微机原理与接口分析 第2章

1、2. 1 数和数制数和数制2.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题有符号二进制数的表示方法及溢出问题2.3 定点数和浮点数定点数和浮点数2.4 二进制编码的十进制数二进制编码的十进制数(BCD编码编码)2.5 ASCII字符代码字符代码第第 2 章章 计算机中的数制和码制计算机中的数制和码制返回主目录第第 2 章计算机中的数制和码制章计算机中的数制和码制 在计算机中采用了二进制数字系统，即计算机中要处理的所有数据，都要用二进制数字系统来表示，所有的字母、符号也都要用二进制编码来表示。 介绍计算机中数制和码制的有关预备知识，它是学习微型计算机原理必不可少的基础知识。2.1 数和数制数和数制 2

2、.1.1各种数制及其多项式表示法各种数制及其多项式表示法 数制是以表示数值所用的数字符号的个数来命名的，如十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。 各种数制中数字符号的个数称为该数制的基数。最常用的是十进制。 1. 十进制数十进制数 十进制采用 09 十个数字和一个小数点符号来表示任意十进制数。 任意十进制数可按权展开为 10 的幂多项式。例如，374.53 的多项式表示形式为： 3102+7101+4100+510-1+310-2 对于n位整数m位小数的任意十进制数N， 可用多项式表示如下： N10=Kn-110n-1+Kn-210n-2+K1101+K0100+K-110-1+K-210-

3、2+K-(m-1)10-(m-1)+K-m10inmiik 101 其中i表示数的第一位； Ki表示第i位的数字，它可以为 09 中的任一数字；m和n为正整数。式中 10 为十进制的基数。 2. 二进制数二进制数 计算机中采用二进制数。 在二进制中，只有 0 和 1 两个数字。二进制数同样采用位置记数法， 它的基数为 2，每个数位上的权是 2 的某次幂。 对于n位整数m位小数的任意二进制数N2， 可以用多项式表示如下：）或10(212iinmiikkN 例如(1101.011)2=123+122+021+120+02-1+12-2+12-3 3. 十六进制数十六进制数 在十六进制中， 有 0，

4、1，,9,A,B,C,D,E,F等十六个数字符号， 其中A、B、C、D、E、F分别与十进制中的 10、11、12、13、14、15 这 6 个数相对应。 十六进制数同样采用位置记数法，其基数 16， 每一数位上的权是 16 的某次幂。 对于n位整数m位小数的任意十六进制数N16，可以用多项式表示如下：inmiikN16.116(Ki=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) 例如(10AF.12)16=1163+0162+10161+15160+116-1+216-2 实际表示时，一个十六进制数如果最高位数字为字母(A-F)， 则字母前面必须加一个 0，以便与变量名等相

5、区别。 表 2.1 给出了以上三种数制的对应关系。 不同数制的区分符： 数字角注， 例如 53710或 537(十进制)，11012(二进制)，0EA216(十六进制)； 字母标注： 字母B(Binary)：表示为二进制数； 字母D(Decimal)或不加字母：表示为十进制数； 字母H(Hcxadccimal)：表示为十六进制数。 一般来说， 对于基数为X的任一数可以用多项式表示为inmiiXXKN.1 Ki第i位的系数，可以为 0，1，,(X-1)共X个数字符号中任一数字符号； m，n幂指数，均为正整数； Xi第i位的权。 2.1.2各种数制的相互转换各种数制的相互转换 1. 非十进制数转换

6、成十进制数非十进制数转换成十进制数转换方法：转换方法：先将其按定义展开为多项式，再将系数及权均用十进制表示按十进制进行乘法与加法运算，所得结果即为该数对应的十进制数。 例 2.1.1 将二进制数 1101.101 转换为十进制数。 转换过程如下： 1101.101B =123+122+021+120+12-1+02-2+12-3 =8+4+1+0.5+0.125 =13.625 1101.101B=13.625 例 2.1.2 将十六进制数2AE.4转换为十进制数。 2AE.4H =2162+10161+14160+416-1 =512+160+14+0.25 =686.25 2AE.4H=6

7、86.25 2. 十进制数转换成非十进制整数十进制数转换成非十进制整数 (1) 十进制整数转换成非十进制整数 设N为任一十进制整数， 若要把它转换成n位X进制整数， 则 N = (2 - 5)011221110KXkXkXkXknnnninii 显然, 等式右边，除了最后一项K0以外，其余各项都包含基数X的因子，都能被X除尽。 所以等式两边同除以基数X， 余数正是要求的X进制数的最低位K0。商为 K n-1 X n-2 + K n-2 X n-3 +K 2 X 1+K1 同理，上式中各项除K1外，其余各项都包含基数X的因子，都能被X除尽。所以再将商除以X，余数正是要求的X进制数的次低位K1,

