第三章(4)非参数检验

1、84/1非参数检验方法84/2非参数检验方法1.参数检验方法是基于总体分布为的前提下对参数进行的检验。当条件不满足时，不能用参数检验方法2.非参数检验方法可以不考虑总体的参数和总体的分布类型，也称为3.不对总体参数进行比较，而是用于分布之间的比较4.适用条件无特殊要求实际应用中不满足参数统计条件的资料均可用84/31.应用范畴广泛 如定量资料和定性资料的差异比较、分布拟合、相关性分析等2.信息利用不充分，检验效率低于参数检验 例如，在资料服从正态分布的前提下，当 H0 不真时，非参数检验方法不如参数检验方法能灵敏地拒绝H0, 即犯第二类错误（取伪）的可能性大于参数检验法非参数检验84/4主要内

2、容84/5拟合优度检验84/61. 参数检验方法中，一般要求总体的分布已知。如果总体的分布未知，就需要根据样本数据来推断和检验总体分布形式，此称为分布拟合检验分布拟合检验2. 基本思想将样本观察值确定的经验分布代替总体的分布，并与假设的理论分布相比较由于抽样的随机性和样本容量的限制，用经验分布与理论分布比较时，会有某种偏差如果这种偏差不显著，就认为总体服从此种理论分布；如果差异显著就不能认为总体服从此种理论分布3. 常用的检验方法有正态概率图纸法、皮尔逊2检验法、柯尔莫哥洛夫检验法等分布拟合检验84/7n问题的数学描述 设 X为未知总体，(x1,x2,xn)为大样本(n50)，欲检验H0: F

3、(x)= F0(x)， H1: F(x) F0(x)K.Pearson拟合优度检验(基本原理和步骤基本原理和步骤)（注意：两个尾部区间中的样本点非空）n原理与步骤 (-, a1, (a1, a2, , (ak-2, ak-1, (ak-1, +)984/8a0=-, ak=+，Ii=(ai-1, ai (i=1,2,k-1) , Ik=(ak-1, +)ni为样本观测值（X的取值）落在第i个小区间Ii 的个数pi 为X取值落入第i个小区间Ii的概率，0pi1, i=1,2, ,k记pi= Pai-1X ai=F0(ai)F0(ai-1)，i=1,2,k221()kiiiinnpnp称ni为实测

4、频数实测频数，vi=npi为理论频数理论频数84/922(1)Pkr ， 当2 2(k-r-1) 时，拒绝H0 当2 2(k-r-1) 时，接受H0【Pearson定理】不论 F0(x) 是何分布函数，只要 n充分大( n50 )，当假设 H0 成立时，上述 2 统计量都近似地服从自由度为 kr1 的 2 分布。其中r是 F0(x) 中未知参数的个数(注：定理由K.Pearson和R.A.Fisher联合证明)84/10几点说明 分布函数 F0(x)类型的确定，可由实际问题分析或由样本观察数据的直方图来推测 此检验要求一定是大样本，一般n50 确定k 的大小 对于正态总体，样本容量n与区间个数

5、k要满足渐近最优关系，即k =1.87(n-1)0.4 样本容量n与区间个数k对应表如下n501002005001000200010000k912162230567484/11 若分布函数F0(x) 含有r个未知参数，须先用极大似然估计法求出未知参数的估计值，然后再作假设 若理论频数理论频数vi=npi5，则将相邻的小区间合并，直至全部npi 5（合并区间的同时，也将实测频数合并），合并后的小区间数设为k*，则此时2统计量的自由度变为 df = k*-r-1几点说明84/12209,x【例1】设从总体X中抽取120个样本观察值，经计算整理得右表，试检验 X 服从正态分布。（=0.05） 组号小

6、区间ni1（-，19862（198，20173（201，204144（204，207205（207，210236（210，213227（213，216148（216，21989（219，+）6120解解 这里只给出了分布类型，有两个待估参数与2。 用极大似然法对与2作出估计，得到2242.77s故提出假设 H0: XN(209,42.77), H1: X不服从N(209, 42.77)84/1311010()()(198)pPXaF aF 21200()(201)(198)201 209198209()()0.064742.7742.77pP aXaFF 类似地算得: p3=0.1124, p

