分类转化分散难点各个击破(特教师佘维平

1、分类转化分散难点各个击破分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置1. 需要分类讨论的情形主要有以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况. 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是

2、分类给出的如等比数列的前n项和的公式，分q=1和qz1两种情况. 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论.另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性2. 分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论其中最重要的一条是“不漏不重”3. 分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏

3、不重、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论二. 典例精析例1.设0<x<1,a>0且az1,比较|loga(1x)|与|loga(1+x)|的大小.(道经典高考题)思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值.解：0<x<10<1x<1,1+

4、x>1 当0<a<1时，loga(1x)>0,loga(1+x)<0，所以|loga(1x)|loga(1+x)|=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x2)>0； 当a>1时，loga(1x)<0,loga(1+x)>0，所以Iloga(1x)|loga(1+x)|=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x2)>0；由、可知，Iloga(1x)|>|loga(1+x)|.反思提高：1. 本题要求对对数函数y=logax的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是

5、减函数.去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性；2. 我们既要善于分类(有时还必须会主动地去进行分类)，又要在不少问题上学会避免分类，在此题上我们就巧妙避开了对绝对值去除的分类讨论例2.已知a>0,函数F(x)=ax-xa.若F(x)在(0,中处)上有最大值,求a的取值范围.分析与简解：去掉绝对值得a,：)F(x)=斗_(a1)xax(0,a)由a>0,a1>0知F(x)在(0,a)上单增；a-1有正有负，因此应以1为分类标准. a>1时，F(x)在(0,：)上单增，无最大值； a=1时，F(x)的最大值=F(a)=1； 0va

6、v1时,F(x)在(0,a)单调递增,在(a,=)上单调递减.F(x)的最大值=F(a)=a.综上可知,当a，(0,1时，F(x)在(0,二)上有最大值.反思提炼：确定分类标准是关键，不重不漏是要点！例3.设函数f(x)=ax22x+2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围思维启动点：含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的位置关系进行分类讨论，最后综合得解.&亠121解：当a>0时，f(x)=a(x)+2aa1或；<4a或s11f(1)=a_2+2&g

7、t;0f(_)=2_>0.aa1十4或af(4)=16a8+20a>1或<a<1或$2当a<0时，鮒尸a2>0，解得$;f(4)=16a8+20当a=0时，f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意1由上而得，实数a的取值范围是a>.2反思提炼：本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a=0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间.本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用例4.解不等式(X

8、4a)(x6a)>o(a为常数，az丄)2a+12思维启动点：含参数的不等式，参数a决定了2a+1的符号和两根4a、6a的大小，故对参数a分11四种情况a>0、a=0、一<a<0、a<分别加以讨论.22解：T2a+1>0时，a>1;4a<6a时，a>0.2所以分以下四种情况讨论： 当a>0时，(x+4a)(x6a)>0,解得：x<4a或x>6a;当一<a<0时,2 当a=0时，x2>0，解得：x丰0;(x+4a)(x6a)>0,解得:x<6a或x>4a;6a<x<4a.

9、 当a>丄时，(x+4a)(x6a)<0,解得:2综上所述，当综上所述，当a>0时，x<4a或x>6a;当a=0时,当一1<a<0时,2x<6a或x>4a;当a>时，6a<x<4a.2反思提炼：一道简单不等式一旦将一个数字系数改为字母参数，可能就会变得很复杂，这也是高考中参考不衰的问题.本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏.一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论一些问题必须对它们进行分类才能得到解决，而一些问题的解决本无须对它们分类，但这样处理起来却比较困难，此

10、时我们可以人为地将它划分类别，把整体分为若干局部，分散难点,然后各个击破.，最终求得问题的整体解决.这是一种具有哲学意义的策略思想.从以下例子可看出，对分类思想的这一种主动应用是必要的且是行之有效的.例5对实函数f(x)=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求证：f(x)的值恒为正数.思维启动点：将f(x)的表达式分解因式，虽可证得结论但较难，分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决.证明：当x<0时/x5-x3-x>0,f(x)>1恒成立； 当0<x<1时f(x)=x6+(x4-x5)+(x2_X3)+(x-1)4523,/x>x,x&

11、gt;x,1>xf(x)>0成立；当x=1时，f(x)=1>0成立； 当x>1时f(x)=(x6_X5)+(x4_X3)+(x2-x)+165432/x>x,x>x,x>xf(x)>1成立综上可知，f(x)>0成立.反思提炼：此题通过主动分类，分散了难点，在各类下问题的解决变得很简单，是很值得我们学习的一种好方法.例6一个定义在有理数集合Q上的函数f(x),对一切x,yQ都有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：对任意xQ,f(x)=x(x).(此题适合高二年级以上同学学习)思维启动点；直接求证很难，考虑到当m,n为互质整数(m工0)时，

