空间图形的公理4.

1、4.2空间图形的公理(公理4、定理)问题问题引航引航1.1.公理公理4 4的内容是什么？其实质是什么？的内容是什么？其实质是什么？2.2.定理的内容是什么？有什么作用？定理的内容是什么？有什么作用？3.3.异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是什么？什么？1.1.公理公理4 4(1)(1)内容：平行于内容：平行于_的两条直线平行的两条直线平行. .(2)(2)符号表述：符号表述： _._.a bb c同一条直线同一条直线acac2.2.两条直线的位置关系两条直线的位置关系（2 2）异面直线：特征：）异面直线：特征：_的两条直线，没有公共点的两条直线

2、，没有公共点. .没有公共点没有公共点mnmn在同一平面内有且只有一个在同一平面内有且只有一个mnmn=A=A不共面不共面3.3.定理定理条件：空间中，两个角的两条边分别对应条件：空间中，两个角的两条边分别对应_._.结论：这两个角结论：这两个角_._.平行平行相等或互补相等或互补4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角定义定义前提前提两条异面直线两条异面直线a a，b b作法作法过空间任意一点过空间任意一点P P分别引两条异面直线分别引两条异面直线a a，b b的的平行线平行线l1 1，l2 2结论结论这两条相交直线所成的这两条相交直线所成的_即为异即为异面直线面直线a a，b b所成的角所

3、成的角范围范围记异面直线记异面直线a a与与b b所成的角为所成的角为，则，则_特殊特殊情况情况当当=_=_时，时，a a与与b b互相垂直，记作互相垂直，记作_锐角锐角( (或直角或直角) )0 090909090abab1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)空间中不相交的两条直线是异面直线空间中不相交的两条直线是异面直线.(.() )(2)(2)两条异面直线所成的角一定是锐角两条异面直线所成的角一定是锐角.(.() )(3)(3)若两条相交直线和另外两条直线分别平行，则相交直线所若两条相交直线和另外两条直线分别平行，则相交直线所成的锐角或直

4、角相等成的锐角或直角相等.(.() )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .空间中不相交的两条直线是异面直线或平行空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线直线. .(2)(2)错误错误. .两条异面直线所成的角一定是锐角或直角两条异面直线所成的角一定是锐角或直角. .(3)(3)正确正确. .根据定理可知根据定理可知. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)若若abab，bcbc，则，则a a和和c c的关系为的关系为_._.(2)(2)若若a a，b b，c c是空间三条直线，是空间三

5、条直线，abab，a a与与c c相交，则相交，则b b与与c c的位的位置关系是置关系是_._.(3)(3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条条_._.【解析【解析】(1)(1)若若abab，bcbc，则由公理，则由公理4 4可知可知acac. .答案：答案：acac(2)ab(2)ab，又，又a a与与c c相交，则相交，则b b与与c c的关系可能为相交或异面的关系可能为相交或异面. .答案：答案：相交或异面相交或异面(3)(3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则

6、它与另一条相交或异面条相交或异面. .答案：答案：相交或异面相交或异面【要点探究【要点探究】知识点知识点1 1 公理公理4 4及定理及定理对定理的四点认识对定理的四点认识(1)(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补. .(2)(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等都相反，那么这两个角相等. .(3)(3)定理的逆向说法：定理的逆向说法：“如果空间

7、中的两个角相等或互补，那如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两边分别对应平行么这两个角的两边分别对应平行”，显然是不成立的，这两个，显然是不成立的，这两个角的两边可能平行，相交或异面角的两边可能平行，相交或异面. .(4)(4)此定理一般称为等角定理此定理一般称为等角定理. .【微思考【微思考】(1)(1)定理的作用是什么？定理的作用是什么？提示：提示：此定理的主要作用是说明两个角相等或互补此定理的主要作用是说明两个角相等或互补. .(2)(2)公理公理4 4的实质是什么？的实质是什么？提示：提示：公理公理4 4揭示了空间平行线的传递性揭示了空间平行线的传递性. .【即时练【即时练】若

