第三章点,线的投影

1、1第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影23.1 3.1 投影法及三视图的形成投影法及三视图的形成3.2 3.2 点的投影点的投影3.3 3.3 直线的投影直线的投影3.4 3.4 平面的投影平面的投影3.5 3.5 平面内的点和直线平面内的点和直线内内 容容3 投影概念投影概念 把空间形体表示在把空间形体表示在平平面上，是以投影法为基础面上，是以投影法为基础的。投影法源出于日常生的。投影法源出于日常生活中光的投射成影这个物活中光的投射成影这个物理现象。理现象。 例如，当灯光照射室例如，当灯光照射室内的一张桌子时，必有影内的一张桌子时，必有影子落在地板上；如果把桌子落在地板上；

2、如果把桌于搬到太阳光下，那么，于搬到太阳光下，那么，必有影子落在地面上。必有影子落在地面上。4投影法投影法投影中心投影中心投影面投影面投影线投影线空间点空间点投影投影SBAba 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法并在该面上得到图形的方法投影法投影法。5投投影的分类影的分类投影法投影法正投影正投影 斜投影斜投影中心投影法中心投影法 平行投影法平行投影法 中心投影中心投影 6投影面P中心投影中心投影法中心投影法S 投射中心cba投射线ACB表达对象投影中心投影中心S距投距投影面影面P有限远有限远7平行投影法平行投影法 当当投影中心投

3、影中心S据投影面据投影面P为无穷远为无穷远时，所有的投时，所有的投射线变得互相平行（如同太阳光一样），这种投射线变得互相平行（如同太阳光一样），这种投影法称为平行投影法。其中，影法称为平行投影法。其中，根据投射线与投影根据投射线与投影面的相对位置的不同面的相对位置的不同，又可分为，又可分为正投影法正投影法和和斜投斜投影法影法两种。两种。 投射线投射线垂直于垂直于投影面产生的平行投影叫做投影面产生的平行投影叫做正投影正投影投射线投射线倾斜于倾斜于投影面产生的平行投影叫做投影面产生的平行投影叫做斜投影斜投影8P正投影cba正投影法正投影法ACB90 投射线方向投影中心投影中心S距投影距投影面面P无

4、限远且投射无限远且投射线垂直于投影面线垂直于投影面 正投影的形状大小与表达对象本身存在简单明确的几何关系，因此具有较好的度量性，但立体感差。9P斜投影cba斜投影法斜投影法ACB投射线方向90投影中心投影中心S距投影距投影面面P无限远且投射无限远且投射线倾斜于投影面线倾斜于投影面1011O三投影面体系三投影面体系XYZ12 从三面投影面体系中取出我从三面投影面体系中取出我国所用的第一角投影国所用的第一角投影 。13WY YH HY YW WX X展开后的投影板展开后的投影板14 正投影法能准确地表达物体的形状，度量性好，画图方便，在工程上得到广泛运用。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视

5、图15正投影法的基本特性正投影法的基本特性1.真实性：当直线、曲线或平面平行于投影面时，直线或曲线反映实长，平面反映真实形状。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图16正投影法的基本特性正投影法的基本特性2.积聚性: 当直线、曲面或平面垂直于投影面时，直线积聚成一点，曲面或平面积聚成曲线或直线。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图17正投影法的基本特性正投影法的基本特性3.类似性：当直线、曲线或平面倾斜于投影面时，直线或曲线投影仍为直线或曲线，但小于实长。平面应小于真实投影大小，与原平面外形类似。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图18 通过以上分析，平面的投影特性可归纳

6、如下：通过以上分析，平面的投影特性可归纳如下：平面平行投影面，投影实形现平面平行投影面，投影实形现-真实性。真实性。平面垂直投影面，投影呈直线平面垂直投影面，投影呈直线-积聚性。积聚性。平面倾斜投影面，投影类似形平面倾斜投影面，投影类似形-类似性。类似性。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图19视图：视图：用正投影法绘制的物体的图形称为视图。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图20 用正投影法在一个投影面上绘制的物体的图形只能反映物体的一个方向的形状因此，常用三视图来表达。 主视图：主视图：将物体由前向后向正投影面投影得到的视图。俯视图：俯视图：将物体由上向下向水平投影面投影得

7、到的视图左视图：左视图：将物体由左向右向侧投影面投影得到的视图3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图三视图的形成三视图的形成21三个投影面三个投影面: : 正投影面V 水平投影面H 侧投影面W三根投影轴：三根投影轴： 两个投影面的交线OX、OY、OZ 轴。三视图的放置：三视图的放置：俯视图在主视图的下方， 左视图在主视图的右方。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图22三视图的投影关系三视图的投影关系物体有长、宽、高三个方向尺寸。主视图反映物体的长、高尺寸。主视图反映物体的长、高尺寸。俯视图反映物体的长、宽尺寸。俯视图反映物体的长、宽尺寸。左视图反映物体的宽、高尺寸。左视图反映物体

