理论力学课件

1、第四章第四章 空间力系空间力系力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影一一. .力在空间的表示力在空间的表示1.1.一次（直接）投影法一次（直接）投影法xyzoFxFyFzFxyFcosxFFF i cosyFFF j coszFFF k2.2.二次（间接）投影法二次（间接）投影法sincosxFFsin sinyFFcoszFF 空间汇交力系空间汇交力系sinxyFF二、空间汇交力系的合力与平衡条件二、空间汇交力系的合力与平衡条件RiFFv 空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。的作用

2、线通过汇交点。合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFF方向余弦方向余弦cos(, )xRRFFiFcos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFFkFv 空间汇交力系平衡的充分必要条件空间汇交力系平衡的充分必要条件称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。0 xF 0yF 0zF 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. .C300zyxoBADG例例: :等长杆等长杆BDBD、CDCD铰接于铰接于D D点并用细点并用细绳固定在墙上绳固定在墙

3、上A A点而位于水平面内，点而位于水平面内，D D点挂一重点挂一重G G的物块，不计杆重，求的物块，不计杆重，求杆及绳的约束反力。杆及绳的约束反力。T-Tsin300cos450-FCD=0-Tsin300sin450-FBD=0Tcos300-G=0FBD FCD 解：研究力的汇交点解：研究力的汇交点D D（空间力空间力系不用取隔离体），画受力图。系不用取隔离体），画受力图。0 xF 0yF 0zF 一、力对点的矩以矢量表示一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩（3 3）作用面作用面：力矩作用面。：力矩作用面。（2 2）方向方向:转动方向；转动方向

4、；（1）大小大小:力力F与力臂与力臂h的乘积；的乘积；v 力矩矢力矩矢的三要素：的三要素：v 力矩力矩是度量力对物体的转动效应。是度量力对物体的转动效应。 空间中力空间中力F对点对点O的力矩的力矩 是是矢量矢量，其作用点，其作用点在在O点，方向沿力矩作用面的法线，大小等于力点，方向沿力矩作用面的法线，大小等于力F与力臂与力臂h的乘积，指向则由右手螺旋法则确定。的乘积，指向则由右手螺旋法则确定。( )OMFxyzijkxyzFFF()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF kxyzFF iF jF krxiyjzk其中其中( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkF iF j

5、F k则则力矩矢是定位矢量力矩矢是定位矢量( )OM Fr F v 力对点的矩的矢积表达式力对点的矩的矢积表达式：O力对点力对点O的矩的矩 在三个坐标轴上的投影为在三个坐标轴上的投影为()OMF( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF ()oyzzMFxFyF()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k( )OM Fr F 二、力对轴的矩二、力对轴的矩 1.1.定义定义 力对轴的矩是力使刚体绕轴转动效果的度量，是力对轴的矩是力使刚体绕轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于转轴的一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于转轴的平面上的投影对该平面与转轴的

6、交点的矩。平面上的投影对该平面与转轴的交点的矩。xyzoFABABxyFcosxyFFd()zxymFFd ()2zOA BmFS 矩轴矩轴 力对轴之矩代数量的正负号力对轴之矩代数量的正负号其正负由右手螺旋规则来确定其正负由右手螺旋规则来确定, ,拇指方向与该轴方拇指方向与该轴方向一致为正向一致为正, ,反之为负反之为负. .zz0 xyF性质：性质：力与轴共面时力与轴共面时0zm 0d ()zxymFFd 力与轴相交时力与轴相交时力与轴平行时力与轴平行时力沿其作用线滑动，力对轴之矩不变。力沿其作用线滑动，力对轴之矩不变。力对轴的矩力对轴的矩 ( )()()()xxxxyxzMFMFMFMF=

