特征值与特征向量的概念实用教案

1、一、特征值与特征向量的概念(ginin) Axx 0EA x 0EA 第1页/共65页第一页，共65页。0EA 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa ( )fEA第2页/共65页第二页，共65页。求矩阵(j zhn)特征值与特征向量的步骤： detEA 0iEA x ,i ,i det0EA 12,n 第3页/共65页第三页，共65页。解例1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A3113 2(3)1 (4)(2). 4, 221 的特征值为的特征值为所以所以A122310,1230 xx 00 2121xxxx即即.111 p

2、所得(su d)所对应的特征向量为:12 20EA x第4页/共65页第四页，共65页。,0034113421 xx.11 2 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,21xx 解得解得,00111121 xx即即14 40EA x第5页/共65页第五页，共65页。例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解2110430(2)(1) ,102EA . 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A12 1232110423001022xxx 20EA x10 0 ,1p .2)0(11的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk第6页

3、/共65页第六页，共65页。210101420012 ,101000EA 231 0EA x212 ,1p .1)0(322的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk第7页/共65页第七页，共65页。例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则 x .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明(zhngmng) xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤 次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA

4、第8页/共65页第八页，共65页。可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA0 第9页/共65页第九页，共65页。;)1(221121nnnaaa .)2(21An 12,n 第10页/共65页第十页，共65页。1 1A 101( )mmmg xa xa xa A 第11页/共65页第十一页，共65页。证明(zhngmng)使使设有常数设有常数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx , 02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpx . 0222111 mmk

5、mkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk12,m 12,mppp12,m 12,mppp第12页/共65页第十二页，共65页。 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp第13页/共6

6、5页第十三页，共65页。12111212122212,;,;,srrsssr12,s 12,iiiiri 第14页/共65页第十四页，共65页。12,r 0iiA 1111,jjrjrjn r jn rAccbb12,n r 11()rn rP 0011()00rn rECECAPPBB 010ECPAPB 00ECAB 0()rEAEB第15页/共65页第十五页，共65页。注意(zh y) 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x则则.与与定定义义矛矛

7、盾盾第16页/共65页第十六页，共65页。 ., 0det,2, 0A3Edet :4 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAEAAAT思考题第17页/共65页第十七页，共65页。思考题解答(jid)知知由由可逆可逆故故因为因为0)3det( ., 0det EAAA解解,3的一个特征值的一个特征值是是A .31 1的一个特征值的一个特征值是是从而从而A 即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATT, 4det, 0det, 4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34有一个特征值为有一个特征值为故故A 第18页/共65页第十

8、八页，共65页。第19页/共65页第十九页，共65页。相似矩阵的定义(dngy) . 22111211PAPPAPPAAP .本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相似相似与与则则相似相似与与相似相似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(第20页/共65页第二十页，共65页。EAEB1APAPB 11221122nnnnaaabbb4.若n阶方阵(fn zhn)A与对角阵 n 2112,n 第21页/共65页第二十一页，共65页。利用对角(du jio)矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPann

9、nn11111110 Ak的多项式的多项式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个第22页/共65页第二十二页，共65页。,1为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(111 .)( A 第23页/共65页第二十三页，共65页。定理(dngl)证明：,1为对角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP .,21npppPP 用其

10、列向量表示为用其列向量表示为把把二、矩阵相似于对角(du jio)阵的条件1p Ap 第24页/共65页第二十四页，共65页。 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有 1122,nnppp ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA 第25页/共65页第二十五页，共65页。12,nppp11212(,)(,)00nnnA pppppp 1p AP 第26页/共65页第二十六页，共

11、65页。AAnnA第27页/共65页第二十七页，共65页。 242422221)1(A 201335212)2(A解(1)EA 由由 227 0 122224242 . 7, 2321 得得第28页/共65页第二十八页，共65页。 04420442022321321321xxxxxxxxx.110,10221 20EA X122 2 , 2 , 13T 70EA X37 123, 第29页/共65页第二十九页，共65页。212533102EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A,) 1, 1 , 1 ( T A 0EA X第30页/共65页第三十页，共

