郑君里信号与系统课件

1、信号与系统信号与系统总 复 习信信 号号系系 统统连续信号连续信号离散信号离散信号抽样定理抽样定理典型的时间信号典型的时间信号信号的运算信号的运算奇异信号奇异信号信号的分解信号的分解序列的概念序列的概念典型的离散信号典型的离散信号信号的运算信号的运算连续系统连续系统离散系统离散系统微分方程微分方程完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解=零状态相应零状态相应+零输入相应零输入相应 卷积运算卷积运算差分方程差分方程完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解=零状态相应零状态相应+零输入相应零输入相应 卷积和运算卷积和运算三大变换三大变换傅立叶变换傅立叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换z变换变换第一章第一章 绪

2、论绪论1 1、信号的概念信号的概念2、分类、分类：典型的连续时间信号：指数、正弦、复指数、抽样、钟形、指数、正弦、复指数、抽样、钟形、(t), u(t), eat, sin(0t), Sa(kt) 3、信号的运算：、信号的运算：移位、反褶、尺度变换、移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘4、奇异信号：、奇异信号：单位斜变、单位斜变、 阶跃、阶跃、冲激（特性）冲激（特性）、冲击偶、冲击偶5、信号的分解：、信号的分解：脉冲分量、脉冲分量、6、系统模型及其分类、系统模型及其分类7、线性是不变系统的基本特性：、线性是不变系统的基本特性：线性（叠加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性线性（叠

3、加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性8、系统分析方法：、系统分析方法：输入输出描述法、状态变量描述法输入输出描述法、状态变量描述法两对关系式)sin()cos()sin()cos(tjtetjtetjtj)(21)cos()(21)sin(tjtjtjtjeeteejt欧拉欧拉公式公式推出推出公式公式第一章第一章 绪论绪论尺度变换特性尺度变换特性 )0()()(fdttft )()0()()(tftft )()()(00tfdttftt )()()()(000tttftftt关于冲激信号关于冲激信号)()(*)();()(*)()()(00ttftttftfttftt偶函数偶函数第二

4、章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解 零输入响应与零输入响应与零状态响应零状态响应 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 卷积及其性质卷积及其性质( (方便求方便求零状态响应零状态响应) )关系！关系！说明：原课件中涉及到的说明：原课件中涉及到的0点跳变、冲激函数匹配法不做要求。点跳变、冲激函数匹配法不做要求。系统分析过程系统分析过程 域域求求解解微微分分方方程程变变换换，在在变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零法法形形式式有有关关的的函函数数形形式式与与

5、激激励励函函数数特特解解：齐齐次次方方程程及及其其各各阶阶导导数数都都为为零零的的端端激激励励满满足足高高阶阶微微分分方方程程中中右右齐齐次次解解：经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程ZZtrtetrph:)()()(,:经典法经典法: :前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问有关的问题有待进一步解决题有待进一步解决 h(t)；卷积法卷积法: : 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。( (新方法新方法) )：与冲激函数、阶跃函数的卷积与冲激函数、阶跃函数的

6、卷积（一）冲激响应（一）冲激响应 h (t) 1）定定 义义 系统在单位冲激信号单位冲激信号(t) 的激励下产生的零状态响应零状态响应。 2 2）求）求 解解 形式与齐次解相同 第二章第二章 d21 tfftf卷积定义：卷积定义：利用卷积可以求解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。 thtethtetr zs 卷积的性质 代数性质代数性质微分积分性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积交换律交换律分配律分配律结合律结合律第三章第三章 傅立叶变换傅立叶变换v周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数三角函数形式、三角函数形式、指数形式指数形式典型信号的频

7、谱：典型信号的频谱：G(t),(t), u(t), Sa(t)v傅立叶变换傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质v对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反）对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反） v奇偶虚实性、微分特性、积分特性奇偶虚实性、微分特性、积分特性卷积定理卷积定理周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换与单脉冲与单脉冲 信号的傅立叶级数的系数的关系信号的傅立叶级数的系数的关系抽样信号的傅立叶变换抽样信号的傅立叶变换与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信

