概率论与数理统计课件绝密Probability_A(chapter2)

1、概概率率论论主讲人：周晓东主讲人：周晓东Email：办公室：办公室：B4132.1 随机变量第二章 随机变量及其分布随机变量随机变量一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；每天例如，掷一颗骰子面上出现的点数；每天从上海下火车的人数；昆虫的产卵从上海下火车的人数；昆虫的产卵;七月份七月份上海的最高温度；牛市下股票的价格

2、。上海的最高温度；牛市下股票的价格。2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果结果.也就是说，把也就是说，把试验结果数值化试验结果数值化. 随机变量随机变量 例如，在抛掷一枚硬币观察其出现正面或例如，在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中，若规定反面的试验中，若规定“出现正面出现正面”对应对应数数1，“出现反面出现反面”对应数对应数-1，则该试验的，则该试验的每一种可能结果，都有唯一确定的实数与每一种可能结果，都有唯一确定的实数与之相对应。之相对应。 二、随机变量的定义二、随

3、机变量的定义 定义定义设设E是随机试验，它的样本空间是随机试验，它的样本空间是是 ，如果对于每一个，如果对于每一个 ，都有一个实数都有一个实数 与之对应，这样的与之对应，这样的得到的一个定义在得到的一个定义在 上的单值实函数上的单值实函数 称为称为随机变量随机变量,简记为简记为r.v. 。 ( )X ( )XX 随机变量随机变量这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？数一样吗？随机变量随机变量（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而）它随

4、试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率值也有一定的概率.注：随机变量通常用大写字母注：随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字或希腊字母母,等表示，而表示随机变量所取的值时等表示，而表示随机变量所取的值时,一一般采用小写字母般采用小写字母x,y,z等等.随机变量随机变量例如，从某一学校随机选一学生，例如，从

5、某一学校随机选一学生，测量他的身高测量他的身高. 我们可以把可能的我们可以把可能的身高看作随机变量身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=? 这时这时,要么要么x1.7米，要么米，要么x 1.7米，米， 再去求再去求P(x 1.7米米)就没有什么意义了就没有什么意义了. 一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就得到高之后，我们就得到X的一个具体的值，记作的一个具体的值，记作x.随机变量随机变量三、引入随机变量的意义三、引入随机变量的意

6、义 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.n随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究. 事件事件收到不少于收

7、到不少于1次呼叫次呼叫 X1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 随机变量随机变量四、随机变量的分类四、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中，实际中常遇到的常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间.2.2 离散型随机变量及其概率分布第

8、二章 随机变量及其分布离散性随机变量离散性随机变量 引例引例 引例引例 且且31()1iP Xi 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这这个随机变量取值的概率规个随机变量取值的概率规律律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为33351(0)10CP XC2132356(1)10C CP XC 1232353(2)10C CP XC 离散性随机变量离散性随机变量一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义 定义定义1：设设xk(k=1,2, )是离散型随机变量是

9、离散型随机变量X所取的一切可能值，称所取的一切可能值，称 为离散型随机变量为离散型随机变量X的概率函数或分布律，的概率函数或分布律，也称概率分布也称概率分布.k=1,2, ,)(kkpxXP其中其中 (k=1,2, ) 满足：满足：kp0,kp k=1,2, （1）1kkp （2） 1x2xnxXP1p2p3p用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数离散性随机变量离散性随机变量 举例求离散型随机变量的分布律举例求离散型随机变量的分布律 例例1 设随机变量设随机变量X的概率函数的概率函数 试确定常数试确定常数a . 例例2 某人对随机变量某人对随机变量X的分布

10、表述如下：的分布表述如下： 求求X的分布列。的分布列。(),!kP Xkak k =0,1,2, ,0 2101230.16/102 /100.3Xaaa离散性随机变量离散性随机变量 例例3 （P53例例4） 在在15件同类型的零件中有件同类型的零件中有2件次品，其余都是正品，在其中取件次品，其余都是正品，在其中取3次，次，每次任取每次任取1件，作不放回抽样，以件，作不放回抽样，以X表示取表示取出次品的件数。试写出出次品的件数。试写出X的分布列。的分布列。 例例4（P53 例例5） 盒内装有盒内装有10只螺口、只螺口、5只只卡口灯泡，现需用卡口灯泡，现需用1只螺口灯泡，从盒中每只螺口灯泡，从盒