8、两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形这两个三角形( () )A.A.全等全等B.B.相似相似C.C.仅有一个角相等仅有一个角相等D.D.全等或相似全等或相似【解析【解析】选选D.D.由定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，由定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选所以选D.D.知识点知识点2 2 异面直线的定义及所成的角异面直线的定义及所成的角1.1.对异面直线所成角的两点说明对异面直线所成角的两点说明(1)(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定两条异面直线所成的角，是借用平面几何中

9、的角的概念定义的，是研究空间两条直线位置关系的基础义的，是研究空间两条直线位置关系的基础. .(2)(2)定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，性，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角它们所成的锐角( (或直角或直角) )都是相等的，而与所取点的位置无关都是相等的，而与所取点的位置无关. . 2.2.求两异面直线所成的角需注意的问题求两异面直线所成的角需注意的问题(1)a(1)a与与b b所成角的大小与点所成角的大小与点P P无关，为了简便，点无关，为

10、了简便，点P P常取在两条常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线异面直线中的一条上，例如，取在直线b b上，然后过点上，然后过点P P作直线作直线aaaa，aa与与b b所成的角即为异面直线所成的角即为异面直线a a与与b b所成的角所成的角. .特别地，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直线可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直线的线段的端点或中点的线段的端点或中点. .(2)(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建实现了空间

11、问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建立了联系，促进了知识的渗透立了联系，促进了知识的渗透. .(3)(3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. .【知识拓展【知识拓展】对异面直线的三点说明对异面直线的三点说明(1)(1)若直线若直线a a，b b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过其同时经过a a，b b两条直线两条直线. .(2)(2)异面直线和平行直线都没有公共点；区别是平行直线可以异面直线和平行直线都没有公共点；区别是平行直线可以确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平

12、面内确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平面内. .(3)(3)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线异面直线. .如图，虽然有如图，虽然有a a ，b b ，即，即a a，b b分别在两个分别在两个不同的平面内，但是由于不同的平面内，但是由于abab=O=O，所以，所以a a与与b b不是异面直线不是异面直线. .(4)(4)异面直线的画法异面直线的画法一个平面衬托画法一个平面衬托画法( (如图如图1)1)图图1 1两个平面衬托画法两个平面衬托画法( (如图如图2)2)图图2 2【微思考【微思考】求两条异面直线所成角的关

13、键是什么？求两条异面直线所成角的关键是什么？提示：提示：求两条异面直线所成角的关键是找到两异面直线所成的求两条异面直线所成角的关键是找到两异面直线所成的角角. .【即时练【即时练】1.(20141.(2014杭州高二检测杭州高二检测) )如图的正方体如图的正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，异面中，异面直线直线AAAA1 1与与BCBC所成的角是所成的角是( () )A.30A.30 B.45 B.45 C.60C.60 D.90D.902.2.正方体正方体ABCDABCDABCDABCD中，中，E E，F F分别为平面分别为平面ABCDABCD与与

14、AADDAADD的中心，则的中心，则EFEF与与CDCD所成角的度数是所成角的度数是_._.【解析【解析】1.1.选选D.D.由于由于ADBCADBC，所以，所以AAAA1 1与与ADAD所成的角即为异面所成的角即为异面直线直线AAAA1 1与与BCBC所成的角，由于所成的角，由于AAAA1 1与与ADAD所成的角为所成的角为9090，故异面，故异面直线直线AAAA1 1与与BCBC所成的角为所成的角为9090. .2.2.连接连接BDBD，则则E E为为BDBD的中点，连接的中点，连接ABAB，则则EFABEFAB，又，又CDABCDAB，所以所以BABBAB为异面直线为异面直线EFEF与与

15、CDCD所成的角，所成的角，BAB=45BAB=45. .答案：答案：4545【题型示范【题型示范】类型一类型一 公理公理4 4的应用的应用【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014佛山高二检测佛山高二检测) )如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD相等，顺次连接各边中点相等，顺次连接各边中点E E，F F，G G，H H，则四边形，则四边形EFGHEFGH一定是一定是( () )A.A.矩形矩形 B.B.正方形正方形C.C.菱形菱形 D.D.空间四边形空间四边形(2)(2)如图，如图，E E，F F分别是长方体分别是长方体ABCDABCD

