第三章立体的投影

1、第第3 3章章 立体的投影立体的投影返回返回3.2 3.2 直线、平面与立体相交直线、平面与立体相交3.1 3.1 平面立体的投影平面立体的投影3.3 3.3 曲面立体的投影曲面立体的投影3.4 3.4 曲面立体的截交线曲面立体的截交线3.5 3.5 两立体相交两立体相交 按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为本体分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两类。两类。3.1.1 3.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读3.1.2 3.1.2 平面体表面取点平面体表面取点3.1 3.1 平面立体的投影平面立体的投影3.1.1 3

2、.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读 表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。体有棱柱、棱锥和棱台等。3.1.1 3.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读 表面均为平面构成的立体称为平面立体，表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。面立体有棱柱、棱锥和棱台等。3.1.1 3.1.1 平面体三视

3、图的画法与识读平面体三视图的画法与识读 表面均为平面构成的立体称为平面立体，表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。面立体有棱柱、棱锥和棱台等。棱柱棱柱棱锥棱锥3.1.1 3.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读3.1.1 3.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读3.1.1 3.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读3.1.1 3.1.1 平面体三视图的画法与识读平面体三视图的画法与识读1. 1. 棱棱 柱柱2. 2. 棱棱

4、锥锥(1) (1) 棱锥的投影棱锥的投影s s B Ba as sa ac cb bc cs s b bC CA AS Sb b”(c(c”) )a a”主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图XYWYHZO三视图的位置关系和投影规律三视图的位置关系和投影规律长长高高宽宽宽宽上上上上下下下下左左左左右右右右前前前前后后后后主、俯视图主、俯视图 长对正长对正主、左视图主、左视图 高平齐高平齐俯、左视图俯、左视图 宽相等宽相等14(1) (1) 棱柱表面上取点棱柱表面上取点a a a a( (a a ) )( (b b ) )b bb b 3.1.2 3.1.2 平面体表面取点平面体表面取点15例一例

5、一 棱柱表面上取棱柱表面上取点点a a a a( (a a ) )( (b b ) )b bb b abc11(1)abcab(c)例二例二 棱柱表面上的点和直线棱柱表面上的点和直线s s(c(c ) )s s a a a ac c b b b b c cs s b ba a 1 1 1 11 1 r r r r(2) (2) 棱锥表面上取点棱锥表面上取点2 2 2 2 2 23 3( (3 3 ) )3 3 s s(c(c ) )s s a a a ac c b b b b c cs s b ba a 1 1 1 11 1 r r r r例三例三 棱锥表面上取点棱锥表面上取点2 2 2 2

6、2 23 3( (3 3 ) )3 3 b ba aaabbaabbccc c( (cc) )3.2.1 3.2.1 平面体的截交线平面体的截交线3.2.2 3.2.2 直线与平面立体相交直线与平面立体相交3.2.3 3.2.3 坡屋面的投影坡屋面的投影3.2 直线、直线、 平面与立体相交平面与立体相交 平面与立体相交在立体表面产生交线称为平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线截交线，该平，该平面称为面称为截平面截平面。截交线围成的图形成为。截交线围成的图形成为截断面截断面。截交线是截。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平

7、面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条。立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条。 基本特性基本特性：1 1、共有性。、共有性。 2 2、封闭性、封闭性截平面截平面截交线截交线截交线的概念截交线的概念3.2.1 3.2.1 平面体的截交线平面体的截交线3.2.1 3.2.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 平面立体是由平面围成的平面立体是由平面围成的, ,截交线是封闭的平面多边形，截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线

8、的问题多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。面交点的问题。a a、截平面与立体的相对位置、截平面与立体的相对位置 确定确定截交线的形状截交线的形状 确定确定截交线的投影特性截交线的投影特性b b、截平面、立体表面与投影面的相对位置、截平面、立体表面与投影面的相对位置 运用运用线面交点法线面交点法或或面面交线法面面交线法，分别求出截平，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。面与棱面的交线，并连接成多边形。例例1 1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影

9、。三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。s sa ab bc ca as sb bc cs s a a (c(c ) )b b B BA A1 1 2 2 3 3 1 1y yy y2 23 3 1 1 2 2 3 3例例2 2 求带切口三棱锥的投影求带切口三棱锥的投影s s s sssbcbc ccbbaaa a b bc ca a11y yy yy yy y1 1444 4442 23 33322113322解题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的正截交线的正面投影已知，水平投面投影已知，水平投影和侧面投影未知；影和侧面投影未知；2 2 求出截交线上的折求出截交线上的折点点、 、 ；3

