双曲线简几何性质

1、双曲线的标准方程双曲线的标准方程0 0) )b b0 0( (a a1 1b by ya ax x2 22 22 22 2,F F1 1F F2 20 xya ax x 1.范围范围：2.对称性对称性：关于关于x轴、轴、 对称对称;y轴、轴、 原点原点双曲线的对称中心叫双曲线的对称中心叫做双曲线的做双曲线的中心中心.A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba aa,0)、a,0)、( (A A1 1(a,0)、(a,0)、A A2 2(0,-b)、(0,-b)、B B1 1b)b)(0,(0,B B2 23.顶点顶点叫做双曲线的叫做双曲线的顶点顶点.它的长为_.它的长为_.叫做双

2、曲线的虚轴,叫做双曲线的虚轴,B BB B它的长为_;它的长为_;叫做双曲线的实轴,叫做双曲线的实轴,A A线段A线段A2 21 12 21 1a a, ,b b分别叫做双曲线的分别叫做双曲线的实半轴长实半轴长和和虚半轴长虚半轴长.2a2a2b2b焦点在焦点在x轴上的双曲线的几何性质轴上的双曲线的几何性质F F1 1F F2 20 xyA A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba aN(x,Y)N(x,Y)M(x,y)M(x,y)Q Qa)a)(x(xa ax xa ab by y2 22 2x xa ab bY Y x xa ab by y 2 22 2a ax xa ab by

3、 y2 2x xa a1 1x xa ab bx xa ab bY Y4.渐近线渐近线:y yY YMNMNF F1 1F F2 20 xyA A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba aN(x,Y)N(x,Y)M(x,y)M(x,y)Q Qx xa ab by y ) )a ax x(x(xa ab b2 22 2) )a ax x(x(x) )a ax x)(x)(xa ax x(x(xa ab b2 22 22 22 22 22 2) )a ax x(x(xabab2 22 2MNMNMQMQ . .x x叫叫做做双双曲曲线线的的渐渐近近线线a ab b两两条条直直线线y y

4、YXF1F2A1A2B1B212222byax焦点在焦点在x轴上的双曲线草图画法轴上的双曲线草图画法5.离心率离心率:叫做双曲线的离心率.叫做双曲线的离心率., ,a ac c的比e的比e双曲线的焦距与实轴长双曲线的焦距与实轴长_._.e e) )(1,(1,F F1 1F F2 20 xyb ba ax xa ab by y a ab b它的开口就越大.它的开口就越大.双曲线的离心率越大,双曲线的离心率越大,. . 1 1e e2 2a aa ac c2 22 21 1a ac c2 22 24.4.y y(2)x(2)x1; 1;9 9y y4 4x x(1)(1): :的草图的草图例1.

5、作出下列双曲线例1.作出下列双曲线2 22 22 22 2注注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.0)0)b b0,0,1(a1(ab bx xa ay y标准方程为标准方程为2 22 22 22 2实轴为实轴为虚轴为虚轴为实轴长实轴长虚轴长虚轴长焦点坐标焦点坐标顶点坐标顶点坐标范围范围对称性对称性渐近线渐近线2 21 1A AA A2 21 1B BB B2a2a2b2bc) c)(0,(0,(0,-c),(0,-c),a)a)(0,(0,(0,-a),(0,-a),a ay y 称称关于x、y轴、原点对关于x、y轴、原点对0 xyy ya ab bx

6、 xF F1 1F F2 2A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba a把方程化为标准方程得把方程化为标准方程得,1342222xy可得可得:实半轴长实半轴长:53422c虚半轴长虚半轴长:半焦距半焦距:焦点坐标是焦点坐标是: (0,-5),(0,5)离心率离心率:45ace渐近线方程渐近线方程:xy34解解:a=4b=3例题例题2:2:求双曲线求双曲线14416922xy的实半轴长的实半轴长, ,虚半轴长虚半轴长, ,焦点坐标焦点坐标, ,离心率离心率, ,渐近线方程。渐近线方程。例题例题2:2:求双曲线求双曲线14416922xy的实半轴长的实半轴长, ,虚半轴长虚半轴长,

7、 ,焦点坐标焦点坐标, ,离心率离心率, ,渐近线方程。渐近线方程。渐近线方程有两种形式渐近线方程有两种形式, ,xy34:故所求渐近线方程为说明说明: :;,) 1 (xabyx轴上时当焦点在.,)2(xbayy轴上时当焦点在求渐近线方程最简捷的办法求渐近线方程最简捷的办法是令常数项为零再分解因式是令常数项为零再分解因式解解:0)43)(43(016922xyxyyx得令练习练习1：双曲线：双曲线116222byx的实轴的一个端点的实轴的一个端点A1，虚轴的一个，虚轴的一个端点为端点为B1，且，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。练习练习2：求以椭圆：求以椭圆 的焦

