北京西城2019-2020学年第二学期初二数学期末复习材料

1、初二下学期数学期末复习建议第十七章第二十章第二十三章勾股定理数据的分析旋转【复习内容】第十六章二次根式第十八章平行四边形第二十一章一元二次方程第二十六章反比例函数【复习建议】1 .合理安排复习时间，制定好复习计划，根据学生特点、实际情况开展复习；2 .对每章的概念、知识点进行系统化、条理化的梳理，同时加强整个学期知识的关联，使学生查漏补缺，掌握基础知识和基本方法；3 .带着学生一起总结解题方法，从审题、观察、识图，到易错点的归纳，再到解题技巧，达到夯实基础、掌握基本方法的目的；在综合题中渗透综合分析法，进而提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力；4 .渗透方程与函数、转化与化归、分类

2、与整合、数形结合等数学思想方法；5 .在综合练习讲评时，教学生一些考试策略和做题心理指导，提升学生的应试能力.【具体内容】第十六章二次根式一、二次根式概念、有意义的条件1、二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式2、二次根式的主要性质：va0(a0)；(2)(Ta)2(a0)；a2(4)若ab0,则OVb.例1.x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?x1，、2x1(1)EF；(2)*x2J32x；(3)Jx；(4).2x1x1|x|2例2.比较大小：(1)3拒2百；(2)5$4V3;(3)2行灰.例3.(1)实数a在数轴上的位置如图所示：。a1化简：a1J(a2)2(2)若2x3,那么J

3、(2x)2J(3x)2的值为(3)若-30：w2时，试化简x-2+J(x3)2+Jx210x25.、二次根式的运算Ha而(a0,b0)；加减法步骤：将每个二次根式化为例4.下列各式中，最简二次根式是(a0,b0);；同类二次根式)(5)(兀1)0/16(8),2015飞'(9)(1218)2;(10)3.10(11)获3号3区(12)(52V16)20(5276)19(13)1a22.(A),(B)(C).x4(D).5abxy.b例5.计算：(1)而夜(2)2在1炳1v132(3)2vT24j3再24.27(4)1(.2.3)3(、.2,27)2J80(6)1851.22(15)4a

4、x(17)(.3a3.27a3)(14)31(23)2(74.3).31/、2-5,33、1b(16)ab(%ab)b23Va(18)(4bJa2Ja3b)(3aJ-J9ab).ba.a-.ab例6.已知：a=2+*3,b=2石，试求一的值.ba例7.先化简，再求值：(GxJ+3Jxy3)(4xA+J36xy),其中x=:,y=27.*例8.在实数范围内分解因式：(1)x44(2)x22/3x3第二十一章一元二次方程一、一元二次方程的概念：只含有未知数，并且未知数的最高次数是的一方程,叫做一元二次方程，它的一般形式为ax2bxc0a0.例1.(1)当m=时，关于x的方程(mV2)xm2(m3)

5、x4m是一元二次方程22(2)关于x的一兀一次万程(a1)xxa10有一个根为o,则a.(3)已知a方程2x23x40的一个根，则代数式2a23a的值等于.小结：要注意二次项的系数不为0.二、一元二次方程的解法基本思想：降次，即将七次”转化为次”来达到求解目的.基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.例2.选择适当的方法解下列方程：22(1)x4x10；(2)2x5x20；(3)x(x1)x；22(4)7x3x4x3;(5)x6x952x;(6)x3x622.(x5)22(x5)1；(8)(x23x)22(x23x)80注意：要关注如何选择方法，小结选择的原则及注意事项练习：解下列

6、方程：222(1)3xx15x(2)7x2169(3)3x2482(4)x24x30(7)x25x602(10) 3x26x402(5)x6x402(8)2x7x30(11) 5x24、5x402(6)x6x70(9)x2、3x02(12)xx0(13)xx2x20(14)3x2x14x2(15),2x223x0，-22(16) x452x02(17)x12x10(18)2x26x30(19)tt328(20) x1x315(21) xx33x92(22)x12x50(23)22x122x130(24)(x23x)2(x23x)60(25)2x22x300(26)4x25x302一一一*(27