7、4=0.1547, p5=0.1813, p6=0.1695 p7=0.1286, p8=0.0793, p9=0.0630.计算X取值落在各个区间的概率（ XN(209,42.77) ）198209()0.046542.77 84/14由 n =120，算得统计量的值220.05(1)(6)12.592kr ) 1(22rk由于所以接受H0，认为X N(209 ,42.77).221()1.1402kiiiinnpnp对于=0.05, k=9, r=2. 查表得临界值84/15【例2】对200个电池做寿命试验，(ti-1,ti)表示以小时计的时间区间(i=1,2,6)，在=0.05下，试检验

8、电池寿命X服从指数分布。组序123456合计(ti-1,ti)(0,5)(5,10) (10,15) (15,20) (20,25) (25,30)ni1334515421200解解用样本观察值对未知参数作极大似然估计。以xi表示区间(ti-1, ti)的中点（组中值），则611200iiixnx1(2.5 133 7.5 45 12.5 15 17.5 420022.5 2 27.5 1)5 84/160, 00,2 . 0)(2 . 0 xxexfx0,00,1)(2 . 0 xxexFx指数分布参数的估计为密度函数为分布函数为110.25x84/17提出假设 H0：X服从 =0.2的指数

9、分布. 当H0为真时，有1105(5)(0)(5)10.6321pPXFFFe 类似地算出： p3 =0.0855, p4 =0.03147, p5 =0.0016, p6 =0.0043212510(10)(5)0.2325pPXFFee84/18各vi=npi分别为： 126.42 46.52 17.10 6.30 2.32 0.84 由于v5和v6都小于5，且合并后仍小于5，故与v4合并.列表计算2统计量的观测值，见下表组序组序nivi=npini-npi(ni-npi)2/npi1133126.426.580.342524546.52-1.520.049731517.10-2.100.

10、2579479.46-2.460.6397 2002001.2984/192421()1.29iiiinnpnp由 =0.05 得991. 5)2() 1(205. 02rk由于22(k-r-1)，故接受H0，即认为X服从参数=0.2的指数分布。得到84/20柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫(Kolmogorov-Smirnov)检验一单个总体分布函数的假设检验(柯尔莫哥洛夫检验)二两个总体分布函数的比较84/21单个总体分布函数的假设检验1. 2 拟合优度检验实际上是检验 piF0(ai) F0(ai-1)pi0 ( i1,2,.,k) 的正确性，并未直接检验原假设的分布函数F0(x)的正确性2. 柯

11、尔莫哥洛夫直接针对原假设 H0：F(x)F0(x)3. 基于经验分布函数(或称样本分布函数)作为检验统计量，检验理论分布函数与样本分布函数的拟合优度4. F(x)必须是连续型分布84/22 设总体X服从连续分布，X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本，Fn(x)为经验分布函数lim( )( )nPF xF x 定义Fn(x)到F(x)的距离为sup |( )( )|nnxDF xF x Dn的值如下图所示()x 柯尔莫哥洛夫检验84/23DnF(x)Fn(x)xDn值图1084/24 Glivenko-Cantelli引理证明了当n趋于无穷大时，Dn以概率收敛到0，即lim0nPD 检验统

12、计量建立在Dn基础上sup |( )( )|nnxDF xF x 柯尔莫哥洛夫检验84/25柯尔莫哥洛夫检验1.原假设和备择假设 H0: F(x) F0(x)， H1: F(x) F0(x)其中F0(x)是给定的连续分布函数。2.选取检验统计量当H0为真时，Dn有偏小趋势，则拟合的越好；当H0不真时，Dn有偏大趋势，则拟合的越差。sup |( )( )|nnxDF xF x 84/26令 F(t) 表示上式右端的值。对于相应的 t ，查Dn极限分布数字表可得到 F(t) 根据上式制作出Dn极限分布数字表极限分布数字表 推导检验统计量的分布时，使用 Dn比Dn方便nn实际使用的检验统计量 Dn在

13、显著性水平下，一个合理的检验是：如果 Dnk，则拒绝原假设，其中k是合适的常数。nn2 2121lim()1 2( 1),0ii tnniPnDtet 【Kolmogorov定理】在F0(x)为连续分布的假定下，当原假设为真时， Dn的极限分布为(1)84/27给定显著性水平，使()nPnDt从附表（Dn极限分布数字表）中查出t作为临界值，则拒绝域为 t ,+)4.计算检验统计量的观察值 如果检验统计量 的观察值落在拒绝域中，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。nnD3.确定拒绝域5.作判断84/28【例例】设从连续分布总体抽取容量为25的样本，其观察值为 -2.46 -2.11 -1.23 -0