10、 3 顺次地连接各点，顺次地连接各点，作出截交线，并且判作出截交线，并且判别可见性；别可见性；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。1234555443322111 12 24 45 53 36 67 7667711232345456767截交线为平面几边形？截交线为平面几边形？ 平面七边形平面七边形采用的是哪种解题方法？采用的是哪种解题方法？3.2.2 3.2.2 直线与平面立体相交直线与平面立体相交 直线与平面立体相交的交点，直线与平面立体相交的交点，称为贯穿点。贯穿点的特性如下：称为贯穿点。贯穿点的特性如下：1 1、共有性、共有性2 2、偶数性、偶数性 通过贯穿点的性质可知，求贯通过贯穿点的性

11、质可知，求贯穿点的问题，实质上就是求线面交穿点的问题，实质上就是求线面交点的问题。点的问题。1、投影面垂直线与立体相交、投影面垂直线与立体相交例题例题3.6 已知三棱锥已知三棱锥S-ABC和直线和直线DE的两面投影，的两面投影，求其贯穿点求其贯穿点2、直线与棱柱相交、直线与棱柱相交例题例题3.7 直线直线AB贯穿三棱柱，求其贯穿点贯穿三棱柱，求其贯穿点3、一般位置直线与棱椎相交、一般位置直线与棱椎相交例题例题3.8 已知直线已知直线AB和三棱椎的两面投影，求贯和三棱椎的两面投影，求贯穿点穿点3.2.3 3.2.3 同屋面的投影同屋面的投影同坡屋面：同坡屋面：当各坡屋面与地面的倾角相对称时称为同

12、坡屋顶当各坡屋面与地面的倾角相对称时称为同坡屋顶1.1.坡屋面各种交线的名称坡屋面各种交线的名称檐口线檐口线坡屋面与墙体的交线如坡屋面与墙体的交线如EFEF、CDCD、MNMN等。等。屋脊线屋脊线屋檐平行的两坡屋面的相交线，如屋檐平行的两坡屋面的相交线，如ABAB、JGJG。斜脊线斜脊线两个相邻屋檐相交成凸角时，两坡屋面的交线，如两个相邻屋檐相交成凸角时，两坡屋面的交线，如AEAE、 ACAC、GMGM、GNGN等。等。天沟线天沟线两个相邻屋檐相交成凹角时，两坡屋面的交线如两个相邻屋檐相交成凹角时，两坡屋面的交线如DJDJ。2.2.坡屋面交线的水平投影特征坡屋面交线的水平投影特征1）斜脊线和天

13、沟线的水平投影是相邻两檐口线水平）斜脊线和天沟线的水平投影是相邻两檐口线水平投影的角平分线；投影的角平分线；2）屋脊线的水平投影平行去于两个相对屋檐的投影，）屋脊线的水平投影平行去于两个相对屋檐的投影，且为两个屋檐间的等分线；且为两个屋檐间的等分线；3）两斜脊、两天沟或一斜脊和一天沟相交于一点时，）两斜脊、两天沟或一斜脊和一天沟相交于一点时，在该点必有第三条屋脊线通过。在该点必有第三条屋脊线通过。3.3.同坡屋面投影的作图规律同坡屋面投影的作图规律1）根据屋面交线的水平投影特征，画出坡屋面的）根据屋面交线的水平投影特征，画出坡屋面的H投影投影2）由坡屋面的水平投影和坡屋面的倾角，画出其正面投影

14、和）由坡屋面的水平投影和坡屋面的倾角，画出其正面投影和侧面投影。侧面投影。 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球3.3 3.3 曲面立体的投影曲面立体的投影1. 1. 圆圆 柱柱 圆柱由

15、圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。 (1) (1) 圆柱的投影圆柱的投影(2) (2) 圆柱表面上取点圆柱表面上取点( )( )A(D)CBc”d ( )( )12341(3)2(4)a(a)a1234在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。2. 2. 圆圆 锥锥 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。作直线绕与它相交的轴线旋转而成。(1) (1) 圆锥的投影圆锥的投影aaa aaaaaa aaaa abbcc

16、a ab bc c(a)(a)(b)(b)cc1111223322333 32 21 13. 3. 圆圆 球球 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。旋转而成。 (1) (1) 圆球的投影圆球的投影(2) (2) 圆球表面上取点圆球表面上取点222”m(m)mabc(a)(b)(c)ab(c)(a)a(a)1 1、圆柱螺旋线、圆柱螺旋线3.3.3 3.3.3 圆柱螺旋线与螺旋楼梯圆柱螺旋线与螺旋楼梯9-1 螺旋线1 圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。

17、2 圆柱螺旋线的画法螺旋线的画法螺旋线的画法6.2.2 6.2.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。直线所围成的平面图形或多边形。 1. 1. 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面平行于轴线，截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的交线为平行于轴线的 两条平行直线两条平行直线截平面倾斜于轴线，截平面倾斜于轴线，交线为交线为 椭圆椭圆截平面垂直于轴线，截平面垂直于轴线，交线为交线为 圆圆平面与圆柱的截交线平面与圆柱的截交线两条平行直线两条平行直线垂直于轴线的圆垂直于轴线