11、中每次任取次任取1只，直到取得螺口灯泡，如果取到只，直到取得螺口灯泡，如果取到卡口灯泡就不再放回去，求在取到螺口灯卡口灯泡就不再放回去，求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数泡之前已取出的卡口灯泡数X的分布。的分布。离散性随机变量离散性随机变量 例例5 （P54 例例6） 自动生产线在调整以后出自动生产线在调整以后出现废品的概率为现废品的概率为0.01，生产过程中出现废，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，设随机变量品时立即重新进行调整，设随机变量X表示表示两次调整之间生产的合格品数，试写出两次调整之间生产的合格品数，试写出X的的分布列，并求出分布列，并求出X不小于不小于5的概率。的概率。

12、例例6 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以以X表表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数个数，求，求X的概率分布的概率分布.常用离散分布常用离散分布 二、常用离散分布二、常用离散分布1.退化分布退化分布 定义定义1 若一个岁变量若一个岁变量X以概率以概率1取某一常数，取某一常数，即即 则称则称X服从服从a处的处的退化分布

13、退化分布. 注：注：在所以分布中，最简单的分布是退化在所以分布中，最简单的分布是退化分布，其之所以称为退化分布，是因为其分布，其之所以称为退化分布，是因为其取值几乎是确定的，即这样的随机变量退取值几乎是确定的，即这样的随机变量退化为一个确定的常数。化为一个确定的常数。()1P Xa 常用离散分布常用离散分布2 两点分布（两点分布（0-1分布）分布） 定义定义2 若一个随机变量若一个随机变量X只有两个可能的取只有两个可能的取值，且其分布为值，且其分布为 则称则称X服从服从x1,x2处参数为处参数为p的的两点分布两点分布。 特别地，若特别地，若X服从服从x1=1,x2=0处参数为处参数为p的两的两

14、点分布，即点分布，即 则称则称X服从参数为服从参数为p的的0-1分布分布。12, 1(01)P Xxp P Xxpp (1), (0) 1,(01)P Xp P Xp qp 常用离散分布常用离散分布3 二项分布二项分布 定义定义3 若随机变量若随机变量X的所有可能取值的所有可能取值 0, 1, , n，且它的概率分布为，且它的概率分布为 其中其中 ,则称随机变量则称随机变量X从二项从二项分布，记作分布，记作 注注 二项分布满足二项分布满足 : (1) (2)(),(0,1,2,.,)kknkknpP XkCp qkn 1,01qpp( , )XB n p0,0,1,.,kpkn 00()1nn

15、kkn knknkkpC p qpq 常用离散分布常用离散分布 例例 1) 从次品率为从次品率为p的一批产品中有放回地的一批产品中有放回地任取任取n件产品，记件产品，记X为为n件产品中次品的个件产品中次品的个数则数则 2) 掷一颗色子掷一颗色子10次，次，X表示表示“1”点出点出现的次数，则现的次数，则 3) 1000人向保险公司购买人身意外保人向保险公司购买人身意外保险险,在一年的险限内投保人发生意外的概率在一年的险限内投保人发生意外的概率为为0.05,则则1000人中出现意外的人数人中出现意外的人数 例例1 已知五重贝努利试验中成功的次数取已知五重贝努利试验中成功的次数取不同值的概率不是常

16、数不同值的概率不是常数,且且 ,求概率求概率PX=4.( , )XBn p(10,1/6)XB(1000,0.005)XB12P XP X 常用离散分布常用离散分布 例例2 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中 有放回地取有放回地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取个，求在所取的的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率.n 例例3 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01，并设各个螺丝钉是否为次品是相互，并设各个螺丝钉是否为次品是相互独立的，这家公司将每独立的，这家公司将每10个螺丝钉包成一个螺丝钉包成一包出售，并保证若发