8、商为 K n-1X n-3+Kn-2Xn-4+K3X1+K2 如此一直进行下去， 直到商等于 0 为止，就得到一系列余数，它们正是要求的X进制数的各位。十进制整数转换为十进制整数转换为X进制整数方法：进制整数方法：用该数或商“除以基数取余数，先为低位后为高位”。 例 2.1.3 将十进制数 301 转换为二进制数。 转换过程如下： (2) 十进制小数转换成非十进制小数 设N为任一十进制小数， 若要把它转换为m位X进制小数，则N= =K-1X-1+K-2X-2+K-mX-m (2 - 6)等式两边同乘以基数X， 得到 K-1+K -2 X-1+K-3 X-2+K-mX-m+1 其中K-1为整数部

9、分，它正好是所要求的X进制小数的最高位；而新的小数部分为 K-2X-1+K-3X-2+K-mX-m+1若再将上式乘以X便得到 K-2+K-3X-1+K-mX-m+2imiiXk1 K-2为整数部分，它正好是所要求的X进制小数的次高位。 如此继续进行下去，直到小数部分为零时止或 乘到能满足计算机精度要求为止。 十进制小数转换为相应十进制小数转换为相应X进制小数方法：进制小数方法：对该小数或乘以X后新的小数部分“乘以基数取整数，先为高位后为低位”。 例 2.1.5将 0.6875 分别转换为二进制及十六进制小数。 转换为二进制的过程如下： 0.68752=1.375K-1=1 0.3752=0.7

10、5K-2=0 0.752=1.5 K-3=1 0.52=1.0 K-4=1 0.6875=0.1011B 转换为十六进制的过程如下： 0.687516=11.0 K-1=B 0.6875=0.BH 例 2.1.6将 0.734 转换为二进制小数。 转换过程如下： 0.7342=1.468 K-1=1 0.4682=0.936 K-2=0 0.9362=1.872 K-3=1 0.8722=1.744 K-4=1 0.7442=1.488 K-5=1 0.4882=0.976 K-6=0 0.734=0.10110B 对一个任意十进制数要转换为非十进制数， 可以把整数部分和小数部分分别加以转换，

11、然后把转换后的整数部分和小数部分相加。 例 2.1.7将十进制数 301.6875 分别转换为二进制和十六进制数。 利用例 2.1.3、 例 2.1.4 和例 2.1.5 的结果， 得到： 301=100101101B,0.6875=0.1011B 301=12DH,0.6875=0.BH 301.6875=100101101.1011B 301.6875=12D.BH 3. 十六进制数与二进制数之间的转换十六进制数与二进制数之间的转换转换原理：转换原理：16=24, 1 位十六进制数相当于 4 位二进制数。二进制数转换为十六进制数方法：二进制数转换为十六进制数方法： 用与每组二进制数所对应的

12、十六进制数取代每组的 4 位二进制数，即得到对应的十六进制数。 例 2.1.8二进制数 1011101001.110101 转换为十六进制数的方法是： 二进制数 0010 1110 1001. 1101 0100十六进制数 2 E 9 . D 4 十六进制数转换为二进制数的方法：十六进制数转换为二进制数的方法： 用相应的 4 位二进制数取代每 1 位十六进制数。 例 2.1.9十六进制数 5C7A.3B 转换为二进制的方法是： 十六进制数 5 C 7 A . 3 B二进制数 0101 1100 0111 1010 . 0011 1011 5C7A.3BH=101110001111010.001

13、11011B 2.1.3二进制数的算术运算二进制数的算术运算 二进制数加法：二进制数加法：“逢二进一” 减法：减法：“借一作二”例 2.1.1010110101B+1111B。加法过程如下： 被加数 10110101 加数 00001111 进位 + 111111 和 11000100 10110101B+111B=11000100B 例 2.1.1111000100B-100101B。 减法过程如下： 被减数 11000100 减数 00100101 借位 - 111111 差 1001111 11000100B-100101B=1001111B例 2.1.121101B1011B。 乘法过

14、程如下： 被乘数 1101 乘数 1011 1101 1101 0000+ 1101积 100011111101B1011B=10001111B 微型计算机有专门的乘法指令来完成乘法运算。对于没有乘法指令的微型计算机，乘法是采用部分积右移的办法编制乘法运算程序来实现的。例 2.1.13100110B110B。除法过程如下： 0 0 0 1 1 0110100110 1 0 01 0 100110B110B=110B余10B 微型计算机有专门的除法指令来完成除法运算。 对于没有除法指令的微型计算机，常用“相减-左移”法编制除法运算程序实现除法。 2.1.4二进制数的逻辑运算二进制数的逻辑运算 二

15、进制数常用逻辑运算：“与”、 “或”、 “异或”及“非”运算等四种。 运算符号：“AND”、 “OR”、 “XOR”及“NOT” ，或 “”、 “”、 “”及“-” 特点：二进制数的逻辑运算只按位进行运算。 1 位二进制数运算规则如下：位二进制数运算规则如下： “与”运算规则：1 AND 0=00 AND 1=00 AND 0=01 AND 1=1“或”运算规则：0 OR 0=00 OR 0=10 OR 1=11 OR 1=1“异或”运算规则：0 XOR 0=01 XOR 0=10 XOR 1=11 XOR 1=0“非”运算规则：NOT 0=1NOT 1=0 例 2.1.14二进制数 1001