14、.99 -0.42 -0.39 -0.21 -0.15 -0.10 -0.07 -0.02 0.27 0.40 0.42 0.44 0.70 0.81 0.88 1.07 1.39 1.40 1.47 1.62 1.64 1.76试在显著性水平 0.05 下，检验假设H0：样本来自标准正态分布标准正态分布H1：样本来自其他的连续分布单个总体分布函数的假设检验84/29Kolmogorov检验步骤步骤如下把样本观察值按从小到大的顺序排列(见例题)x(1) x(2) x(25)求出经验分布函数Fn(x)，计算Fn(x)的观察值，列入表1的第3列0,2.460.04, 2.462.11( )0.08

15、, 2.111.231,1.76nxxF xxx 84/30ix(i)Fn(x(i) (x(i)d1id2i12345678910111213141516171819202122232425-2.46-2.11-1.23-0.99-0.42-0.39-0.21-0.15-0.10-0.07-0.020.270.400.420.440.700.810.881.071.391.401.471.621.641.760.040.080.120.160.200.240.280.320.360.400.440.480.520.560.600.640.680.720.760.800.840.880.920.

16、961.000.00690.01740.10930.16110.33720.34830.41680.44040.46020.47210.49200.60640.65540.66280.67000.75800.79100.81060.85770.91770.91920.92920.94740.94950.96080.00690.02260.02930.04110.17720.14830.17680.16040.14020.11210.09200.16640.17540.14280.11000.15800.15100.13060.13770.15770.11920.08920.06740.0295

17、0.05200.03310.06260.01070.00110.13720.10830.13680.12040.10020.07210.05200.12640.13540.10280.07000.11800.11100.09060.09770.11770.07920.04920.02740.01050.0392表1 Kolmogorov检验计算表84/31当原假设H0为真时，计算标准正态分布函数的值，列入表1的第4列。例如，(1)(2)()( 2.46)0.0069()( 2.11)0.0174xx 计算Fn(x)与(x)值的差记 分别列入表1的第5列和第6列。1( )(1)2( )( )|(

18、)()|,|()()|iiniiinidxF xdxF x (x)函数是连续函数，Dn只会出现在84/32 给定显著性水平，使0.05()0.05nPnDt查Dn极限分布数字表，得到 t1.36，作为t0.05的近似值，则拒绝域为1.36,+)。计算 Dn 的观察值sup |( )( )|nnxDF xx 根据表1中的d1i和d2i的具体数据，得12125max,0.1772niiiDdd 见图1。确定拒绝域84/33 (x)0.33720.1611-0.42-0.99Fn(x)Dn图10.200084/34 由于 0.17720.886，不落在拒绝域中，因此不拒绝原假设，可以认为样本来自标推

19、正态分布总体。nnD25 适用于F0(x)是连续型分布面数。若F0(x)不是连续分布时， 不具有Kolmogorov定理给出的极限分布，不能用于分布族的检验nnD作判断 柯尔莫哥洛夫检验的效果比较好，灵敏度比较高84/35两个总体分布函数的比较84/36斯米尔诺夫检验斯米尔诺夫检验 柯尔莫哥洛夫检验法是单样本检验。关于两个总体分布函数的比较问题，斯米尔诺夫基于经验分布函数给出了与柯尔莫哥洛夫检验类似的检验统计量。 设两个总体都服从连续分布，其分布函数分别为F(x)和G(x)，且未知。分别独立地从两个总体抽取容量为n1和n2的简单随机样本X1,X2,Xn1和Y1,Y2,., Yn2。检验假设H0

20、：F(x)G(x)， H1：F(x) G(x)84/37 令 Fn1(x) 和 Gn2(x) 分别表示两个总体的经验分布函经验分布函数数。 Fn1(x) 和 Gn2(x) 之间的差异反映了F(x)和G(x)之间的差异，故选取检验统计量为1212,sup |( )( )|n nnnxDFxGx 当H0为真时，F(x)与G(x)是相同的分布函数，Fn1(x)和Gn2(x)彼此应当相当接近。事实上，G1ivenko-Gantelli引理已经证明了下面结论。1212,lim0Pn nnnD(2)84/38因此，对合适的常数k，当 k时，则拒绝H0是合理的1212,12n nn nDnn当n1,n2时，

21、（Smirmov）推出了式(2)的极限分布，即121212,12lim( )n nnnn nPDtF tnn其中F(t)定义为式(1)右端。84/391212,12n nn nPDtnn从Dn极限分布数字表极限分布数字表中查出t1212,12n nn nDnn给定显著性水平，使当观察值 t 时，则拒绝原假设H0。以上检验方法称为斯米尔诺夫斯米尔诺夫两样本检验84/40秩检验 秩检验由F.Wilcoxon，H.B.Mann和 D.R.Whitney提出定义定义1 设设Xl,X2,Xn是来自总体是来自总体X 的简单随机样本，将其的简单随机样本，将其观察值观察值x1,x2,xn按从小至大顺序排列，得