17、现某包内多于一个，包出售，并保证若发现某包内多于一个，则可退款，问卖出的某包螺丝钉将被退回则可退款，问卖出的某包螺丝钉将被退回的概率是多大？的概率是多大？常用离散分布常用离散分布 例例4 从学校到火车站的途中有从学校到火车站的途中有3个交通岗个交通岗,且每次遇红灯的概率为且每次遇红灯的概率为1/4,假设在各个交通假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率并且概率都是都是1/4,设设X为途中遇到红灯的次数，求随为途中遇到红灯的次数，求随机变量机变量X的分布率及至多遇到一次红灯的概的分布率及至多遇到一次红灯的概率。率。 例例5 设某保险公司的某人寿保险险种有设

18、某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率人投保，每个人在一年内死亡的概率为为0.005, 且每个人是否死亡是相互独立的，且每个人是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这试求在未来一年中这1000个投保人中死亡个投保人中死亡人数不超过人数不超过10人的概率。人的概率。常用离散分布常用离散分布 例例6 设有设有80台同类型设备台同类型设备, 各台工作是相互各台工作是相互独立的独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01, 且一台且一台设备的故障能由一个人处理设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备考虑两种配备维修工人的方法维修工人的方法, 其一是由其一是由4人维

19、护人维护, 每人负每人负责责20台台; 其二是由其二是由3人共同维护人共同维护80台台. 试比试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小维修的概率的大小.常用离散分布常用离散分布 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时 ,概率概率P(X=k) 先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值, 随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概率不为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最大值；达到最大值；( x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最

20、大整数). . .n=10,p=0.7nPk0常用离散分布常用离散分布 对于固定对于固定n及及p，当，当k增加时增加时 ,概率概率P(X=k) 先先是随之增加直至是随之增加直至 达到最达到最大值大值, 随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n +1)p和和k =(n+1)p-1处达到最大值处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn.0常用离散分布常用离散分布4. 几何分布几何分布 在独立重复试验中，事件在独立重复试验中，事件A发生的概率为发生的概率为p。设设X为直到为直到A发生为止

21、所进行的次数，显然发生为止所进行的次数，显然X的可能取值是全体自然数，且由贝努利定的可能取值是全体自然数，且由贝努利定理知其分布为理知其分布为 定义定义4 若一随机变量若一随机变量X的概率分布由上式给的概率分布由上式给出，则称出，则称X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布。 几何分布具有下列无记忆性：几何分布具有下列无记忆性：1(1),01,1kP Xkpppk |,P Xmn XmP Xn m nN 常用离散分布常用离散分布 例例7 (讲义例讲义例6) 某射手连续向一目标射击某射手连续向一目标射击, 直到命中为止直到命中为止, 已知他每发命中的概率是已知他每发命中的概率是 , 求所需射

22、击发数求所需射击发数 的概率分布的概率分布.pX常用离散分布常用离散分布5 超几何分布超几何分布 引例引例 一个袋子中装有一个袋子中装有N个球，其中有个球，其中有N1个个白球，白球，N2个黑球（个黑球（N=N1+N2）。从中不放）。从中不放回地抽取回地抽取n（1nN）个球，设）个球，设X表示取到表示取到白球的数目，则根据古典概型算得白球的数目，则根据古典概型算得X的分布的分布 这里规定：当这里规定：当a0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作XP( ).0,0,1,2,3,.P Xkk 000!1!kkkkkP Xkekeeek 常用离散分布常用离散

23、分布 (3)泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点： XP( ) (4) 历史上，泊松分布是作为二项分布的近历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于似，于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要近数十年来，泊松分布日益显示其重要性性,成为概率论中最重要的几个分布之一成为概率论中最重要的几个分布之一. 常用离散分布常用离散分布 在实际中，许多随机现象服从或近似在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布服从泊松分布.都可以看作泊松流都可以看作泊松流.某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数到某机场降落