7、)xx330;*(28)x222xx223.例3.解下列关于x的方程:2(1) m1x3mx20m1；(2) x24ax3a22a10；222(3)x22axa2b20；2(4) xa(2xa)xa0；/_、2(5)mx(m3)x3=0m0；22(6)x2m3xm3m40；(7)6m2x25mx60m0222(xa)b(xa)(b1).(9)20m2x211mnx3n20(m0)(10)a2(x2x1)a(x21)(a21)x.建议：(1)通法：利用公式法计算；学有余力的尝试利用十字相乘法进行因式分解;(2)可以去掉二次项系数不为0的条件，培养学生分类讨论的意识.三、一元二次方程根的判别式1

8、.用判别式判定方程根的情况：一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)勺根的判别式：b24ac.当b24ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b24acv0时，方程没有实数根.上述结论，反过来也成立.2 .常见的问题类型：(1)利用判别式，不解方程，判别一元二次方程根的情况；(2)应用判别式，证明一元二次方程根的情况；(3)已知一元二次方程的根的情况，由根的判别式确定方程中字母的取值范围；(4)分类讨论思想的应用：若方程给出时未指明是二次方程，后面也未指明方程有两个根，则一定要对方程进行分类讨论，如果二次项系数为0,方程有可能是一元一次方程；

9、如果二次项系数不为0,方程是一元二次方程，可能会有两个实数根或无实数根；(5)一元二次方程根的判别式与整数解的综合例4.不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x23x10；(2)x25x70；(3)x2V2x10；4x22kxk10.2例5.已知关于x的方程m1x2x10,(1)当方程有两个相等的实数根时，求m的值；(2)当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；(3)此方程有实数根，求m的取值范围.例6.(1)关于x的方程x2m3xm40,求证：无论m取实数值，此方程都有两个实数根.(2)若方程(a1)x2+2(a+1)x+a+5=0有两个实数根，求正整数a的值.(3)已知方程x2+

10、2xm+1=0没有实根，求证：方程x2+mx=12m一定有两个不相等的实数根.例7.已知关于x的方程m/3m2x2m20.(1) 求证：无论m取何值，原方程恒有实数根；(2) 若方程有两个异号实数根，求m的取值范围.例8.已知关于x的一元二次方程x2(5m1)x4m2m0.(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个实数根.(2)原方程的两个实数根一个大于3,一个小于8,求m的取值范围.四、整数根问题例9.已知关于x的方程mx2(3m2)x2m20(1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.(2)若关于x的方程mx2(3m2)x2m20有两个不相等的正整数根，且m为整数，求m的值.例10.设

11、m为整数，且4m40,方程x22(2m3)x4m214m80有两个整数根，求m的值及方程的根.练习：21、已知关于X的万程mx(m2)x20(m0).(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.2、已知关于王的一元二次方程+2王+2火-4=0有两个不相等的实数根(1)求A的取值范围；(2)若A为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.五、一元二次方程的应用(1)数字问题；(2)几何面积问题；(动点问题)(3)增长率问题(下降率)：用公式a(1x)nb(尤其要注意看清题目中说的是第n年，还是前n年)(4)其它实际问题：利润问题等(都要注意检验解的实际意义，若

12、不符合实际意义，则舍去)例10.三个连续奇数的平方和为251,求这三个数.例11.在场地的北面有一堵50米的旧墙，现想用100米长的篱笆材料围成一矩形仓库.要求面积为600平方米，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？例12.某工厂一月份产量是5万元，三月份的产值是11.25万元，求二、三月份的月平均增长率.例13.某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每彳盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件.商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降A价多少元？例14.如图，RtAACB中，/0=

13、90°,AC=8m,BC=6m.P、Q分别在AC、BC边上，同时由A、B两点出发，分另1J沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们I的速度都是1m/秒，几秒后APCQ的面积为RtAACB面积的一半？CQ&例15.如图.ABC中AB=6cm,BC=4cm,/B=60°,动点P、Q分A别从A、B两点同时出发.分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.当点P到达点B时.P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).当t为何值时，PBQ为直角三角形.第二十六章反比例函数6/34一、知识要点：1.定义：形如的函数叫做反比例函数2.图象与性质：表送式k

14、,小y(k0)x图象k0k0性质图象ag增减性对称性3. k的几何意义二、典型例题1 .下列函数中，哪些是反比例函数？，八8一1i八1八(1) y=;(2)y=x8；(3)y=8x;(4)xy=233；(5)y=8.x4x212 .(1)已知y与x成反比例，并且当x=2时，y=-1,则当y=时x的值是.(2)若y2与x3成反比例，当x2时，y1,则y与x之间的函数关系是.已知y=y1+y2,而y1与x+1成反比例，y2与x2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2,则y与x的函数关系式为.D.m2-n21、,1二，y2),(二42则函数值y1,y2,y3的3 .已知反比例函数y1图象过