22、按从小至大顺序排列，得 x(1) x(2) . . x(n) 如果如果xkx(j)，则称，则称j为为Xk的的秩秩，记，记Rkj秩 j 表示 Xk 在顺序统计量中的位置。在重复抽样时，Rk是统计量。如果Rk1，则Xk取值最小；如果Rkn，则Xk取值最大。84/41【例例】 从总体X中抽取容量为4的样本X1,X2,X3, X4，其观察值为 x1 = 0.731,x2 = 0.352,x3= 0.912,x4 =-0.175 分析：分析： 按大小递增顺序排列为 x(1)=-0.175, x(2)=0.352, x(3)=0.731, x(4)=0.912则秩Rl3，R22，R34，R4184/42

23、将两个样本混合起来，并将将两个样本混合起来，并将n1+n2个观察值按大个观察值按大小递增顺序排列为小递增顺序排列为 z(1)z(2)z(n1+n2) 设总体设总体X和和Y是连续型随机变量，其分布函数分是连续型随机变量，其分布函数分别为别为F(x)和和G(x)。分别独立地从总体。分别独立地从总体X和和Y中抽取样中抽取样本本X1, X2,Xn1和和Yl,Y2,.,Yn2，其顺序统计量分别为，其顺序统计量分别为 X(1)X(2) X(n1) 和和 Y(1) Y(2) Y(n2)定义定义2 （混合样本的秩）84/43 如果如果 x(k)z(j)，k1,2,n1，称，称 j 为为 x(k) 在混合在混合

24、样本中的秩，记样本中的秩，记 Rk(x)j 类似地，如果类似地，如果 y(r)z(i)，r1,2,n2，称，称 i 为为 y(r) 在混合样本中的秩，记在混合样本中的秩，记 Rr(y)i84/44 原假设和备择假设为H0：F(x)G(x)，H1：F(x) G(x) 讨论：讨论： 如果 Y 随机地大于X，则 Rr(y),r1,2,n2 偏大； 如果F(x)G(x)，则 Rk(x), k1,2,n1 和 Rr(y), r1,2,n2 均匀地排列在一起。秩检验(3)84/45 不失一般，选择 Y 的样本观察值在混合样本中的秩和秩和作为检验统计量检验统计量，记为21( )nrrTR y 统计量T满足

25、n2(1 + n2)/2 T n2(1 + 2n1+n2)/2 用T作为检验统计量的原理原理 因为当H0为真时，两个样本取自同一个分布，Y1, Y2,Yn2的观察值分散地通过n1+n2个观察值的全部排列，而不是集中在偏小值或偏大值的一边。当H0不真时T的值有偏大或偏小的趋势84/46 给定显著性水平，查秩检验分位数秩检验分位数表，表，得到t1、t2，满足P(Tt2) /2， P(Tt1) /2 计算T的观察值，如果 Tt2 或 Tt1 ,则拒绝原假设 可以证明 T 的数学期望和方差分别为 E(T)n1(1+n1+n2)/2 D(T)n1n2(1+n1+n2)/284/47 当n1，n2中较小的

26、一个趋于无穷时，则12min,( )lim( )( )n nTE TPzzD T 其中 221( )2xxzedx令( )( )TE TZD T当原假设为真时，则拒绝域为| Z |z/2 当n1,n2大于7时，应用正态分布进行检验十分精确84/48符号检验 设总体X和Y是连续型随机变量，分布函数分别为F(x)和G(x)，分别独立地从两个总体各抽取容量相等的样本，即n1n2n。检验假设 H0：F(x)G(x)， H1：F(x-a)G(x) 其中：a0 或 a0，备择假设是单边单边的 a0，备择假设是双边双边的(4)84/49令令1,1,2,0,iiiiiXYZinXY因为F(x)和G(x)是连续

27、分布函数，所以 P(X=Y)0而 P(Z1)P(XY)P(XY)p P(Z0)P(XY)lp(5)显然，Z1,Z2,Zn 相当于从贝努利分布 B(1, p) 总体抽取的简单随机样本，其中 p未知84/50式(5)的含意是只考虑样本观察值 X1Y1, X2Y2, XnYn 的符号，不考虑观察值的大小。 当原假设为真时，0111:,:22HpHp12p 式(4)的假设检验问题化为参数统计模型的参数假设检验问题，等价于84/51 选取统计量统计量 Q 表示 XiYi (i1,2,n)非负数非负数的个数1niiQZ1niiQZ服从二项分布 当原假设为真时，检验统计量1,2B n（其中 Zi B(1,