24、的飞机数;一个售货员接待的顾客数一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数; 一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数； 例如例如常用离散分布常用离散分布 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似 对于二项分布对于二项分布b(n,p),当试验次数当试验次数n很大时，很大时，计算其概率很麻烦。例如，要计算计算其概率很麻烦。例如，要计算 故须寻求某种近似计算方法，这里先介绍故须寻求某种近似计算方法，这里先介绍二项分布的泊松近似，在后面还会介绍二二项分布的泊松近似，在后面还会介绍二项分布的正态近似。项分布的正态近似。 定理定理（泊松定理泊松定理）在）在n重贝努利试验中，事重

25、贝努利试验中，事件件A在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为pn(这与试这与试验的次数有关验的次数有关)，如果，如果 时时5000500050005000661999510001000kkkkkP XP XkC n 常用离散分布常用离散分布则对任意给定的则对任意给定的k,有有(0)nnp lim ( , ,)lim(1)!kkkn knnnnnnb k n pC ppek 注注：(1) 定理的条件意味着当定理的条件意味着当n 很大时，很大时，pn必必定很小，因此，泊松定理表明，当定很小，因此，泊松定理表明，当n很大时，很大时，p接近接近0或或1时有下列近似公式：时有下列近似公式：(1

26、)()!kkkn knC ppenpk 实际计算时，实际计算时，n100，np10时近似效果比时近似效果比较好。较好。常用离散分布常用离散分布 例例1 一家商店销售某一型号的彩色电视机，一家商店销售某一型号的彩色电视机，由该商店过去的销售纪录知道，该型号彩色由该商店过去的销售纪录知道，该型号彩色电视机每月的销售数可以用参数电视机每月的销售数可以用参数 10 的普阿松的普阿松来描述。为了以来描述。为了以95%以上的把握保证不脱销，以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进该型号彩色电视机问该商店在月底至少应进该型号彩色电视机多少台？多少台？(2) 把在每次试验中出现概率很小的事件称为把在每次试

27、验中出现概率很小的事件称为稀有事件，此类事件如：地震、火山爆发、特稀有事件，此类事件如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等，则由泊松定理知，大洪水、意外事故等，则由泊松定理知，n重重贝努利试验中稀有事件出现的次数近似服从泊贝努利试验中稀有事件出现的次数近似服从泊松分布。松分布。常用离散分布常用离散分布 例例2 我国一航天部门组织生产某一型号的运我国一航天部门组织生产某一型号的运载火箭，其中需要某同一型号的元件载火箭，其中需要某同一型号的元件100个，个，该元件的次品率为该元件的次品率为0.01，问应该一次性购进，问应该一次性购进该元件多少个才能以该元件多少个才能以95%以上的把握不用重以上的

28、把握不用重新去采购？新去采购？ 例例3 设有同类型仪器设有同类型仪器300台，各仪器的工作台，各仪器的工作相互独立，且发生故障的概率为相互独立，且发生故障的概率为0.01，通常，通常一台仪器的故障可由一个人排除。一台仪器的故障可由一个人排除。(1) 问至问至少配备多少维修工人，才能保证当仪器发生少配备多少维修工人，才能保证当仪器发生故障但不能及时排除的概率不超过故障但不能及时排除的概率不超过0.01？（2）若一人包干）若一人包干20台仪器，求仪器发生故台仪器，求仪器发生故障而不能及时排除的概率；（障而不能及时排除的概率；（3）若有三个）若有三个人共同维修人共同维修80台仪器，则情况又如何。台仪

29、器，则情况又如何。常用离散分布常用离散分布 例例4 自自1875年至年至1955年中的某年中的某63年间年间, 上上海市夏季海市夏季(59月月)共发生大暴雨共发生大暴雨180次次, 试试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型模型. 2.3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布分布函数一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数 定义定义 设设 X 是一个是一个 r.v，称，称 为为X的分布函数。记作的分布函数。记作 X F(x) 或或 FX(x). 注注: (1)如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分布函