8、点为顶点、顶点为焦点的的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程双曲线方程.15822yx标准方程标准方程 2a2b范围范围顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线32822 yx81922yx-422yx1254922yx284| 4 2x 0 , 240 ,6423exy42618|x|3(3,0)0 ,10310ey=3x44|y|2(0,2)22, 02exy1014|y|5(0,5)74, 0 574exy75思考题思考题:以已知双曲线的虚轴为实轴以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线双曲线的共轭双曲线,求证求证: (1)(1)双曲线和它的

9、共轭双曲线有共同的渐近线双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; ; (2) (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. .YXA1A2B1B2F1F2oF2F1证明:(1)设已知双曲线的方程是:12222byax则它的共轭双曲线方程是:12222axby渐近线为：0byax渐近线为:0axby可化为：0byax故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),22bac22bacc=c所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆.222

10、2上bayx问问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？ 双曲线型自然通风塔的外形双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为它的最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径为下口半径为25m,高高55m,选择适当选择适当的坐标系的坐标系,求出双曲线方程求出双曲线方程.C/B/A/OABCyx131225解解: 建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系,使小圆直径使小圆直径AA在在x 轴上轴上,圆心与原点重合圆心与原点重合,这时上、下这时上、下口的直径口的直径CC，

11、BB平行于平行于x轴。轴。).(225| |),(213| |mBBmCC且).,13(), 0( 1122222yCbbyx点设双曲线方程为),55,25(yB则点. 1)55(12251121322222222byby或)(125,负值舍去联立方程组解得by 0181502751911222222bbbyx得代入双曲线方程为12512),(252222yxmb双曲线方程为用计算器得例例3方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率12222byax12222bxayaaxx,关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称) 1( eace) 1( eaceoYXA1A2B1

12、B2F2F2YXA1A2B1B2F2F1oaayy,)0 ,(),0 ,(21aAaA 12(0,),(0, )Ba Baxaby:渐近线方程xbay例例5 点点M（x,y）与定点）与定点F（5,0）的距离）的距离和它到定直线：和它到定直线： 的距离的比是常的距离的比是常数数 , 求点求点M的轨迹的轨迹.l165x 54y0d,45516:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.45516)5(2xyx由此得,14416922yx 简，得将上式两边平方，并化191622yx即所以，点所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。的

13、双曲线。MxyOHFd例5点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线的距离的比是常数,求点M的轨迹.16:5l x 54 22222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab 共渐近线的双曲线系：渐近线方程为：即的双曲线方程可设为：时表示焦点在 轴上的双曲线；时表示焦点在 轴上的双曲线；与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为：3 “共焦点共焦点”的双曲线的双曲线（1）与椭圆）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表有共同焦点的双曲线方程表 示为示为22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）与双曲线）与双曲线 有共同焦点的双曲线方有共同焦点

14、的双曲线方程表示为程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaab 222213 2 391629213213 2 2164xyyxxy 求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；渐近线方程为：且过点，（3）与双曲线有相同焦点，且过典点例题，型； 2210916xy 解： 设所求双曲线方程为912916则，2219164xy故所求双曲线方程为 220332xyyx 渐近线方程可化为22094xy 设所求双曲线方程为8114294则，解得22222194188xyxy故所求双曲线方程为即22191644xy即14解得 222213 2 391629213

15、213 2 2164xyyxxy 求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；渐近线方典程为：且过点，（3）与双曲线有相同焦点，且过点例题，型； 32 5 0解： 焦点为， ，221 02020 xymmm设所求双曲线方程为184120mm则810m 解得或（舍）221128xy故所求双曲线方程为221492454xye例 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。. 191622yx可得, 91625, 42ba求得455a由05），焦点为（5c得2524492c解：由. 1916, 91625, 4455, 1505. 5,252449222222222yxbaaayax

16、cc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），焦点为（得解：由另解另解22185xy例例: :求求以以椭椭圆圆的的焦焦点点为为顶顶点点，而而以以椭椭圆圆的的顶顶点点为为焦焦点点的的双双曲曲线线的的方方程程。2222222222213 08522 00510,022 3,242.3,22,835135xyxxyabaabcacbcaxy解解：依依据据题题意意有有的的焦焦点点为为， 。椭椭圆圆的的顶顶点点为为， 和和，由由题题意意可可知知该该双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上，所所以以设设双双曲曲线线的的方方程程为为则则所所以以所所以以所所求求双双曲曲线线方方程程为为例例 ：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一法一: :设直线设直线ABAB的方程为的方程为3(3)3yx 与双曲线方程联立得与双曲线方程联立得A、B的坐标为的坐标为92 3( 3, 2 3),( ,)55 由两点间的距离公式得|AB|=1635例例 ：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线