28、p) ）84/52 给定显著性水平，找出c1、c2，满足1211,22nniiiiPZcPZc从二项分布数值表查出临界值c1和c2，得到拒绝域为0,c1或c2,n。 以上检验方法称为。 计算检验统计量Q的观察值，如果该数值落在拒绝域中，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。84/53符号检验几点说明1. 适合于总体服从连续分布的情形2. 两样本符号检验要求从两个总体抽取的样本容量相等如果n1n2，且相差甚少，通过将样本大的丢弃后面几个数据，使样本容量相等3. 其他应用用于两个总体分布位置差异的检验、单样本情形关于中位数的检验84/54符号检验 【例】设有两种不同类型的机器A和B生产同种的螺栓，记录它

29、们连续12天所生产的不合格螺栓数见下表，假设机器每天的生产量相等。试问在显著性水平0.05下，两种机器A，B之间是否有显著差异?天数天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12机器机器A 47 56 54 49 36 48 51 38 61 49 56 52机器机器B 71 63 45 64 50 55 42 46 53 57 75 6084/55解解 原假设和备择假设为 H0：机器之间无显著差异 H1：机器之间有显著差异分析：当原假设为真时，可以认为两个样本来自同一总体。上表中所列的机器生产的不合格品数的差异仅仅是由随机误差引起的上述问题等价于检验假设H0：F(x)G(x)，H

30、1：F(x-a)G(x) (a0)84/56令1,0,iiiiiXYZXY得XiYi的一组观察值为 -24 -7 9 -15 -14 -7 9 -8 8 -8 -19 -8当原假设为真时，检验统计量Q121iiQZ112,2B84/57给定显著性水平0.05，使120.025,0.025P QcP Qc从二项分布表查出临界值c12,c210。拒绝域为0,2或10,12Q的观察值为1213iiqz由于3(2,10)，因此不能拒绝原假设，可以认为两个样本是来自同一总体，即两种机器之间没有显著差异84/58ki 12理论频数理论频数)(实测频数2统计量统计量kiiiinpnpn122)(实质是实质是

31、适合性检验适合性检验是用样本提供的信息去推断总体分布是是用样本提供的信息去推断总体分布是否适合某种已知的规律否适合某种已知的规律适合性检验84/593125.10613399189Av例 按孟德尔遗传学说，将两种豌豆杂交后，可产出数量之比为 9:3:3:1 的 A、B、C、D 四种不同的种子。今在一试验中共收了189粒种子，A、B、C、D各类型的分别为102粒、30粒、42粒和15粒。问在 =0.01下，该结果是否符合孟德尔遗传学说的结果？ 解解 检验假设为检验假设为 H0：A:B:C:D=9:3:3:1（试验结果适合孟德尔学说）（试验结果适合孟德尔学说）实测频数为实测频数为102，30，42

32、和和15。84/603125.106)3125.106102()(24122i理论频数理论频数实测频数0846.38125.11)8125.1115(4375.35)4375.3542(4375.35)4375.3530(222345.11)3() 1(201. 02k) 1(201. 02k由 =0.01得临界值由于于是有84/61列联表的独立性检验（Test of Row and Column Independence）1084/62独立性检验 两个随机变量相互联系的类型 两个随机变量之间产生效应 例如，X为年降雨量，Y 为农作物产量，则X和Y之间存在效应，即X对Y有直接影响 两个随机变量

33、之间不产生效应，只有联系 例如，在同一个家庭里，X为姐姐的身高，Y为弟弟的身高，则X和Y之间不产生效应，只有联系 独立性检验是对两个总体，或两组资料，或同一总体的两种指标（分类、特性、特征）等之间的独立性所进行的检验84/63独立性检验 二维随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布 因为X和Y独立的充要条件是相关系数 0，故检验X和Y独立性的问题等价于检验0 二维随机变量(X,Y)服从任何二维分布 X和Y的独立性检验不能通过检验 0来实现，可用列联表检验法(1) (1) 两个随机变量独立性的度量两个随机变量独立性的度量84/64(X,Y )的联合分布是二维正态分布的联合分布是二维正态分布 设(X