30、数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 的概率的概率.( )()F xP Xxx |Xx x (, x 分布函数 分布函数分布函数F(x)的性质的性质: (1) (2) 对任意两点对任意两点 当当 时时,有有 即任一分不函数都是单调不减的即任一分不函数都是单调不减的; (3) (4) 右连续性右连续性: 1221(2)()()()(3)()1()1( )P xXxF xF xP XaP XaF a 0( )1()F xx 12,x x12xx12()()F xF x ()lim( )0,()lim( )1xxFF xFF x 00lim( )()xxF xF x 分布函数 例例

31、1 随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为 求常数求常数A、B. 例例2 如下四个函数哪个是随机变量的分布如下四个函数哪个是随机变量的分布函数函数22,0( )1,0 xABexF xx 02001. ( )20. ( )sin02120 xxAF xxBF xxxxx 分布函数 例例3 设设 与与 分别为随机变量分别为随机变量 的分布函数的分布函数,为使为使 是是某一随机变量的分布函数某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组在下列给定的各组数值中应取数值中应取( ) A. a=3/5, b=-2/5; B. a=2/3,b=2/3; C. a=-1/2,b=3/2 D. a=1/2, b

32、=-3/2000011. ( )sin0. ( )023211122xxC F xxxDF xxxxx 1( )F x2( )F x12,XX12( )( )( )F xaF xbF x 分布函数二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数 例例1: 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为(1) X的分布函数的分布函数;(2) 设离散型设离散型r.vX 的概率函数是的概率函数是P X=xk = pk , k =1,2,3,kkxxp 则则 F(x) = P(Xx) = 由于由于F(x) 是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又称故又称 F(x) 为累积概

33、率函数为累积概率函数.x X-123P1/41/21/4135(),(),(23)222P XPXPX 分布函数 例例2 具有离散均匀分布具有离散均匀分布, 即即 求求X的分布函数的分布函数. 例例3 设随机变量设随机变量 的分布函数为的分布函数为 求求 的概率分布的概率分布.()1/ ,1,2, ,iP Xxn inXX0,1,9/19,12,( )15/19,23,1,3.xxF xxx 2.4 连续型随机变量及其概率密度第二章 随机变量及其分布连续r.v 设随机变量设随机变量X 的分布函数的分布函数, 则则0,0;( ),01;1,1xF xxxx 10 x 1;(x)=0 其其中中 p

34、 p其其他他。( )( ),xF xp t dt ()( )baP aXbf x dx n 定义定义 对于随机变量对于随机变量 X ,如果存在非负可积函如果存在非负可积函数数f(x) , x (,) ,使得对任意使得对任意 , 有有ab 则称则称 X为连续型为连续型r.v,称称 f(x)为为 X 的概率密度函的概率密度函数，简称为数，简称为概率密度或密度概率密度或密度.连续r.v 密度函数的性质密度函数的性质 性质性质1 性质性质2 注：注：性质性质1、2具有明显的几何意义，反之，具有明显的几何意义，反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数可证一个函数若满足上述性质，则该函数一定可以作为某连

35、续随机变量的概率密度一定可以作为某连续随机变量的概率密度函数。函数。( )0()f xx ( )1f x dx f (x)xo面积为面积为1连续r.v. 性质性质3 性质性质4 对任意常数对任意常数a,21211221()( )( )( )()()xxxxP xXxp t dtp t dtp t dtF xF x ,a ()0.P Xa 有有0()lim()xP XaP aXax 0lim( )axaxp x dx 0 连续r.v. 性质性质5 F(x)是连续函数，且在是连续函数，且在f(x)的连续点的连续点处有处有( )( )Fxf x 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxx

36、XxPx )(lim0 x0( )limxxxxf t dt =f(x) 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， p (x)相当于线密度相当于线密度.x ( ,x xx 连续r.v. 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高的高度，并不反映度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这个高度但是，这个高度越大，则越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以也可以说，

37、在某点密度曲线的高度反映了概率集中在说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度该点附近的程度. f(x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：( )P xXxxf xx 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的概率的概率近似等于近似等于 .( ,x xx ( )f xx 连续r.v.( )f xx 在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与()kkP Xxp在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似. 由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确唯一被它的密度函数所确定定. 所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知

