 xxxylly/),(),(111 bxabxxbyxxbyx )()()( 第16页/共18页Ex9*