15、点P(m,n),则化简mini的结果正确的是(xmnA.2m2B.2n2C.n2-m24 .在函数y=2的图象上有三点(一1,y1),x大小关系是.一，,a，5.函数yaxa与y在同一条直角坐标系中的图象可能是(46.作反比例函数y-的图象，并根据图象解答下列问题：x(1)当x4时，求y的值；当y2时，求x的值；(3)当1x4时，求y的取值范围；(4)当y2时，求x的取值范围；(5)当x1时，求y的取值范围.7.(1)直线y2x与双曲线y8有一个交点是(2,4),则它们的另一个交点是.x(2)函数y=2和y=x+4的图象的交点在第象限.x拓展思考：(1)在同一平面直角坐标系下，正比例函数与反比

16、例函数的图象可能有几个交点？0或2个(2)在同一个平面直角坐标系下，直线与双曲线可能有几个公共点？0个(相离)；1个(相切或相交)；2个(相交一支或两支)(3)如何求交点坐标.-18.如图，A,C分别是反比例函数y=图象上两点.若Rt9OB与RtCOD的面积分别为&$2,x则Si与S2的大小关系是()A.Si>S2B.Si=S2；C.Si<S2D.不能确定如图，A,B是函数y=的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，设三角形ABC面积为S,则()A.S=1B.1<S<2第题如图，A,B是函数y=1的图像上关于原点O对称的任意两点，AP平

17、行于y轴，交x轴于点xP,BH平行于y轴，交x轴于点H,证明四边形如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点,的解析式是.AHBP面积为定值.且矩形PEOF的面积为3,则反比例函数如图，是反比例函数kkzy=和y=_2(ki<k2)在第一象限的图象，直线AB/x轴，并分别交两条曲线于A、B两点,A.1B.2若Saaob=2,C.4第题第题则k2-k1的值是()9.如图所示，已知菱形OABC,点C在x轴上，直线y=x经过点若反比例函数的图象经过点B,则此反比例函数表达式为(第9题A,菱形OABC的面积是血.)1A.y-xB.y二xc-21C.yx,21D.y丁10.已知A(4,n),B(2

18、,4)是次函数ykxb的图象和反比例函数ym的图象的两个交点.x(1)(2)求反比例函数和一次函数的解析式；求直线AB与x轴的交点C的坐标和AAOB的面积;(3)求方程kxbm0的解(直接写结果)；x求不等式kxbm0的解(直接写结果)x11 .已知y1是正比例函数，y2是反比例函数，并且当自变量取y1一y2=9,求y1和y2的解析式.12 .在压力不变的情况下，某物体承受的压强P(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示：(1)求p与S之间的函数关系式；1时，yi=y2；当自变量取2时,.2一一一一一(2)求当S=0.5m时物体承受的压强求当P=2500Pa时物体的受力面积

19、p;S.4000300020001000“p(Pa)A(0.25,1000)Jilla0.10.20.30.4S(m2)x(元)3456y(个)2015121013.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：提高练习：，仁一八、一F“八、卜2、一1 .如图，直线y=k1x+b与双曲线y=一父十Ax分别为1和5,则不等式k1x<+b的解集力x,一k.2 .如图，已知双曲线y一,经过点D(6,yi1、B两点，其横坐标a走015"x1),点C是双曲线产(1)猜想并确定在赢利的条件下y与x之间的函数关系式.(2)设经营此

20、贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当销售单价x定为多少时，才能使获利最大？分别为A、B,连接AB、BC.(1)求k的值；(2)若BCD的面积为12,求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由.1c、3.如图所示，已知A%,%),B(2,y2)为反比例函数yBX.1图像上的两点，动点P(x,0)在x正xC作CA，x轴，过D作DB，y轴，垂足半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是A1a0P叫qc第3题第4题4 .如图，A、B是双曲线y=k(k>0)上的点，