8、号的 傅立叶变换的关系傅立叶变换的关系v抽样定理抽样定理时域抽样定理、频域抽样定理时域抽样定理、频域抽样定理注意注意2倍关系！倍关系！第三章第三章 傅立叶变换傅立叶变换v周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 1110)sincos()(nnntnbtnaatf称为称为f (t)的傅立叶级数（三角形式）的傅立叶级数（三角形式） 221111)cos()(2TTndttntfTa 221011)(1TTdttfTa三角形式傅立叶级数的傅里叶系数三角形式傅立叶级数的傅里叶系数： 221111)sin()(2TTndttntfTb 傅立叶级数傅立叶级数与与傅立叶系数傅立叶系数的联系与区别的联系与区

9、别注意！注意！直流系数余弦分量系数正弦分量系数指数形式傅立叶级数的傅里叶系数指数形式傅立叶级数的傅里叶系数称为指数形式称为指数形式的傅立叶级数的傅立叶级数F Fn n : 指数形式傅立叶级数的傅立叶系数指数形式傅立叶级数的傅立叶系数 )(1 nF已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数 dtetfFtj )()( deFtftj 21)(傅立叶反变换傅立叶反变换= F f(t)= F-1F()时域信号f(t)的的频谱频谱 j 1 tuet tsgn j2 t 11 2 j1 tu 2 SaEte 222 2)( tEe 2)2( -e E tEG 傅立叶变换特性

10、主要内容对称性质对称性质 线性性质线性性质奇偶虚实性奇偶虚实性尺度变换性质尺度变换性质时移特性时移特性频移特性频移特性 微分性质微分性质时域积分性质时域积分性质第三章第三章卷积定理揭示了卷积定理揭示了时间域时间域与与频率域频率域的运算关系，在通信的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 2211, FtfFtf若若 2121 FFtftf 则则 2211, FtfFtf若若 212121 FFtftf 则则倍。倍。各频谱函数卷积的各频谱函数卷积的时间函数的乘积时间函数的乘积21 时域卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。时域

11、卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理频域卷积定理 ; 1T的的频频谱谱由由冲冲激激序序列列组组成成tf 谐波频率谐波频率位置位置 :1 n 谱谱周周期期信信号号的的频频谱谱是是离离散散成成正正比比数数的的傅傅立立叶叶级级数数相相应应的的系系与与强强度度 , )()( 2:11 nFtfnF一般周期信号傅立叶变换的几点认识一般周期信号傅立叶变换的几点认识 表示的是频谱密度。表示的是频谱密度。因为因为谱线的幅度不是有限值谱线的幅度不是有限值 F, 2 是冲激函数是冲激函数处处只存在于只存在于周期信号的周期信号的,1 nF 11T2 nnFF 表明在无限小的频带范围内，取得了无限大表明在无限小

12、的频带范围内，取得了无限大的频谱值。的频谱值。典型周期信号傅立叶变换典型周期信号傅立叶变换v周期单位冲激序列的傅里叶变换v周期矩形脉冲序列的傅氏变换(二二) 抽样信号的傅立叶变换抽样信号的傅立叶变换)()()(tftptfs nsnsnFPPFF)()(*)(21)( 22)(1 sssTTtjnsndtetpTP 其中其中 nsnnPtpFTP)(2)()( 则则若采用均匀抽样，抽样周期为Ts， 则 p(t) 是一个周期为Ts的周期信号抽样频率1、 矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样v 即 p(t) 为周期矩形脉冲 nssssnFnSaTEF)()2()( )2( ssnnSaTEP )(F00ssn

13、P0)(sFsssTp(t)tEssT 2 2、 单位冲激抽样单位冲激抽样v 即 p(t) 为周期冲激脉冲snTP1 0) 1 (0sTp(t)t)(FE nsssnFTF)(1)( 0)(sFsssTE理想抽样0ssnPsT1ssT 2 时域抽样等效于频域周期拓展总结v周期信号的傅立叶变换)()(snnnsnFPF 周期信号的频谱是离散的周期信号的频谱是离散的v抽样信号的傅立叶变换)(2)(0 nFFnnn 抽样（离散）信号的频谱是周期的抽样（离散）信号的频谱是周期的是是f(tf(t) )傅里叶傅里叶级数的系数级数的系数是抽样脉冲序列是抽样脉冲序列p(t)傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数25

14、(二） 奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的必要条件：必要条件： 抽样频率大于等于原信号最高频率的抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍倍msfT21 msff2min msfT21max 抽样频率抽样频率抽样间隔抽样间隔奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔msff2 第四章第四章 拉普拉斯变换、拉普拉斯变换、 连续时间系统的连续时间系统的s域分析域分析v定义：单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换v拉氏变换