38、密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述. f (x)xo连续r.v. 例例： 设在区间设在区间 上，随机变量的概率密上，随机变量的概率密度函数为度函数为 ，而在，而在 外，外， ，则区间等于（则区间等于（ ）。）。 (A). ; (B). ; (C). ; (D). 例例1：设随机变量：设随机变量X 的密度函数的密度函数为为 ，其中，其中 试求试求: (1)常数常数A;(2)随机变量随机变量X落在区间落在区间(0,1/k)的概率。的概率。0,/2 , a b( )sinf xx, a b( )0f x 0,/2,00,3 /22( )kxf xAx e

39、0,0kx 连续r.v. 例例2：设随机变量：设随机变量X 的分布函数为的分布函数为 试求试求: (1)随机变量随机变量X落在区间落在区间(-a/2,a/2内的概率；内的概率；(2)随机变量随机变量X的概率密度函数的概率密度函数. 例例3：设随机变量：设随机变量X 的密度函数为的密度函数为 试求试求: (1)常数常数A;(2)P(0X1);(3)分布函数分布函数F(x).0,11( )arcsin,21,xaxF xaxaaxa | |( )xf xAe 连续r.v. 例例4：设随机变量：设随机变量X 的分布函数为的分布函数为 试求试求: (1)常数常数a.b ; (2)求出求出X的概率密度函

40、的概率密度函数；数；(3)求求 的概率。的概率。( )arctan ()F xabxx 2(1)P X 常用连续r.v.的分布 常用连续型随机变量的分布常用连续型随机变量的分布1. 均匀分布均匀分布 定义定义1 设随机变量的密度函数为设随机变量的密度函数为 其中其中ab,则称则称X服从区间服从区间a,b上的均匀分上的均匀分布，记作布，记作XUa,b其中其中a,b为参数。为参数。 注注：在区间：在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变上服从均匀分布的随机变量量X，其取值落在，其取值落在(a,b) 中任意等长度的子中任意等长度的子区间内的概率相同，且与子区间的长度成区间内的概率相同，且与子区间的长度

41、成正比。事实上，任取子区间正比。事实上，任取子区间 有有1,( )0,axbf xba 其其它它( ,)( , )c cla b 此外此外,X的分布函数的分布函数1( )c lc lcclP cXclf x dxdxbaba 0,( )()/(),1,xaF xxabaaxbxb 例例1 设设XU1,5,a1b5,则则P(aXb)的值。的值。 例例2 已知随机变量已知随机变量X在在(-3,3)上服从均匀分布，上服从均匀分布，现有方程现有方程 (1)求方程有实根的概率求方程有实根的概率;1/2 (2) 求方程有重求方程有重根的概率根的概率;0 (3)求方程没有实根的概率求方程没有实根的概率.1/

42、224420yXyX 常用连续r.v.的分布 例例3 设随机变量设随机变量X在在(0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，现有常数现有常数a(0a1),如果任取如果任取4个值，至少个值，至少有一个大于有一个大于a的概率为的概率为0.9, 问问a是多少？是多少？0.56232. 指数分布指数分布 引例引例 设设r.v. 的分布函数，的分布函数， 求求(1)A,B; (2)p(x),(3)P(0 0， 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 注注：1. 正态分布是应用最广泛的一种连续正态分布是应用最广泛的一种连续型分布型分布. 德莫佛最早发现了二项概率的一德莫佛最早发现了二

43、项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面的首次露面.正态分布在十九世纪前叶由高正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯加以推广，所以通常称为高斯分布. 2 2 2(,)XN 记作记作 德莫佛德莫佛高斯高斯常用连续r.v.的分布 2. 正态分布是一种重要的分布，在正常条正态分布是一种重要的分布，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；