16、-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱AAAA1 1，C C1 1C C的中点，的中点，求证：四边形求证：四边形B B1 1EDFEDF是平行四边形是平行四边形. .【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中中E E，F F，G G，H H为中点，其作用是什么？为中点，其作用是什么？对角线对角线ACAC，BDBD相等的作用是什么？相等的作用是什么？2.2.题题(2)(2)中四边形中四边形B B1 1EDFEDF的四个顶点有何特点，怎样说明的四个顶点有何特点，怎样说明B B1 1EDFEDF为为平行四边形？平行四边形？【探究提示【探究提示】1.1.利用利用E E，F F

17、，G G，H H分别为各边的中点，可得该四分别为各边的中点，可得该四边形为平行四边形，结合边形为平行四边形，结合ACAC，BDBD相等可进一步判断相等可进一步判断EFGHEFGH的形状的形状. .2.2.四个顶点中有两个为长方体的顶点，有两个为棱的中点，可四个顶点中有两个为长方体的顶点，有两个为棱的中点，可借助中点作一辅助线，说明一组对边平行且相等借助中点作一辅助线，说明一组对边平行且相等. .【自主解答【自主解答】(1)(1)选选C.C.由由E E，F F，G G，H H分别为各边的中点得分别为各边的中点得EFACEFAC，GHACGHAC，EHBDEHBD，FGBD.FGBD.EF=GH=

18、 ACEF=GH= AC，EH=FG= BD.EH=FG= BD.所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .因为因为AC=BDAC=BD，所以，所以EF=EH.EF=EH.所以四边形所以四边形EFGHEFGH是菱形是菱形. .1212(2)(2)取取DDDD1 1的中点的中点Q Q，连接，连接EQEQ，QCQC1 1. .因为因为E E是是AAAA1 1的中点，所以的中点，所以EQ AEQ A1 1D D1 1. .又在矩形又在矩形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1D D1 1 B B1 1C C1 1，所以所以EQ BEQ B1 1C

19、 C1 1，所以四边形所以四边形EQCEQC1 1B B1 1为平行四边形，为平行四边形，所以所以B B1 1E CE C1 1Q.Q.又因为又因为Q Q，F F是矩形是矩形DDDD1 1C C1 1C C的两边中点，的两边中点，所以所以QD CQD C1 1F F，所以四边形所以四边形DQCDQC1 1F F为平行四边形，为平行四边形，所以所以C C1 1Q Q DFDF，又因为，又因为B B1 1E CE C1 1Q Q，所以，所以B B1 1E E DFDF，所以四边形所以四边形B B1 1EDFEDF是平行四边形是平行四边形. .【延伸探究【延伸探究】将本例将本例(1)(1)中中“AC

20、AC与与BDBD相等相等”改为改为ACAC与与BDBD垂直，垂直，则则EFGHEFGH的形状为的形状为_._.【解析【解析】由由E E，F F，G G，H H分别为各边的中点，分别为各边的中点，得得EF EF ACAC，GH GH ACAC，所以所以EF EF GHGH，即四边形，即四边形EFGHEFGH是平行四边形，是平行四边形，又又ACBDACBD，所以，所以FGHGFGHG，即，即EFGHEFGH为矩形为矩形. .答案：答案：矩形矩形1212【方法技巧【方法技巧】公理公理4 4的作用及应用的关键的作用及应用的关键(1)(1)作用：公理作用：公理4 4给出了空间两条直线平行的一种证明方法，

21、它给出了空间两条直线平行的一种证明方法，它是论证平行问题的主要依据，也是研究空间两直线的位置关系、是论证平行问题的主要依据，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础直线与平面位置关系的基础. .(2)(2)应用的关键：寻找与所证直线平行的应用的关键：寻找与所证直线平行的“中间直线中间直线”，利用，利用平行的传递性即可证得平行的传递性即可证得. .【变式训练【变式训练】如图所示，在空间四边形如图所示，在空间四边形ABCDABCD中，中，M M，N N，P P，Q Q分分别是四边形边上的点，且满足别是四边形边上的点，且满足求证：求证：M M，N N，P P，Q Q四点共面且四点共面且