12、n/mQ,故可将x试分为n(nN)、0与-n、1/n(mN)及n/m几类，从而分散难点、降低难度，分别求解证明：第一步，证明结论对一切xN成立 当x=1时，f(x)=1f(1)成立； 设x=k(kN)时结论成立，则当x=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)结论也成立；第二步，证明结论对零和负整数成立/f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0f(1)又Tf(n)+f(-n)=fn+(-n)=f(0)=0,f(-n)=_f(n)=_nf(1),结论成立；第三步，证明当x=1/n(nN)时结论成立111)+f()=nf()nnnn个111)+f()=nf(

13、)nnnn个1111f(1)=f(+)=f()+f(nnnnJtA丿n个11f(n)=(-)f(1)nn1111同时由f(+f(-)=f(0)有f(-7)=(-)f(1)nnnn结论成立;第四步，证明结论对一切有理数成立n设mNn乙且n丰0,对任意有理数mn1111nf()=f(+)=mf()=f(1)mnnnnm即结论对一切有理数成立.反思提炼此题的求解从对变量的巧妙划分到各个局部的解决充满了数学的策略和美.尤其是在这样的划分下，一个变量是非自然数的命题居然主要由数学归纳法获得解决！这是通过解决此问题而得到的另一收获.例7平面内k个整点(横纵坐标都是整数的点)两两相连得若干条线段，若要保证其

14、中至少一条线段的中点也是整点，k的最小值是多少？x1-x2解由中点坐标公式X=知：只有当X1、X2同奇偶性时，x才会是整数.于是可对整点进行2以下分类：(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)，由抽屉原理知，当有五个或五个以上整点时，至少应有两个点属于上述四类中的一类，即此两点的横纵坐标同是奇数或偶数.于是结论成立.所以，k的最小值是5.三归纳总结,并对,获取阶1 分类讨论思想是指依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同的种类划分的每一类分别进行研究和求解的思想2 分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想和归类整理的方法与分类讨论思想有关的数学问题具有明显的逻辑性、

15、综合性、探索性，能训练人思维的条理性和概括性4. 分类处理时要注意： 明确分类讨论的对象及其全体范围；确定分类标准，进行合理分类，即标准要统一，不重不漏，分类互斥；再对每一类逐级讨论段性结果； 归纳小结，得出综合结论四课后精练巩固提高一.选择与填空题1. 集合A=x|x|w4，xR,B=x|x3|<a,xR，若A二B，那么a的范围是A.0waw1B.aw1C.a<1D.0<a<1322. 若a>0且1,p=loga(a+a+1),q=loga(a+a+1)，贝Up、q的大小关系是A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时，p>q；当0&l

16、t;a<1时，p<qsinxcosxtgx|ctgx|,3. 函数y=+亠一+的值域是.|sinx|cosx|tgx|ctgx卄'冗cos0-sin0心士亠4. 右0(0,)，贝ylimnn的值为.2n*cos0+sin0A.1或1B.0或1C.0或1D.0或1或115. 函数y=x+的值域是.xA.2,+a)B.(-a,-2U2,+a)C.(-s，+a)D.-2,26. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为8 4A.-.3B.3C.9 97. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为10 4A.-.3B.3C.11 92和4的矩形，则它的体积为2483D.3或39997. 过点P(2

17、,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是A.3x2y=0B.x+y5=0C.3x2y=0或x+y5=0D.不能确定简解1小题：对参数a分a>0、a=0、a<0三种情况讨论，选B;2小题：对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C;3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案4,-2,0;3TJTJT4小题：分0=、0<0<、<0<三种情况，选D44425小题：分x>0、x<0两种情况，选B;6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D;7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C.解答题1. 在xoy

18、平面上给定曲线y2=2x，设点A(a,0),aR,曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a),求f(a)的函数表达式.(本题适合高二年级以上学生)2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，AAB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合ClgSngSn2<|gSlgSngSn2<|gS的个数：CAUB且C中含有3个元素；.CnAM0.3. 设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和.证明:是否存在常数c>0，使得lg(Sn一c)lg(Sn2c)=lg(Sn1-c)成立？并证明结论.(本题适合高二年2n十级以上学生)二解答：1. 分析：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目

19、标函数，转化为二次函数在约束条件x>0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论.解：设M(x,y)为曲线y2=2x上任意一点，则|MA|2=(xa)2+y2=(xa)2+2x=x22(a1)x+a2=x(a1)2+(2a1)由于y2=2x限定x>0，所以分以下情况讨论：当a1>0时，x=a1取最小值，即|MA2min=2a1;当a1<0时，x=0取最小值，即|MA2min=a2;1莎(a>1时)综上所述，有f(a)=2a1').Ja|(av1时)反思：本题解题的基本思路是先建立目标函数.求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x>0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d=f(a)的函数表达式.2. 分析：由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：属于A元素；不属于A而属于B的元素.并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种.解：C12C；+C22C；+C；2C0=1084反思：本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法.另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C；0C8=1084.3. 分析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解.其中在应用