15、的性质拉氏变换的性质线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、域平移、尺度变换、初值、终值尺度变换、初值、终值v卷积特性卷积特性v拉氏逆变换拉氏逆变换部分分式展开法（求系数）部分分式展开法（求系数）v系统函数系统函数H(s)定义（两种定义方式）定义（两种定义方式）求解（依据两种定义方式）求解（依据两种定义方式）第四章第四章 拉普拉斯变换、拉普拉斯变换、 连续时间系统的连续时间系统的s域分析域分析 0 0e)(limtftt 收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；三一些常用函数的拉氏变换三一些常用函数的拉氏变换

16、 0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数 0deeetLstttssst1e10 0estss 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1de0 tttLst 0ede000ststtttttL 3.单位冲激信号4tnu(t) 0 detttLst201e11sssst 0detttLstnn 0 1dettsnstn 0 de1stts 0 0dee1ttsstst2 n 3222122ssstLstL 3 n 43236233ssstLstL 1 nntLsntL 0estnst 0 1dettsnstn 1! nnsntL 1 n所所以以所所以以逆变换一般情况11121111)()()

17、()( kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求k11，方法同第一种情况：，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 ： 11)()()(1111pskpssFpssFk kisFsikpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(111111 1)(dd , 2112pssFsKi 当当1)(dd21 , 312213pssFsKi 当当第四章第四章v因果系统的s域判决条件：稳定系统：稳定系统：H(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面左半平面平面左半平面（不包括虚轴）；（不包括虚轴）；不稳定系统：不稳定系统：H(s)的极点落于的极点落于s平

18、面的右半平面，平面的右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点；或在虚轴上具有二阶以上的极点；临界稳定系统：临界稳定系统： H(s)的极点落于的极点落于s平面的虚轴上，平面的虚轴上，且只有一阶极点。且只有一阶极点。第五章第五章 掌握基本概念掌握基本概念第七章第七章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析v序列的概念、离散时间信号的运算序列的概念、离散时间信号的运算相加、相乘、序列移位、反褶、尺度倍乘、差分、累加相加、相乘、序列移位、反褶、尺度倍乘、差分、累加v常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解迭代法迭代法时域经典法：齐次解时域经典法：齐次解+特解特解零输入响应零输入响应+零状态

19、响应零状态响应v离散时间系统的冲激响应与阶跃响应离散时间系统的冲激响应与阶跃响应单位样值响应单位样值响应h(n)的定义与求解的定义与求解v由由h(n)判定离散系统的因果性与稳定性判定离散系统的因果性与稳定性v离散卷积（卷积和）离散卷积（卷积和）定义、性质、计算定义、性质、计算 （一）离散卷积（卷积和）定义离散卷积离散卷积 mnhmn mnhmxmnmx mmnmxnx )( mmnhmxny nhnx 时不变时不变均匀性均匀性可加性可加性输出输出 加权。加权。处由处由和，在各和，在各每一样值产生的响应之每一样值产生的响应之的响应的响应系统对系统对mxnx （二）离散卷积的性质根据定义离散卷积计

20、算步骤可分解为：根据定义离散卷积计算步骤可分解为：1 1、自变量替换，、自变量替换，nm1 1、反褶、反褶2 2、移位、移位3 3、相乘、相乘4 4、取和、取和对序列之一对序列之一(如如x1(m)）做反褶运算做反褶运算x1(n-m) x2(m) mmxmnxny21)(对对x1(m)移位，位移量为移位，位移量为n，左移，左移n0 mmnxmx21 nxnx21 （四）利用卷积和求系统的（四）利用卷积和求系统的零状态零状态响应响应 nhnxny )(激励激励响应响应单位样值响应单位样值响应y(n)的元素个数及起止范围1 hxynnn)(nyP34P34表表7-17-1给出了一些典型序列的卷积和给

21、出了一些典型序列的卷积和h（k）与系统稳定性）与系统稳定性v对于因果系统的稳定条件：Mkhkukhkhn)()().()(第八章第八章 z变换、离散时间系统的变换、离散时间系统的z域分析域分析vZ变换定义（双边、单边）、典型序列z变换（(n), u(n), n u(n ), an u(n), sin(0n) u(n )）收敛域（左边，右边，双边，有限长）性质（线性，位移，初值，终值，卷积和线性，位移，初值，终值，卷积和）v逆z变换方法长除法、长除法、部分分式展开法（部分分式展开法（左边，右边，双边，有限长序列的表示方法，课件例题）v差分方程的差分方程的z变换求解方法变换求解方法v系统函数的定义