22、MNPQMNPQ为平行四边形为平行四边形. .AMCNAQCPk.MBNBQDPD【解题指南【解题指南】应用公理应用公理4 4证明证明. .【证明【证明】因为因为所以所以MQBDMQBD且且所以所以即即又又所以所以PNBDPNBD且且AMAQkMBQD ，AMk.AMMBk1MQAMkBDABk1，kMQBD.k1CNCPkNBPD ，CNk.CNNBk1所以所以即即所以所以MQNPMQNP且且MQ=NP.MQ=NP.所以所以M M，N N，P P，Q Q四点共面且四点共面且MNPQMNPQ为平行四边形为平行四边形. .NPCNkBDCBk1，kNPBD.k1【补偿训练【补偿训练】已知棱长为已

23、知棱长为a a的正方体的正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分分别是棱别是棱CDCD，ADAD的中点的中点. .求证：四边形求证：四边形MNAMNA1 1C C1 1是梯形是梯形. .【证明【证明】连接连接ACAC，在，在ACDACD中，中，因为因为M M，N N分别是分别是CDCD，ADAD的中点，的中点，所以所以MNMN是三角形的中位线，所以是三角形的中位线，所以MNACMNAC，MN= AC.MN= AC.由正方体的性质得：由正方体的性质得：ACAACA1 1C C1 1，AC=AAC=A1 1C C1 1. .所以所以MNA

24、MNA1 1C C1 1，且，且MN= AMN= A1 1C C1 1，即即MNAMNA1 1C C1 1，所以四边形，所以四边形MNAMNA1 1C C1 1是梯形是梯形. .1212类型二类型二 等角定理的应用等角定理的应用【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014南通高二检测南通高二检测) )已知已知ABPQABPQ，BCQRBCQR，ABC=ABC=3030，则，则PQRPQR等于等于_._.(2)(2)如图在正方体如图在正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F，E E1 1，F F1 1分别为棱分别为棱ADAD，AB

25、AB，B B1 1C C1 1，C C1 1D D1 1的中点的中点. .求证：求证：EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1. .【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的两组平行关系的实质是什么？中的两组平行关系的实质是什么？ABC=30ABC=30的作用是什么？的作用是什么？2.2.题题(2)(2)中中A A1 1F F与与F F1 1C C及及EFEF与与E E1 1F F1 1有何关系，证明有何关系，证明EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1的方法是什么？的方法是什么？【探究提示【探究提示】1.1.两组平行关系的实质是两个角的两边分别平行，两组平行关系的实质是两

26、个角的两边分别平行，由由ABC=30ABC=30结合等角定理可求结合等角定理可求PQR.PQR.2.A2.A1 1F F与与F F1 1C C及及EFEF与与E E1 1F F1 1分别平行分别平行. .证明证明EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1可考虑利可考虑利用等角定理证明用等角定理证明. .【自主解答【自主解答】(1)(1)由题意知由题意知ABPQABPQ，BCQRBCQR，ABC=30ABC=30. .根据根据定理知，如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或定理知，如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补，所以互补，所以PQR=30PQR=30或或150150

27、. .答案：答案：3030或或150150(2)(2)如图所示，在正方体如图所示，在正方体ACAC1 1中，中，取取A A1 1B B1 1的中点的中点M M，连接，连接BMBM，MFMF1 1，则则BF=ABF=A1 1M= AB.M= AB.又又BFABFA1 1M M，所以四边形所以四边形A A1 1FBMFBM为平行四边形为平行四边形. .所以所以A A1 1FBM.FBM.12而而F F1 1，M M分别为分别为C C1 1D D1 1，A A1 1B B1 1的中点，的中点，则则F F1 1M CM C1 1B B1 1，而而C C1 1B B1 1 BCBC，所以，所以F F1