18、的圆椭椭 圆圆 例例4 4 求斜切圆柱的截交线求斜切圆柱的截交线1114322265433(4)5656解题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的水平投截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆影为椭圆，侧面投影为圆2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 4 光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别，作出截交线，并且判别可见性；可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。877878作图步骤：作图步骤： （1 1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质

19、。截交线的形状和性质。 （2 2）求出截交线上的特殊点。）求出截交线上的特殊点。 （3 3）根据需要求出若干个一般点。）根据需要求出若干个一般点。 （4 4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。别可见性。 （5 5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：特殊点： 是指绘制曲线时有影响的各种点。是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点：极限位置点： 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点曲

20、线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点转向轮廓点：转向轮廓点： 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是 区分曲线可见与不可见部分的分界点。区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例例5 5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。求切口圆柱的水平投影和侧面投影。例例6 6 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。求截切圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤解题步骤1 1 分析

21、分析 截交线的水平截交线的水平投影为圆的一部分，侧投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；面投影为矩形；2 2 求出截交线上的特殊求出截交线上的特殊点点、；3 3顺次地连接各点，作顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性出截交线并判别可见性；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。2. 2. 平面与圆锥相交平面与圆锥相交圆圆椭圆椭圆两条相交直线两条相交直线双曲线双曲线抛物线抛物线解题步骤解题步骤例例8 8 已知圆锥与正垂面已知圆锥与正垂面P P相交，求截交线的投影。相交，求截交线的投影。1 1 分析分析 截交线的水平投影和截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；侧面投影均为椭圆；2 2 求出截交线上的特殊点求出截

22、交线上的特殊点、 、 ；3 3 求出一般点求出一般点；4 4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。例例9 9 求正平面与圆锥的截交线。求正平面与圆锥的截交线。解题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的水平投截交线的水平投影和侧面投影已知，正面影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形投影为双曲线并反映实形；2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 3 求出一般点求出一般点 ；4 4 光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别，作出截交线，并且判别可见性；可见性；5

23、 5 整理轮廓线。整理轮廓线。111”2”(3”)4”(5”)45232453例例10 10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。111”2(3)2”3”234(5)4”5”54666”3. 平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆球相交, ,截交线为截交线为 圆圆例例11 11 已知正垂面所截切球的正面投影已知正垂面所截切球的正面投影, ,求其余两面投影。求其余两面投影。例例12 12 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。3.5 3.5 两立体相交两立体相交3.5.1 两平面立体相交两平面立体相交3.5.2 平面体和曲

24、面体相交平面体和曲面体相交3.5.3 两曲面立体相交两曲面立体相交3.5.4 两曲面立体相贯的特殊情况两曲面立体相贯的特殊情况3.5.1 3.5.1 两平面立体相交两平面立体相交 立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线相贯线一般是封闭的空间曲线, , 特殊情况

25、下为平面曲线或直线。特殊情况下为平面曲线或直线。返回返回返回例例3.18 3.18 求两四棱柱的相贯线并补画相贯体的求两四棱柱的相贯线并补画相贯体的W W面投影面投影 步骤：步骤：1.1.补全相贯体的补全相贯体的W W面投影；面投影； 2.2.求横向棱柱棱线与竖直四棱柱表面的交点。利用积聚求横向棱柱棱线与竖直四棱柱表面的交点。利用积聚投影在投影在H H面上标注相贯点面上标注相贯点a a、b b，并确定其，并确定其W W面的投影；面的投影； 3.3.求出求出a a 和和b b 。同理，可求得其他棱线与竖直四棱柱。同理，可求得其他棱线与竖直四棱柱的相贯点；的相贯点； 4.4.依次连接各相贯点，并判

26、断其可见性。依次连接各相贯点，并判断其可见性。例例3.19 3.19 已知三棱柱和三棱锥相交，试完成其三面投影已知三棱柱和三棱锥相交，试完成其三面投影例例3.19 3.19 已知三棱柱和三棱锥相交，试完成其三面投影已知三棱柱和三棱锥相交，试完成其三面投影3.5.2 3.5.2 平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体相贯线的性质平面立体与曲面立体相贯线的性质 平面立体与曲面立体相贯线的求法平面立体与曲面立体相贯线的求法例例3.20 3.20 已知梯型柱和圆锥相交，试完成其三面投影已知梯型柱和圆锥相交，试完成其三面投影. .相贯线性质图例相贯线性质图例表面取点法求作相贯线

27、的一般步骤表面取点法求作相贯线的一般步骤（1 1）分析）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。（2 2）求特殊点。）求特殊点。相贯线上的特殊点包括

28、极限位置点、相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。（）（） 根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。（）判别可见性，（）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （）（）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。3.5.2 3.5.2 求两曲面立体的相贯线求两曲面立体的相贯线例例1 1 已知两圆柱的三面投影已知两圆柱的三面投影, ,求作其相贯线的投影。求作其相贯线的投影。yyyydedeacbabcdebac圆柱表面交线的三种情况圆柱表面交线的