22、系统函数的定义H(z)v非周期信号的傅立叶变换（频谱） 定义，性质（定义，性质（对称性，线性、尺度变换特性、时对称性，线性、尺度变换特性、时移性，频移性、卷积性等移性，频移性、卷积性等） 典型信号的频谱典型信号的频谱（G(t),(t), u(t), Sa(kt) ) 周期信号、抽样信号的傅立叶变换周期信号、抽样信号的傅立叶变换v信号的拉氏变换信号的拉氏变换 定义，性质定义，性质(微分，延时，微分，延时，s域平移，初值，终值、卷积）域平移，初值，终值、卷积） 典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换(t), u(t), e-at, t e-at ) 拉氏逆变换拉氏逆变换（部分因式分解法）（注意收敛域

23、）（部分因式分解法）（注意收敛域）系统部分（连续系统）系统部分（连续系统）v 微分方程 系统方框图v 微分方程的建立与求解 时域法 拉氏变换法（s域元件模型）v h(t), H(s)系统函数系统函数的概念与求解v 用卷积法求系统零状态响应 时域法 s 域法v连续系统稳定性，因果性的判定系统部分（离散系统）系统部分（离散系统）v 差分方程 系统方框图v 差分方程的求解 迭代法； 时域经典法； z变换法v h(n), H(z)系统函数系统函数的概念与求解v 用卷积和法求系统零状态响应v 离散系统稳定性，因果性的判定各章典型复习题第一章第一章5 . 0)5 . 0(cos21)5 . 0()5 .

24、0(2cos21)5 . 0(2cos21)5 . 0(22cos)(1)(24242424dttdttdtttdttttaat原式-0.5第一章第一章v信号的平移： 时移后成为 当 t00时 是在 f(t)的 右 边。v信号基本运算的画图表示法（例题）v冲激函数的理解 )(tf)(0ttf )(0ttf 3. 3. 冲激信号的性质冲激信号的性质 (1) 抽样性抽样性(筛选性筛选性)若若f(t) 在在t=0处连续，处处有界，则有处连续，处处有界，则有 )0()()(fdttft )()0()()(tftft证明： )()()(00tfdttftt )()()()(000tttftfttt)0(

25、f0)(0tf第二章第二章v掌握时域分析连续系统特征的思想全响应=自由响应（齐次解）+强迫响应（特解）全响应=零状态响应+零输入响应 (例题)冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应两个特例：推广：推广：)()()(2121tttfttttf )( )()(tfttf d)()()( tftutf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf tftftfttf d d )()()(00ttftttfkk 第三章第三章v周期信号的频谱是离散的；v非周期信号的频谱是连续的；v离散信号的频谱是周期的；v连续信号的频谱是非周期的。第三章第三章v典型函数的傅立叶变换表达式：冲激函数冲激函数阶跃函

26、数阶跃函数符号函数符号函数v傅立叶变换性质例题第四章第四章sTTesFsF 11)()(1任意单边周期信号任意单边周期信号fT(t)的拉氏变换求解方法的拉氏变换求解方法 sF1 是第一个周期的波形是第一个周期的波形f1(t)的拉氏变换，因的拉氏变换，因周期信号不同而不同。周期信号不同而不同。sTTesFsF 11)()(1任意单边周期信号任意单边周期信号fT(t)的拉氏变换求解方法的拉氏变换求解方法 sF1 是第一个周期的波形是第一个周期的波形f1(t)的拉氏变换，因的拉氏变换，因周期信号不同而不同。周期信号不同而不同。 0 1)()( nnTtftf则则 )()()(1 tutuEtf se

27、sEtEusEtEu )(,)()1()(1 sesEsF (1) 求求F1(s)用定义求：用定义求：时移性质：时移性质：sTsTsTsTsTesFeesFesFesFsFsF 11)()1)()()()()(1212111(2) 求求F(s) )2()()(111TtfTtftf 0 1)()(nnTtftf sTssTseeSEeesE 11111 第四章第四章 v已知系统微分方程已知系统微分方程 ，求系统的系统函数，求系统的系统函数H(s)和冲激响应和冲激响应h(t) dttdedttedtrdttdrdttrd)(3)()(6)(5)(2222 (1) (1) 两边取拉氏变换（零状态）