28、1MBCMBC，且，且F F1 1M=BC.M=BC.所以四边形所以四边形F F1 1MBCMBC为平行四边形，为平行四边形，所以所以BMFBMF1 1C.C.又又BMABMA1 1F F，所以所以A A1 1FCFFCF1 1. .同理取同理取A A1 1D D1 1的中点的中点N N，连接连接DNDN，E E1 1N N，则，则A A1 1N N DEDE，所以四边形所以四边形A A1 1NDENDE为平行四边形，为平行四边形，所以所以A A1 1EDN.EDN.又又E E1 1NCDNCD，且，且E E1 1N=CDN=CD，所以四边形所以四边形E E1 1NDCNDC为平行四边形，为平

29、行四边形，所以所以DNCEDNCE1 1，所以所以A A1 1ECEECE1 1. .所以所以EAEA1 1F F与与E E1 1CFCF1 1的两边分别对应平行的两边分别对应平行. .即即A A1 1ECEECE1 1，A A1 1FCFFCF1 1，又又EAEA1 1F F与与E E1 1CFCF1 1对应边方向相同，对应边方向相同，所以所以EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1. .【方法技巧【方法技巧】证明角相等的技巧证明角相等的技巧(1)(1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明

30、两个角相等利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等. .(2)(2)在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且角的方向相同或相反，从而达到目的角的两边分别对应平行且角的方向相同或相反，从而达到目的. .【变式训练【变式训练】如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，M M，N N分别分别为为ABAB，ADAD，BCBC，ACAC，BDBD的中点的中点. .求证：求证：(1

31、)EFM=BDC.(1)EFM=BDC.(2)EFM+DNG=180(2)EFM+DNG=180. .【证明【证明】(1)(1)因为因为E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点的中点. .所以所以EFBDEFBD，同理，同理FMCD.FMCD.因为因为EFMEFM和和BDCBDC的两边分别平行且方向相同，的两边分别平行且方向相同，所以所以EFM=BDC.EFM=BDC.(2)(2)因为因为NGCDNGCD，FMCD.FMCD.所以所以NGFM.NGFM.所以所以EFMEFM和和DNGDNG的两边分别平行，其中的两边分别平行，其中NGNG，FMFM方向相同，而方向相同，而FEFE与与N

32、DND方向相反方向相反. .所以所以EFM+DNG=180EFM+DNG=180. .【补偿训练【补偿训练】已知已知E E，E E1 1分别是正方体分别是正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ADAD，A A1 1D D1 1的中点的中点. .求证：求证：BEC=BBEC=B1 1E E1 1C C1 1. .【证明【证明】如图所示，连接如图所示，连接EEEE1 1，因为因为E E1 1，E E分别为分别为A A1 1D D1 1，ADAD的中点，的中点，所以所以A A1 1E E1 1 AE. AE.所以四边形所以四边形A A1 1E E1 1EAE

33、A为平行四边形，为平行四边形，所以所以A A1 1A EA E1 1E.E.又因为又因为A A1 1A BA B1 1B B，所以所以E E1 1E BE B1 1B B，所以四边形所以四边形E E1 1EBBEBB1 1是平行四边形，是平行四边形，所以所以E E1 1B B1 1EB.EB.同理同理E E1 1C C1 1ECEC，又又BECBEC与与B B1 1E E1 1C C1 1对应边方向相同，对应边方向相同，所以所以BEC=BBEC=B1 1E E1 1C C1 1. .【规范解答【规范解答】求异面直线所成的角求异面直线所成的角【典例【典例】(12(12分分)(2014)(2014

34、亳州高一检测亳州高一检测) )已知三棱锥已知三棱锥A A-BCDBCD中，中，AB=CDAB=CD，且直线，且直线ABAB与与CDCD成成6060角，点角，点M M，N N分别是分别是BCBC，ADAD的中点，的中点，求直线求直线ABAB与与MNMN所成的角所成的角. .【审题【审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题【解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题【点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时未正确利用条件，即忽视：解题时未正确利用条件，即忽视处的线段之间的处的线段之间的长度关系和位置关系，而导致无法找到长度关系和位置关系，而导致无法找到ABAB与与MNMN所成的角，考试所成的角，考试时最多得时最多得2 2分分. .失分点失分点2 2：解题时若漏掉：解题时若漏掉处的