44、测量误差，射击目标的水平或垂直株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布. 正态分布的性质正态分布的性质 1. 正态分布的分布函数为：正态分布的分布函数为：22()21( ),2txF xedtx 常用连续r.v.的分布 2. 当当 时，正态分布称为标准正时，正态分布称为标准正态分布，记做态分布，记做 A. 相应的密度函数和分布函数分别为用相应的密度函数和分布函数分别为用 表示表示 B. 的图像的图像0,1(0,1)N( )( )xx 和和 2222,(,)( ),(,)xtxxexxedt x 1 1（ ）=

45、=2 21 12 2( )x )(x )(x 常用连续r.v.的分布 3. 正态分布密度函数正态分布密度函数 的性质的性质 的图形呈钟形，以的图形呈钟形，以x轴为渐近线；轴为渐近线； 在在 出取得最大值，且呈单峰分出取得最大值，且呈单峰分布；布； 以以 为对称轴，在为对称轴，在 单调单调递增，在递增，在 单调递减单调递减( )p x( )p x( )p xx ( )p xx (,) ( ,) 常用连续r.v.的分布 4 参数参数 为密度函数的中心位置为密度函数的中心位置 ， 称为称为位置参数；位置参数； 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 ： 越大，曲线越平坦，越大，曲线越平坦，

46、 越越 小，曲线越陡峻，小，曲线越陡峻，正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布 常用连续r.v.的分布 一般正态分布与标准正态分布之间的关系 性质性质1：如果：如果 ，且它们，且它们的密度函数分别为的密度函数分别为 ，分布函数分，分布函数分别为别为 ，则，则 (1) (2) 性质性质2：如果：如果 , 且假且假设设 ，则，则 性质性质3：如果：如果 ，则，则 2(0,1),( ,)XNYN ( )( )xp x 和和1()()xp x ( )()xF x ( )F( )xx 和和 2( ,)YN ()/XY (0,1)XN2( ,)XN ()( )( )()()P aXbF

47、 bF aba 常用连续r.v.的分布 性质性质4： 例例1设设 , 求求 例例2 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩 （65, 100），），若按参赛人数的若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线发奖，问获奖分数线应定为多少？应定为多少？ 例例3 将一温度调节器放置在内，调节器整将一温度调节器放置在内，调节器整定在定在 ，液体的温度，液体的温度 （以（以计）是一计）是一个随机变量，且个随机变量，且 (1) 若若 ，求小于，求小于89 的概率；的概率； (2) 若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80的概的概率不低于率不低于0.99，问至少为多少？，问至少为多少？()1( )xx (1

48、,4)XN(5),01.6,|1| 2.FPXPX XNdX2( ,0.5 )XN d90d 常用连续r.v.的分布 例例4 某企业准备通过招聘考试招收某企业准备通过招聘考试招收300名职工名职工,其中正式工其中正式工280人人, 临时工临时工20人人; 报考的人数是报考的人数是1657人人, 考试满分是考试满分是400分分. 考试后得知考试后得知, 考试考试总平均成绩总平均成绩, 即分即分, 360分以上的高分考生分以上的高分考生31人人. 某考生某考生B得得256分分, 问他能否被录取问他能否被录取? 能否被聘能否被聘为正式工为正式工? 例例5 在电源电压不超过在电源电压不超过200伏，在

49、伏，在200240伏伏和超过和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为的概率分别为0.1，0.001和和0.2. 假设电源电压假设电源电压服从正态分布服从正态分布 (220，25 )，试求：，试求：(1) 该该电子元件损坏的概率电子元件损坏的概率 ; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在该电子元件损坏时，电源电压在200240伏的概率伏的概率 .N2 常用连续r.v.的分布 例例6 某种型号电池的寿命某种型号电池的寿命 近似服从正态近似服从正态分布分布 , 已知其寿命在已知其寿命在250小时以上小时以上的概率和寿命不超过的概率和寿命不超过350小时的概

50、率均为小时的概率均为92.36%, 为使其寿命在为使其寿命在 和和 之间的概率不小于之间的概率不小于0.9, 至少为多少至少为多少? X2( ,)N x x x常用连续r.v.的分布 3 准则准则 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区区间内，超出这个范围的可能性仅占不到间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 (