21、A、xx轴于点C,若Saaoc=6.则k=.k,5 .如图，点A在双曲线y=的令-象限的那一支上x上，且OC=2AB,点E在线段AC上，且AE=3EC,则k的值为.,点P的坐标是;当线段AP.x1*第5题B横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交,AB垂直于x轴于B,点C在x轴正半轴点D为OB的中点，若4ADE的面积为3,第二十章数据的分析一、数据的代表1 .平均数(1) 求X、x2、Xn的算术平均数，X.如果这n个数都比较大，并且又都在同一个数a附近波动的话，那么我们可以这样计算：Xi'X2'Xn'x1'X1a,x2'x2a,Xn'Xna,求x

22、',则x.n(2) 若n个数X1、x2、Xn的权分别是w1、w2、Wn,则这n个数的加权平均数是.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”2 .中位数和众数(1)中位数求法：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则就是这组数据的中位数.注意：当数据个数是偶数时，中位数可能并不是这组数据中的某个数.(2)众数定义：在一组数据中的数叫做这组数据的众数.众数求法：先数出每个数据出现的频数，再找到频数最高的数据(可能不止一个)二、数据的波动方差定义：设有n个数据X,、x2、xn,它们的平均数为X,即用S2来衡量这组数据的波动大小，并

23、把它叫做这组数据的方差.方差越大，数据的波动;方差越小，数据的波动【习题】一.选择题4,3,x的众数是2,则这组数据的中位数是()1 .已知一组数据1,2,A.2B,2.5C.3D.42 .如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是()A.16,10.5B,8,9C.16,8.5D,8,8.53.李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了体情况统计如下：阅读时间（小时）22.533.5学生人数（名）1286则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（）A.众数是8B,中位数是3C.平均数是3D.方差是0.344.

24、某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表:年龄（单位：岁）13141516频数（单位：名）515x10-x对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A.平均数、中位数B.平均数、方差C.众数、中位数D.众数、方差5 .如果给一组数据的每一个数都加上同一个不等于零的常数，则（）A.平均数、方差都不变B.平均数、方差都改变C.平均数改变，方差不变D.平均数不变，方差改变6 .甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下:班级参加人数中位数力差平均数甲55149191135乙55151110135某同学分析上表后得出如下结论：（1）甲、乙两班学生成

25、绩平均水平相同；（2）乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字150个位优秀）；（3）甲班成绩的稳定性比乙班高上面三个结论中，正确的有（）A.(1)(2)(3);B.(1)(2);C.(1)(3);D.(2)(3).填空题7 .一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数是8 .在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是.9 .有甲、乙两段高度相等的山坡，分别修建了阶数相同的两段台阶.甲段台阶各级台阶高度的方差s甲2=4.6,乙段台阶各级台阶高度的方差s乙2=2.2,当每级台阶高度接近时走起来比较舒适，则甲、乙两段台阶走起来更舒适的是（填甲&

26、quot;或S五10 .某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：年收入(万元)0.60.91.01.11.21.31.49.7家庭户数(1)填写完成下表:这20个家庭的年平均收入为万元；(2) 样本中的中位数是万元，众数是万元；(3) 在平均数、中位数两数中，更能反映这个地区家庭的年收入水平.212211 .已知一个样本的万差S2(x1205)2(x2205)2n(x12205)2,则此样本的平均数是,样本容量是三.解答题12 .某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料.月收入/元4500018000100005500480

27、03400人数111361(1)该公司员工月收入的中位数是元，众数是300011元.22001(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元.你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由.13 .某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示.1)求出卜列成绩统计分析表中a,b的值：组别平均分中位数力差合格率优秀率甲组6.8a3.7690%30%乙组b7.51.9680%20%人数人°13=456

28、78求缮分(2)小英同学说:这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生;(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组.请你写出两条支持乙组同学观点的理由.14 .某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩(百分制)如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙93738

29、88172819483778380817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据:40<x<4950<x<5960<x<6970<x<79甲00111乙80<x<89790<x<1001(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70-79分为生产技能良好,技能合格，60分以下为生产技能不合格)分析数据6069分为生产两组样本数据的平均数、部门甲乙得出结论：平均数中位数、中位数众数如下表所示:众数78.377.5757880.581a.b.可以推断出估计乙部门生产技能优秀的员工人数为部门

30、员工的生产技能水平较高，理由为(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)15 .YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现将随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格.时间第一天第二天第三天第四天第五天7:008:007:008:007:008:007:008:007:008:00需要租用自行车却未租到车的人数(人)请回答下列问题：15001200130013001200b(1)表格中的五个数据(人数)的中位数是多少？(2)由随机抽样估计，平均每天在7:00-8:00需要租用公共自行车的人数是多少?第十七章勾股定理、知识点1