7、0yFzzFyzyFyFz( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF三、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系三、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力已知：力 , ,力力 在三根轴上的分力在三根轴上的分力 ， ， ，力，力 作作用点的坐标为用点的坐标为x, y, zx, y, z；FxFyFzFFFF求：力求：力 对对 x, y, zx, y, z轴的矩。轴的矩。0 xzF zF x xzF z F x ()()()()zzxzyzzMFMFMFMFyxF x F y 0 xyF y F x ()xzyMFyFzF( )yxzMFzFxF()zyxMFxFyFv 力对轴之矩的解析

8、表达式力对轴之矩的解析表达式()()ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxzyyMFzFxFMF ()()oyxzzMFxFyFMF 即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。力对该轴的矩。v 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系当当轴轴垂直于垂直于r 和和F 所在的平面时所在的平面时,力力对点之矩与力对轴之对点之矩与力对轴之矩在数值上矩在数值上相等。相等。FrMo=M A-A特殊情形特殊情形例：力例：力F沿长方体的对顶线沿长方体的对顶线AB作用如图所示。试求力作用如图所示。试求力F 对

9、对EC轴及轴及CD轴之矩。已知：轴之矩。已知：F=1KN，a=18cm,b=c=10cm。解：在空间力系情况下，计算力解：在空间力系情况下，计算力对轴之矩的方法较多，应针对具对轴之矩的方法较多，应针对具体问题选用。体问题选用。 方法一：方法一：利用力对点之矩与力对利用力对点之矩与力对轴之矩的关系来计算。由于轴之矩的关系来计算。由于CD轴轴和和CE轴均通过轴均通过C点，因此可以先点，因此可以先计算力对计算力对C点之矩，再将其分别向点之矩，再将其分别向CD轴和轴和CE轴投影来求解。轴投影来求解。（1 1）将力）将力F F分解为沿坐标轴的三分解为沿坐标轴的三个分力，如图所示。其中有个分力，如图所示。

10、其中有（2 2）计算力对过）计算力对过C C点的三个正交点的三个正交坐标轴的矩，有坐标轴的矩，有则力对点则力对点C C之矩为之矩为cossin436.852coscos649.863sin436.852xyzFFNFFNFFN sin78.633sin43.6850CxCyCzMFaN mMFbN mM ()78.63343.685C MFij（3 3）根据力对点之矩与力对轴之矩的关系得）根据力对点之矩与力对轴之矩的关系得()78.633()78.633sin278.63355.62CECDN mN m MFMF方法二：方法二：由力对轴之矩的定义计算。由力对轴之矩的定义计算。因为平面因为平面A

11、EDHAEDH与与CECE轴垂直，力轴垂直，力F F的三的三个分力中只有个分力中只有F Fz z对对CECE轴有矩，所以轴有矩，所以有有222()()sin1010001818101078.633CECEFaN m zMFMF 由图可知，平面由图可知，平面AEBKAEBK垂直于轴垂直于轴CDCD，而力，而力F F本身就位于该平面内，本身就位于该平面内，则可利用合力矩定理计算力则可利用合力矩定理计算力F F对对CDCD轴之矩轴之矩()()()coscos45sin1822001000 1018252452455.6CDCDCDFbFaN m yzxMFMFMF空间力偶空间力偶一、力偶矩以矢量表示

12、一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢力偶矩矢1212FFFFv 空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1） 大小大小：力与力偶臂的乘积；力与力偶臂的乘积；（3） 作用面作用面：力偶作用面。力偶作用面。 （2） 方向方向：转动方向；转动方向；BAMrF力偶矩矢力偶矩矢的矢积表达式：的矢积表达式： 力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关，即无需确定力力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关，即无需确定力偶矩矢偶矩矢 的初端位置，这种矢量称为的初端位置，这种矢量称为自由矢量自由矢量。M(,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 二、力偶的性质二、力偶的性质BAMrF力偶矩力偶矩FF

13、因因（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。变而改变。（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变对刚体的作用效果不变.(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA(4) 只要保持力偶矩不变，力偶可从