51、(3)-)-1= =0.9974常用连续r.v.的分布将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, ,),(2NY时，时，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .2.5 随机变量函数的分布第二章 随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布一、随机变量函数的分布一、随机变量函数的分布 问题的提出问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数更在

52、实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣感兴趣.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，24d 求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.随机变量函数的分布随机变量函数的分布 又例如又例如 已知已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的为电阻）的分布等分布等.t0t0随机变量函数的分布随机变量函数的分布 定义定义1 如果存在一个函数如果存在一个函数g (X)，使得随机，使得随机变量变量X，Y满足满足 Y= g (X) (设设g是连续函数）是连续函数） 则称则称随机变量随机变量Y是随机变量是随机变量X的函数的函数

53、。 注注：在微积分中，我们讨论变量间的函数：在微积分中，我们讨论变量间的函数关系时，主要研究函数关系的确定性关系，关系时，主要研究函数关系的确定性关系，例如例如: 导数、积分等，而在概率论中，我们导数、积分等，而在概率论中，我们主要研究是随机变量函数的随机性特征，主要研究是随机变量函数的随机性特征，即由自变量即由自变量X的统计规律性出发研究因变量的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律。的统计性规律。 一般地，对任意区间一般地，对任意区间I，令，令| ( ),Cx g xI 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 因此，随机变量因此，随机变量Y与与X的函数关系确定，为的函数关系确定，为我们从我们

54、从X的分布出发导出的分布出发导出Y的分布提供了可的分布提供了可能。能。 例如，设例如，设X是一随机变量，且是一随机变量，且Y=X2，则对，则对任意任意x0,有有 ( ), ( )YIg xIXCP YIP g xIP XC 22,P YxP XxPxXxP YxP XxP XxP Xx 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为 易见易见,X 的函数的函数 显然还是离散型随机显然还是离散型随机变量变量 如何由如何由X的概率分布出发导出的概率分布出发导出Y的概率分布的概率分布?其一般方

55、法是：先根据自变量其一般方法是：先根据自变量X的可能取值的可能取值确定确定Y因变量的所有可能取值因变量的所有可能取值, 然后对然后对Y的每的每一个可能取值一个可能取值 确定相应的确定相应的 于是于是,1,2,iiP Xxp i ()Yg X ,1,2,iy i | (),ijjiCxg xy 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 例例1 已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为 求求: (1)Y=2X+1的分布列，的分布列， (2)Y=X2的分布列的分布列【说明】当【说明】当 的值有相等的情况时，则应根据的值有相等的情况时，则应根据概率加法定理把相等值所对应的概率概率加法定理把相等值所对

56、应的概率 相加，相加，从而得到从而得到Y的概率分布。的概率分布。 (),iiiiYyg xyXC .jiiijxCP YyP XCP Xx X1012P0.10.20.30.4iyip随机变量函数的分布随机变量函数的分布 例例2 设设 令令 求随机变量求随机变量X的函数的函数Y的分布列的分布列 例例3 某汽油站替出租汽车公司代营出租汽某汽油站替出租汽车公司代营出租汽车业务。每出租一辆汽车，可从出租汽车车业务。每出租一辆汽车，可从出租汽车公司处得到公司处得到2020元，因代营该业务，每天汽元，因代营该业务，每天汽油站要多支付职工服务费油站要多支付职工服务费500500元，如果每天元，如果每天出租

57、的汽车数出租的汽车数X X是一随机变量，已知其概率是一随机变量，已知其概率分布为分布为(1/2) ,1,2,.kP Xkk 1,1,XXY 当当取取偶偶数数时时当当 取取奇奇数数时时随机变量函数的分布随机变量函数的分布 试求该汽油站因代营该业务得到的收入大试求该汽油站因代营该业务得到的收入大于当天要多支付职工服务费用的概率。于当天要多支付职工服务费用的概率。 三、连续型随机变量函数的密度函数三、连续型随机变量函数的密度函数1 1、一般方法、一般方法(p64)(p64) 若若Xf(x), -Xf(x), - x + x + , Y=g(X), Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布