12、65页。解460350361EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A460350361A 1PAP 第31页/共65页第三十一页，共65页。 063063063212121xxxxxx解之得基础(jch)解系,0121 .1002 0EA x 12132 .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 所以 可对角化.A 1232 01,101011P 1100 0 10 .0 02P AP 1nnApp 第32页/共65页第三十二页，共65页。注意(zh y) , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002

13、 11P第33页/共65页第三十三页，共65页。1000100220232aAbc 第34页/共65页第三十四页，共65页。0000000210231aEAbc 10001002200230aEAbc 100001000000000c ()20R EAa(2)20REAc1122A第35页/共65页第三十五页，共65页。2320AAE第36页/共65页第三十六页，共65页。实对称(duchn)矩阵的对角化第37页/共65页第三十七页，共65页。. ,正交矩阵正交矩阵为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEAAAnT 正交矩阵(j zhn)定义： 11;TAA 1A 1 第38页/共65页第三十

14、八页，共65页。 ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 EAAT E nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211第39页/共65页第三十九页，共65页。 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解, 02131121211 第40页/共65页第四十页，共65页。 979494949198949891 979494949198949891T所以(suy)它是正交矩阵 100010001

15、由于(yuy) 979494949198949891第41页/共65页第四十一页，共65页。例.2121000021212121212121212121是正交矩阵是正交矩阵验证矩阵验证矩阵 P解., 是正交矩阵是正交矩阵所以所以且两两正交且两两正交向量向量的每个列向量都是单位的每个列向量都是单位PP第42页/共65页第四十二页，共65页。定理1实对称矩阵(j zhn)的特征值为实数.证明(zhngmng), 对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共轭复数共轭复数xAxA 则则 .xxAx

16、说明：本节所提到的对称矩阵，除非(chfi)特别说 明，均指实对称矩阵, 的的表表示示xx共轭复向量共轭复向量第43页/共65页第四十三页，共65页。于是(ysh)有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得 . 0 xxT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是实数是实数由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以第44页/共65页第四十四页，共65页。定理(dngl)1的意义.,0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系

17、数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 EAxEAAiii 第45页/共65页第四十五页，共65页。., 221212121正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设定理定理ppppA 证明(zhngmng),21222111 AppApp,AAAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是(ysh) 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正正交交与与即即pp. 021 ppT第46页/共

18、65页第四十六页，共65页。1TQ AQQ AQ 1,00n 12,n 第47页/共65页第四十七页，共65页。1111 1A 即即23,k123,k 使使1123(,)kQ 令令第48页/共65页第四十八页，共65页。112111112TTTkTkQAQQ AQA 1112112122211200TTTkTTTkTTTkkkkAAAAAABAAA 22122TTkkTkTkABAAA 第49页/共65页第四十九页，共65页。211100TkP B PP B P 2100P 令令Q Q1112222110000TQQQQBB 11110010100000TTBP B PPP12k 12Q 令令

19、Q QQ QTQ AQ 第50页/共65页第五十页，共65页。()REAnr 0EA X 第51页/共65页第五十一页，共65页。根据上述结论(jiln)，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A第52页/共65页第五十二页，共65页。解22021202EA 412 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A611(2)161116A 例 对下列各实对称矩阵，分别(fnbi)求出正交矩阵 ，使 为对角阵.APP1 P(1)第一步 求

20、的特征值A第53页/共65页第五十三页，共65页。 40,EA x 由由 得得 04202320223232121xxxxxxx解之得基础(jch)解系 .1221 0202202323121xxxxxx解之得基础(jch)解系.2122 14 0,EA x 由由 得得11 第54页/共65页第五十四页，共65页。 02202320243232121xxxxxxx解之得基础(jch)解系.2213 第三步 将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步 将特征向量单位(dnwi)化. 3 ,

21、2 , 1, iiii 令令 20,EA x 由由 得得12 第55页/共65页第五十五页，共65页。,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则第56页/共65页第五十六页，共65页。611888161161116116EA 285 0 1238,5. 得得211121112 211121000 121011000 1111 1131313 第57页/共65页第五十七页，共65页。111111111000111000EA 23111,001211,0 233322212(,)12(,)1 2121,20 3161626