14、其所在平面移至另只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.211FFF332FFF=(5) 力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡.定位矢量定位矢量力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量三、力偶系的合成与平衡条件三、力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=RiFFiMM有有M为合力偶矩矢，等于各分力为合力偶矩矢，等于各

15、分力偶矩矢的矢量和偶矩矢的矢量和. .如同右图如同右图222()()()xixiyizMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM简写为简写为 有有0M v 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 MMixcosMMiycosMMizcos0ixM0iyM0izM已知：两圆盘半径均为已知：两圆盘半径均为200200mmmm，ABAB =800mm,=800mm,圆盘面圆盘面O1垂垂直于直于z轴，圆盘面轴，圆盘

16、面O2垂直于垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，轴，两盘面上作用有力偶，F F1 1=3N=3N， F F2 2=5N=5N，构件自重不计。构件自重不计。求求: :轴承轴承 A , B 处的约束力。处的约束力。解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图b b所示。所示。由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程0 xM24008000BzFF0zM14008000BxFF解得解得N5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩一、空间任意力系向一点的简化一、空间任意力系向一点的简化其中，各其中，各 ，各iiFF()ioiMMF空间汇交与

17、空间力偶系等效代替一空间任意力系空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.RiixiyixFFF iF jF k 称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系的主矩()oioiMMMF( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k称为力系的主矢称为力系的主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有(),(),()xyzMFMFMF式中，式中， 各分别表示各力对各分别表示各力对x，y，z轴的矩。轴的矩。空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF

18、侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头1 1、 合力合力ORMdF二、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）二、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）0,0,ROROFMFM 当当 时，最后结果为一个合力。时，最后结果为一个合力。合力作用线距简化中心的距离为合力作用线距简化中心的距离为0,0ROFM 当当 时，最后结果为一个合力。时，最后结果为一个合力。合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。()()OROROMdFMFMF合力矩定理：合力矩定理： 合力对某点之矩等于各分力

19、对同一点之矩的矢量和。合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。2 2、合力偶、合力偶 当当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。化中心无关。0,0ROFM 力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心3 3、力螺旋、力螺旋 当当 时，力系不能进一步简化时，力系不能进一步简化, , 组成一个力螺旋。力螺旋是由一力和一力偶组成的最组成一个力螺旋。力螺旋是由一力和一力偶组成的最简单的力系，其中的力垂直于力偶的作用面，不能再简单的力系，其中的力垂直于力偶的作用面

20、，不能再进一步合成。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心进一步合成。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴。轴。 0,0,/ROROFMFM,ROF M右螺旋右螺旋左螺旋左螺旋当当 成角成角 且且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时, ,0,0,ROROFMF M,ROF M可进一步合成为一力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心为可进一步合成为一力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF4 4、平衡、平衡当当 时，空间力系为平衡力系。时，空间力系为平衡力系。0,0ROFM 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为

21、零。该力系的主矢、主矩分别为零。v 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM 空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：所有所有各力各力在三个坐标在三个坐标轴中每一个轴上的轴中每一个轴上的投影的代数和等于零投影的代数和等于零，以及这些力对于，以及这些力对于每一个每一个坐标轴的矩的代数和也等于零坐标轴的矩的代数和也等于零。v 空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程000zxyFMM 例例:重为重为G的均质正方形板置于水平面内的均质正方形板置于水平面内,求球铰链求球铰链O和蝶和蝶铰链铰链A处的反力及绳的拉力。处的反力及绳的拉力。Azy

22、xoB300AzyxoB300T 解解: :以板为研究对象以板为研究对象, ,受力如图所示，为一空间任意力系。受力如图所示，为一空间任意力系。GFAz FAx Fox Foy Foz FOx -Tsin300cos450+FAx=0FOy-Tsin300sin450=0FOz-G+Tcos300+FAz=0b-Gb/2+Tcos300b+FAzb=0Gb/2-Tcos300b=0FAx=00 xF0yF0zF( )0 xMF( )0yMF( )0zMF已知：已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图各尺寸如图求：求：21,FF及及A、B处约束力处约束力.解：以曲轴为研究对象，画受