34、,Y)服从二维正态分布N(1,2,12,22,)，检验假设H0：X和Y相互独立等价于检验假设 H0: =0 H1: 0 从二维正态总体抽取简单随机样本(X1,Yl ),(X2, Y2),(Xn,Yn)，用样本相关系数12211()()()()niiinniiiiXX YYrXXYY作为 的点估计量84/65221rtnr当H0为真时，可以证明统计量服从自由度为n2的 t 分布分布 给定显著性水平，使/2(| |(2)P ttn如果 t 的观察值满足 | t |t /2(n2) 时，则拒绝原假设H0。84/66【例】设(X1,Yl ), (X2,Y2 ),(Xn,Yn)是来自近似二维正态分布总体

35、的简单随机样本，其观察数据见下表。试在显著性水平0.01下，检验假设H0: =0, H1: 0X 200 171 121 182 258 351 225 198 250 250 232 258 167 171 304 182 360 326Y 29.9 27.3 25.8 23.4 21.7 20.4 26.7 26.0 25.6 25.2 24.7 24.3 24.1 23.0 22.4 22.1 21.0 19.784/67解 当H0为真时，用检验统计量221rtnr22( 0.609) 1623.07111 ( 0.609)rtnr 根据取样结果计算 t 的观察值，得84/68给定显著性

36、水平0.01，查t分布表，满足 P( | t |t0.005(16) )0.01得临界值 t0.005(16)2.9208则拒绝域为 (-, -2.9208 或 2.9208, +)由于 t -3.071-2.9208，因此拒绝原假设H0，不能认为 X 和 Y 独立。84/69( X,Y )的联合分布是任何二维分布的联合分布是任何二维分布 当(X,Y)不服从二维正态分布时，求样本相关系数r 的分布很难，并且接受 0 的假设也说明不了X和 Y 的独立性。对于这种情形，通常利用，采用 2 检验法 对于二维总体(X,Y)，将X和Y的可能的取值范围分成互不相交的r个组和s个组：A1,A2,Ar 和B1

37、,B2, Bs. 在总体(X, Y)中随机抽取样本(X1, Y1), (X2, Y2), , (Xn, Yn)84/70上表即为rs列联表列联表记Ai与Bj的每一个搭配(Ai, Bj)所包括的样本个数为nij (i=1,2, r; j=1,2,s), nij即为实测频数实测频数且1111,srrsiijjijijjiijnnnnnn将样本的如此分组列入下表 Y X12sni.12rn11n21nr1n12n22nr2n1sn2snrsn1.n2.nr.n.jn.1n.2n.sn84/71检验假设 H0: X 和 Y 独立， H1: H0不真令pij P ( X第i组,Y第j组 )pi. P (

38、 X第i组 )p.j P ( Y第j组 )i = 1,2,rj = 1,2,s且1111111,1rrsssriijjijiijjjipppp(1)(2)1siijjpp1,rjijipp则有84/72 当H0为真时，pijpi.p.j，所以式(1)等价于 H0： pij pi.p.j，i =1,2,r；j=1,2,s H1： pij pi.p.j，至少对一对 (i, j) 的值其中，有r+s个参数 pi.和 p.j 未知。由式(2)可见，有两个线性组合，因此仅有 r+s2 个独立的未知参数 当H0为真时，对检验统计量 稍加推广，得检验的统计量kiiiinpnpn122)(2211 () rs

39、ijijijijnnp pnp p84/73求未知参数的极大似然估计量1111()()ijijrsrsnnijijijijLpp p 当H0为真时，似然函数为说明：样本观测值中，（X=i,Y=j）出现了nij次，因而出现的概率为pijnij由式(2)知11111,1rsrisjijpppp 84/74变换似然函数，并将上式带入，得到11111111lnln 1lnln 1lnrrriiiiisssjjjjjLnpnpnpnp1111111111srjinnrsrsnniijjijijLpppp 84/75似然方程组为1111ln01ln01iirrriiriiijjsssjjsjjjnnnnLpppppnnnnLppppp (i=1,2,r-1)(j=1,2,s-1)令,srrsnnABpp则,jiijnnABpp(i=1,2,r-1；j=1,2,s-1)84/76,jiijnnppAB因而将上式分别对 i 及 j 求和，得111111,rrssiijjiijjpnpnAB(i=1,2,r；j=1,2,s)从而求出 An， Bn84/77于是 pi. 和 p.j 的极大似然估计量极大似然估计量分别为,1,2,iinpirn,1,2,jjnpjsn极大似然估计量代入