8、的宽、高尺寸。 根据三视图之间的投影关系，归纳以下三条投影规律： 主、俯视图长对正。主、俯视图长对正。 主、左视图高平齐。主、左视图高平齐。 俯、左视图宽相等。俯、左视图宽相等。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图23三视图与物体方位的对应关系三视图与物体方位的对应关系 主视图主视图反映物体的上下、左右相对位置关系。 俯视图俯视图反映物体的前后、左右相对位置关系。 左视图左视图反映物体的上下、前后相对位置关系。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图24投影举例：投影举例： 根据物体的立体图，画出其三视图。3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图25Aa点的一个投影点的一个投

9、影能确定点的空能确定点的空间位置吗？间位置吗？A1A226HVOXAaaaxHVOXaaax投影轴投影轴水平投影面水平投影面正面投影面正面投影面27HVOXaaax28HVX水平投影面水平投影面正面投影面正面投影面OW侧面投影面侧面投影面aaaYZaxayazAVWHOXYYZaaaaxaz29投影规律投影规律OXYYZaaaaxaz30例：已知点例：已知点A的两个投影的两个投影a, a , 求第三投影求第三投影a。a a aaxaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二: :用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxZOXYWYHYHYWaza a aaxZOX

10、YHYW31点点的三面投影与直角坐标的关系的三面投影与直角坐标的关系AaaaaxayazVHWOXYZXaaaOaxayazZayYHYWHWxyzxyzy32例：求点例：求点A(40,20,30)的三面投影的三面投影XOaxazZYHYWayHayW40203020已知点已知点A : X坐标坐标=40毫米；毫米； Y坐标坐标=20毫米；毫米； Z坐标坐标=30毫米。毫米。aaa33空间点的重建法空间点的重建法(a) (a) 坐标法坐标法(b) (b) 逆投影线法逆投影线法已知点已知点A的坐标或投影，在大脑中进行的坐标或投影，在大脑中进行34特特殊位置的点殊位置的点OXb bc cC=c ca

11、 ba aXOVHA=aB=b 3536两两点的相对位置及重影点点的相对位置及重影点 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、点在空间的上下、前后、左右位置关系。左右位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前z z 坐标大的在上坐标大的在上A点在点在B点之前、点之前、之右、之之右、之上上。b aa a b bX XY YH HY YW WZ Zo o1. 1. 两点的相对位置两点的相对位置37O比较比较A A、B B两点的相对坐标两点的相对坐标xxzzyyA A点在点在B B点之右点之右A A点在点在B B点之后点之后A

12、A点在点在B B点之上点之上38( )a cc 2. 重影点重影点 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的投影重合为一影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该点时，则称此两点为该投影面的重影点。投影面的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点ZXYWOYH39( )a bA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayb Bb (b)b a a b ZXYWOYH40d (c )cdCDa(b)a b ABa b

13、 a(b)d (c )cdA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点C C、D D为正面投影面的重影点为正面投影面的重影点41a 例题例题11 已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影。的水平投影。42 例题例题22已知点已知点A在点在点B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米，毫米， 求点求点A的投影。的投影。a a a98543例题例题3 已知点已知点A在在H面上，点面上，点B在在W面上，点面上，点C在在V面上，试求各点的投影。面上，试求各点的投影。cccbbbccaaObbaaaAaBbCc44454647484950513.

14、3 直线的投影直线的投影VHXOBAa b ab 由于直线的投由于直线的投影一般情况下仍影一般情况下仍为直线，且两点为直线，且两点决定一直线，故决定一直线，故要获得直线的投要获得直线的投影，只需作出已影，只需作出已知直线上的两个知直线上的两个点的投影，再将点的投影，再将它们相连即可。它们相连即可。521、直线对一个投影面的投影特性、直线对一个投影面的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB 直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线

15、段短投影不反映线段实长投影不反映线段实长ab=AB*cos A AB Bab A AB Ba (b)M M(m)53投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于正平线（平行于V面）面）水平线（平行于水平线（平行于H面面)侧平线（平行于侧平线（平行于W面）面）正垂线（垂直于正垂线（垂直于V面）面）铅垂线（垂直于铅垂线（垂直于H面）面）侧垂线（垂直于侧垂线（垂直于W面）面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影

16、面 其投影特性取决于直线与三个投影面间其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。的相对位置。54直线的分类直线的分类直直 线线一般位置直线一般位置直线 特殊位置直线特殊位置直线 投影面垂直线投影面垂直线 投影面平行线投影面平行线 553. 特殊位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。铅垂线铅垂线垂直于垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线。面的直线。 正垂线正垂线垂直于垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线。面的直线。 侧垂线侧垂线垂直于垂直于W面，同时平行于面