31、 .勾股定理(1)勾股定理：符号：.ABC中，/(2)勾股定理的常见证明方法(勾股拼图)2 .勾股定理的逆定理(1)勾股定理逆定理：符号：.ABC中,(2)直角三角形的判定有的三角形是直角三角形若,则这个三角形是直角三角形。(注：可利用勾股定理的逆定理进行证明垂直关系)3 .特殊直角三角形中三边的关系：(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：。(3)等边三角形的边长为a,则高为,面积为4 .勾股定理的应用：(1)已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长;(2)用其列方程求线段长；(3)作长为jn的线段;(4)在坐标系

32、中的应用平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离是平面直角坐标系中，两点Pi(xi,yi)和P2(x2,y2)的距离是5 .熟悉常用的勾股数：9,40,41等等。3, 4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;它们同时乘以一个正数，仍满足勾股定理的逆定理。二、练习1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是111一八八ccA.-,-,B.3,4,5C.2,3,43452 .如图，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是(A.石1B.石1C.V5+1D.3 .如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C12米处，则大树断裂之前的高度为()C. 21米D.

33、24米D落在BC上的点F处，已知)D. 5A.9米B.15米4 .如图，将矩形沿AE折叠，使AB=8,BC=10,贝UEC的长是（A.2B.3C.45 .若AABC中，AB=13,AC=15,高AD=12，贝UBC的长是（）.A.14B.4C.14或4D.以上都不对6 .在AABC中，若AC=5,BC=12,ACB90,则AB=,AB边上的高CD=.7 .已知：如图，线段AB、DE表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB=3m,/ABC=45°,要使/EDC=60°,则需BD=m.则三角尺的最长边长为cm.第10题8 .如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置，若

34、AD676cm,9 .如图，以Rt四BC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=5,则图中阴影部分的面积为.10.如图所示，图中所有三角形是直角三角形所有四边形是正方有形si9,S3144,S4169，则S2=11 .小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理.小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S=,S=12 .如图，一束光线从y轴上点A(0,1)发出，经过x轴上点C反射后，经过点B(6,2),则光线从A点到B点经过的路线的长度为.(用根号表示)13 .已知AABC中，/A=30°,AB=4,BC=2.5,则

35、AC=.14 .动手画一画如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10X10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形请你在所给的网格中画出边长为5,<10,375的格点三角形那BC.ABC的面积=.15 .AABC中，/B=45°,/C=60°,AB=6后.求（1）BC的长；（2）求那BC的面积.16 .已知，在AABC中，AB=16,AC=14,BC=6,求4ABC的面积.17 .已知：如图，四边形ABCD中，AB±BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.第十八章平行四边形、知识要点:平行四边形矩形菱形止方

36、形定义图形性质边角对角线对称性判定边角对角线其它定理：(1)三角形的中位线;(2)直角三角形等于斜边的一半.有趣的结论1 .顺次连接四边形各边中点所得的图形(中点四边形)问题：顺次连接任意四边形各边中点所得的图形是顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的图形是顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的图形是S四边形abcd=ACBD2 .面积问题：(1)两条对角线互相垂直的任意四边形的面积：1，边形ABCD2ACBDSl=S2+S3=S口ABCD2A1.点2.典型例题如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD交于点O,EF过O且与AB,C

37、D分别相交于点E,F.求证：OE=OF.如图，已知点E,F在平行四边形ABCD的对角线BD上,且BE=DF.问AE和CF有何数量关系和位置关系，请说明理由.1: ABEACDF2;连接AF,CE,AC,利用对角线互相平分，证四边形AECF是平行四边形变式：若条件改为“点E,F在线段DB与BD的延长线上”结论如何？小结：两个方法仍然试用，运动变化的观点，体现对称性.3. 如图所示，已知四边形ABCD,从ABIIDC;(2)ABAD/BC;ADBC;AC;BDDC;中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合.答：本题6个条件中任取2个，共有15种组合情形，

38、其中能证明是平行四边形的有9种情况：，；，；，；，;，；，；，；，；，.4. 如图，在DABCD中，BF平分/ABC交AD于点F,AE1BF于点O,交BC于点E,连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；D(2)连接CF,若/ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.5. (18海淀一模)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AEIIBD,BEIIAC,OE=CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是最大值是.6. (18朝阳一模)如图，在ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长