23、力图如图所示。解：以曲轴为研究对象，画受力图如图所示。12,AxAzBxBzF F F FFFF 列平衡方程列平衡方程 0zF 0yF060sin30sin21BxAxFFFF00 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx12cos30200cos602002004000BzFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz12sin30200sin602004000BxFFF结果：结果：,6000,300021NNFF,9397,1004NNAzAxFF3348 ,1799NNBxBzFF 力系的简化在工程实际中有许多的应用。例如，力系的简化在工程实际中有许多的应用。例如，电

24、机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就其重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。是求平行力系的合力问题。重重 心心zxyPPiCiCC1P1o 任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）受重力（即地球的吸引力）P ， 其作用点的坐标其作用点的坐标x

25、 、y 、z 与微元体的位置坐标相同。所有这些重与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系。行力系。 iiii（一）重心坐标的一般公式（一）重心坐标的一般公式zxyPPiCiCC1P1xyxy11xiyiz1zzio右图认为是一个空右图认为是一个空间平行力系，则间平行力系，则P=Pi合力的作用线通过合力的作用线通过物体的重心，由合物体的重心，由合力矩定理力矩定理my(P)=m （P ）yi即即P= Pixixc于是

26、有于是有xc=PP xiizxyPCiCC1xyxy 11x iy iz1zzicccP1Pi同理有同理有yc=PPiy为确定为确定 z ，将坐标系连同物体绕将坐标系连同物体绕y轴转轴转90 ，得，得c。zc=PPizii（二）均质物体的重心坐标公式（二）均质物体的重心坐标公式即物体容重即物体容重 系常量，则系常量，则P= V， P = Viixzc=VV iiyc=VV iixc=VV iiyz上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。物体，其重心与形心的位置是重合的。于是有于是有 对于任何形状的物体或平面图形，均可

27、用下对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有具体位置。对于均质物体，则有xc=Vvx dVyc=Vvy dVzc=Vvz dV,均质等厚薄板的重心和平面图形的形心均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为称平面为xy平面，则其重心的一个坐标平面，则其重心的一个坐标z 等于零。等于零。设板厚为设板厚为 t ，则有，则有cV=A t ， V = A tii则则xxc=AAiiyc=AAiiy上式也即为求平面图形形

28、心的公式。上式也即为求平面图形形心的公式。积分法积分法xc=Vvx dVyc=Vvy dVzc=Vvz dV,若为平面图形，则若为平面图形，则xc=AAx dAyc=AAy dA，用积分法求半圆的形心位置。用积分法求半圆的形心位置。解：建立如图所示坐标系，则解：建立如图所示坐标系，则xc=0现求现求y C。则则b(y)=2dA=b(y)dy=2 dy22Ry22RySy=ydA= A0R2y dy= 23(R y ) = + R2232 0 R 3 2322Ry代入公式有代入公式有ydASyyC= AA=A=4 R3二、确定重心的悬挂法与称重法二、确定重心的悬挂法与称重法（1） 悬挂法悬挂法（

29、2） 称重法称重法1CP xF l1CFxlP则则有有2CFxlP22211CFFzrlHPH整理后，得整理后，得 若汽车左右不对称，如若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）何测出重心距左（或右）轮的距离？轮的距离？v 除公式法外除公式法外,以下方法常用来确定重心以下方法常用来确定重心: 凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必在凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必在其对称面、轴、中心上。其对称面、轴、中心上。例：球体、立方体、等腰三角形等。例：球体、立方体、等腰三角形等。(1) 利用对称性求重心利用对称性求重心 (2) 组合法组合法 1）分割法）分割法: 将整个物体分割成若干个简单形体将整个物体分割成若干个简单形体,在一个在一个坐标系下标出各简单形体