17、，同时平行于H、V面的直线。面的直线。56VWHXYZOAB铅垂线铅垂线（垂直于垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线）面的直线）Zb Xa b a(b)OYHYWa b a(b)a a b 水平投影积聚为一点；水平投影积聚为一点；正面投影及侧面投影平正面投影及侧面投影平行于行于OZ轴，且反映实长轴，且反映实长.57VWHXYZOAB正垂线正垂线（垂直于垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线）面的直线）ZX(a)b b aOYHYWa bbab a b a正面投影积聚为一点；水正面投影积聚为一点；水平投影及侧面投影平行于平投影及侧面投影平行于OY轴，且反映实长。轴，且反

18、映实长。58VWXYZOABH侧垂线侧垂线（垂直于垂直于W面，同时平行于面，同时平行于H、V面的直线）面的直线）ba ab ab YWZXa(b) b aOYHa b侧面投影积聚为一点；水侧面投影积聚为一点；水平投影及正面投影平行于平投影及正面投影平行于OX轴，且反映实长。轴，且反映实长。59投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性可概括如下：投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投

19、影轴，且都等于该直线的实长。应的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。必垂直于积聚投影所在的投影面。60特特殊位置直线殊位置直线投影面平行线投影面平行线 平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。水平线水平线平行于平行于H面，同时倾斜于面，同时倾

20、斜于V、W面的直线。面的直线。 正平线正平线平行于平行于V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W面的直线。面的直线。 侧平线侧平线平行于平行于W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线。面的直线。61A B VWHXYZO水平线水平线（平行平行H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W面的直线）面的直线）aa b a bb Xa b a b baOZ YHYW 水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴轴 62VWHXYZOAB正平线正平线（平行平行V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W面的直线）面的直线） aa b a b b正面投影反映实长

21、及倾角，水平投影及侧面投影垂直于正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴轴 Xa b a b baOZYHYW 63VWHXYZOAB侧平线侧平线（平行平行W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线）面的直线） aa b a b b侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴轴 b XZa b baOYHYWa 64投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性可概括如下：投影面平行线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且反映

22、对其他两个投影面倾角的实形；且反映对其他两个投影面倾角的实形； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。相应的投影轴，且小于实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。其他两投影面夹角的实形。65ABVWHXYZO 一般位置直线一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

23、对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。 ZXa b aOYHYWa bb bb a b aa 66一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性： 1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）； 2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。 事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。状态，则该直线一定是一条一般位置直线。674 . 直线上的点直线上的点 点与直线的相对位置

24、，可分为点与直线的相对位置，可分为点在直线上点在直线上和和点点不在直线上不在直线上两种。两种。 当点在直线上时，由正投影的从属性和定比性当点在直线上时，由正投影的从属性和定比性可知：可知：1）点在直线上，则该点的投影必落在该直线的同）点在直线上，则该点的投影必落在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律；面投影上，且符合点的投影规律；2）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成同一比例。该线段的同面投影成同一比例。68bb a aANMBVHOX根据从属性判断点与直线的相对位置根据从属性判断点与直线的相对位置mm n nOXb a ba

25、n m mn注意：对于侧平线还需考察侧面投影。注意：对于侧平线还需考察侧面投影。69 判断点判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?X XX XZ ZX XO OY YH HY YW Wc 705 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置空间两直线的相对位置两直线平行两直线平行 两直线相交两直线相交 两直线交错两直线交错 71空间两直线平行空间两直线平行 两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互平行。

26、反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则该两直线在空间也一定相互平行。该两直线在空间也一定相互平行。ADCBabdca d c b XOa d c b abdcXO72空间两直线平行空间两直线平行a d c b adcba c d b XZOYHYWAB、CD不平行不平行注意注意：对于一般位置：对于一般位置的两直线，仅根据它的两直线，仅根据它们的水平投影及正面们的水平投影及正面投影是否平行，就可投影是否平行，就可判定它们在空间是否判定它们在空间是否平行。但是对于侧平平行。但是对于侧平线，则必须考察它们线，则必须考察它们的侧面投影，才可以的侧面投

27、影，才可以断定它们在空间的真断定它们在空间的真实位置。实位置。73空间两直线平行空间两直线平行ADCBa(b)c(d)当互相平行的两当互相平行的两直线垂直于某一直线垂直于某一投影面时，则在投影面时，则在该投影面上的投该投影面上的投影影(积聚为两点积聚为两点),反映它们在空间反映它们在空间的真实距离。的真实距离。74空间两直线相交空间两直线相交 两直线相交必有一个公共交点，因此：两直线相交必有一个公共交点，因此：若空间两直若空间两直线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的投影规律。反之亦然投影规律。反之亦然。XOa d c b k adckbXOadcba d c b kk ADCB