39、线于点F,连接BF,CD.(1)求证：四边形CDBF是平行四边形；(2)若/FDB=30°,/ABC=45°,BC=,时，四边形AOBE的面积取得求DF的长.7. (1)如图，在DABCD中，平分/ADC交BC边于点E,则A.2cmB.4cmC.已知AD=8cm,AB=6cm,DEBE等于()6cmD.8cmC(2)已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,/BAD=120°,A.16<3B.16C.8.3D.8(3)如图，四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BELAD于点E,且四边形ABCD的面积为8,贝UBE=(8.折

40、叠问题(1)如图，矩形ABCD作OEXAC交AD于E,A. 1.6B.2.5中，AB=3,BC=5.则AE的长是(过对角线交点O)C.3(2)如图，在平面直角坐标系中，将矩形D.3.4OABC沿着OB对折,使点A落在点D处，已知OA=J3,AB=1，则点D的坐标是(3A.一2B. ,32D.中，AB=3,(3)矩形ABCDAC=4,则菱形面积是AD=4,将矩形沿对角线AC折叠，使点D落在点E处，求重叠部分的面积第（3）题第（4）题第（5）题（4）矩形ABCD中，AB=3,AD=4,通过折叠使AD落在对角线AC上，折痕为AG,标出图中相等的角和线段，并尝试求出图中所有线段的长度（5）矩形ABCD

41、中，AB=3,AD=4,沿着过点A的直线折叠，使点D落在BC边上的E点处，求EF的长.（6）矩形ABCD中，AB=3,AD=4,将矩形沿EF折叠，使点D与点B重合，求重叠部分的面积及EF的长.9. 已知：如图，矩形ABCD中，BC延长线上一点E满足BE=BD,F是DE的中点，猜想/AFC的度数并证明你的结论注意：中点可以想到倍长中线、中位线、斜边中线、三线合一.10. （1）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（C.变大D.无法判断第（2）题对角线相交于点O,E、F、G第（3）题G、H分别

42、是AD、BD、BC、AC的中点.当四边形ABCD满足时，四边形EFGH是菱形.（3）如图，在ABC中，AB=5,AC=3,AD是角平分线，AE是中线，过点C作CGLAD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为11 .如图，在那BC中，AC>BC,D为AB的中点，E为线段AC上的一点.若AE=BC且F为EC中点,，1，一求证：/AFD=-/C.212 .如图，在平行四边形ABCD中,AE=CF,AE与CF交于点O,连接OB.求证：/AOB=ZCOB.第12题13 .现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分

43、，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.AD于点D,EBCEDC,14 .已知：如图，平行四边形ABCD内有一点E满足EDECB45，请找出与15 .在矩形ABCD中，DAB,过C点作CE点H,下列结论中：BE相等的一条线段，并给予证明.AB1,AD“G,AF平分BD于E,延长AF、EC于AFFH；BOBFCACH;BE3ED,其中正确的是（A.B.C.D.16 .如图在矩形ABCD中，已知AD12,ABP是AD边上任意一点，PEBD,PFF分别是垂足，求PEPF的值.5,E、AHC17 .已知,(1)当点(2)当点矩形ABCD和点P,P在矩形ABCD外时，求证:P在矩形ABCD内时，求证:Sa

44、pbcSapbcSapacSapacSAPCDSapcd.18.如图，E是菱形ABCD的边AD的中点,EFAC于H,交CB的延长线于F,交AB于P,证明：AB与EF互相平分.19.如图，正方形ABCD对角线相交于点O,点P、Q分别是BC、CD上的点，AQDP,求证：(1)OPOQ;(2)OPOQ.第18题第19题弟一十二早旋转、旋转有关的概念1、旋转：描述一个旋转应把握3个元素：、与.2、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是;（进而得到相等的线段、相等的角）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形，反之则可确定旋转中心）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于;（若特殊角则得

45、到等边三角形、等腰直角三角形）二、中心对称1、中心对称的有关概念:两个图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系.2、中心对称图形三、例题：1 .下列图不是中心对称图形的是（A.B.C.2 .下列图形中，绕某个点旋转180能与自身重合的有（正方形长方形等边三角形线段角A.5个B.2个C.3个D.4个3 .如图，已知那BC和点O.（1）把那BC绕点O顺时针旋转90°得到AA1B1C1,在网格中画出那1B1C1；(2)画出与AABC关于点O成中心对称的AA2B2C204 .如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形.(

46、1)画出将RtAABC向右平移5个单位长度后,此(2)再将RAAiBiCi绕点Ci顺时针旋转90°,画出旋转后的Rt祥2B2C1.时线段7.如图,A的BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为P是正三角形ABC内的一点，且PA6,PB8,PC针旋转后，得到P'AB,则点P与点P'之间的距离为10.若将PAC绕点A逆时APB.8 .在RtABC中，/C=90°,AC=1,BC=点O为RtAABC内一点，连接AO、BO、CO,且/AOC=/COB=BOA=120,按下列要求画图(保留画图痕迹)：以点B为旋转中心，将9OB绕点B顺时针方向旋转60

47、76;,得到祥O'RA、O的对应点分别为点A'、O'),并回答下列问题：/ABC=,/A'BC=,OA+OB+OC=连接EF,下列结论:D.MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交9 .如图，在RtABC中，ABAC,D、E是斜边BC上两点，且DAE45,将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AED©BEDC其中正确的是A.；ABEsBE2DC2AFB,ACD;DE2)B,;10 .已知：正方形ABCD中，ICB,DC(或它们的延长线)于点当MAN绕点A旋转到BMC.；MAN450,M,N.DN时(如图1),易证BMDNMN.的RAAiBiCi；(1)当M

48、AN绕点A旋转到BMDN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.CE11、点A、RC在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF,连接AF,CEL取AF、的中点MN,连接BMBN,MN.(1)若ABE和FBC是等腰直角三角形，且ABEFBC900(如图1),则MBN是三角形.(2)在ABE和BCF中，若BA=BE,BC=BF且ABEFBC,(如图2),则MBN是三角形，且MBN.(3)若将(2)中的ABE绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变，

49、那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明图1图2图3小结：(1)只要图形中存在公共端点的等线段，就可能形成旋转型问题(2)当旋转角是60时，作一个图形旋转后的图形，存在等边三角形；当旋转角是90时，存在等腰直角三角形.反之，如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形，可以从图形旋转的角度分析图形关系综合专题【专题一】阅读理解问题1.已知a、b、c是那BC的三边，且满足a4+b2c2=b4+a2c2,试判断AABC的形状.阅读下面解题过程：解：由a4+b2c2=b4+a2c2得:a4-b4=a2c2b2c2(a，b2)(a2-b2)=c2(a2-b2

50、)即a2+b2=c2.ABC为Rta试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？(填代号)错误原因是本题的结论应为.2.【阅读理解】在AABC中，BC=a,CA=b,AB=c；(1)若/C为直角，则a2+b2=c2；月(2)若/C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2>c2证明：如图过A作ADLBC于D,贝UBD=BCCD=aCD/:X.在AABD中：AD2=AB2BD2/：在AACD中：AD2=AC2-CD25DCAB2-BD2=AC2-CD2c2-(a-CD)2=b2-CD2a2+b2-c2=2a?CDa>0,CD>0，a2+b2c2>0,所以：

51、a2+b2>c2(3)若/C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系.【探究问题】在4ABC中，BC=a=3,CA=b=4,AB=c；若那BC是钝角三角形，求第三边c的取值范围.3 .问题情境：在综合与实践课上，同学们以已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图1,图2都是8X8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.操作发现：小颖在图1中画出祥BC,其顶点A,B,C都是格点，同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上，且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出了AABC的面积.(1)在图1中，小颖所画的Z

52、ABC的三边长分别是AB=,BC=,AC=;AABC25/34的面积为.解决问题：（2）已知那BC中，AB=,BC=2,AC=5,请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出ABC,并直接写出祥BC的面积.4 .问题背景：在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为娓、相、代,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点AABC（即"BC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求AABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.（1）请你将AABC的面积直接填写在横线上;思维拓展：_（2）我们把上述求AABC面积的方法叫做构图法.若那BC三边的长分别为J5a、2&a、折a（a>0）,请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的AABC,则它的面积是;（用含a的式子表示）探索创新：（3）若AABC三边的长分别为jm16n2>49m24n22Vm2系（m>0,n>0,且m布），则这三角形的面积是.（用含m、n的式子表示）5 .阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.理解：根据奇异三角形的定义，请你判断：等