16、0111 和 00111000 的“与”、 “或”及“异或”。 运算结果分别为： 10010111 与)001110000001000010010111或)001110001011111110010111异或)00111000 10101111 例 2.1.15二进制数 10010111 的“非”。 运算结果为： 011010002.2 有符号二进制数的表示方法及溢出有符号二进制数的表示方法及溢出问题问题 2.2.1有符号二进制数的表示方法有符号二进制数的表示方法 1. 数的符号表示方法数的符号表示方法 表示一个有符号数，通常以这个数的最高位为符号位。我们假设讨论的数为整数。 对 8 位有符号

17、二进制整数，D7 为符号位，规定D7 为 0 表示正数的符号“+”； 为 1 表示负数的符号“-”。8位有符号数的编码格式为：D7D6D5D4D3D2D1D0符号位 数值位 2. 原码表示法原码表示法 正数的符号位用 0 表示，负数的符号位用 1 表示。 这种表示方法称为原码表示法。 一个数X的原码记作X原。 设X=Xn-2 X n-3X0(即n-1 位二进制数)，其中Xi为 1 位二进制数，i=0,1,(n-2)。 则X原=0 X n-2Xn-3X1X0 当X01 Xn-2Xn-3X1X0 当X0 例 2.2.1 X1=+1010101则X1原=01010101 X2=-1011101则 X

18、2原=11011101 原码表示数 0 有两种表示形式： +0原=00000000或-0原=10000000 8 位二进制原码的数值范围为-127+127。 原码表示法优点：简单且易于理解，与真值转换也方便； 缺点：进行加减运算时麻烦。 补码特点：补码特点：它使正、负数的加法和减法运算简化为单一相加运算。 3. 补码表示法补码表示法 (1) 补码的概念 根据同余的概念 a+NK=a(mod K) (2 - 8) 其中K为模，N为任意整数。 在模的意义下，数a与该数本身加上其模的任意整数倍之和相等。 在数a的无数个a+NK同余数中， N= 1 的同余数，即补数 补码的定义：补码的定义：a补数 =

19、a+K(mod K) a 0aK K-|a | -Ka0 (2 - 9) = 相加时丢掉的进位即等于模。当n位表示整数时(1 位为符号位， n-1 位为数值位)， 它的模为 2n, 即：100 0 n个 0 X的补码记为X补，补码可定义为：X补= X 当 0X2n-1 2n+X 当-2 n-1X0 由定义式(2 - 10) ，正数的补码与其码与其原码相同， 只有负数才有求补的问题。 “补码表示法”应称为“负数的补码表示法”。一个二进制数，以 2n为模，它的补码称为 2 补码。 (2) 一个数补码的求法 根据定义求补码 X补=2n+X=2n-|X|, X0 例 2.2.2X=-1010111,

20、n=8， 则 X补 =28+(-1010111B) =100000000B-1010111B =10101001B(mod 28) 利用原码求补码 已知X =-Xn-2Xn-3X1X0 =iniiX 220X0则X原=2n-1+Xn-2Xn-3X1X0由定义式(2 - 10)得：X补 =2n+X =2n-1+2n-1-iniiX 2202n-1=1220iniiXX补 =2n-1+ = 2n-1 =2n-11220iniiXiniiX 22012)1 (20iniiX1.0132XXXXnn符号位X原数值位按位取反 方法：方法：一个负数X的补码等于其原码除符号位保持不变外，其余各位按位取反，再

21、在最低位加 1。 例 2.2.3X=-1010101B, 当n=8 时，则 X原=11010101B X补=1 0 1 0 1 0 1 0B+1=10101011B 0 的补码只有唯一的形式， 符号位和数值位均为 0。8 位二进制补码数值范围为-128+127。 表 2.2 给出了 8 位二进制数码对应的无符号二进制数、原码及补码的值。 (3) 数的补码表示转换为原码表示方法：方法：一个用补码表示的负数，将X补再求一次补， 即将X补除符号位外取反加 1 就可得到X原，表示为 二进制数 无符号十进制数带 符 号 数原码反码补码0000 00010000 0010 0111 11100111 11

22、111000 00001000 0001 1111 11011111 11101111 1111012 126127128129 253254255+0+1+2 +126+127-0-1 -125-126-127+0+1+2 +126+127-127-126 -2-1-0+0+1+2 +126+127-128-127 -3-2-1表表2.1 8位二进制数的原码、反码和补码表位二进制数的原码、反码和补码表 X补补=X原(证明从略)结论：结论：一个二进制补码表示的数，最高位为符号位，当符号位为“0”(即正数)时，它的原码同补码。当符号位为1”(即负数)时，对其补码再求补，就可得到它的原码。 例 2

23、.2.4X原=11010101B X补=10101011B则 X补补=11010100B+1=11010101B=X原 (4) 补码的运算规则 补码运算基本公式1：两个n位二进制数之和的补码等于该两数的补码之和(证明从略)， 即 X+Y补=X补+Y补(mod 2n) (2-12) 例 2.2.用补码进行下列运算： (+33)+(+15); (-33)+(+15); (+33)+(-15); (-33)+(-15)。00100001B+33补 11011111B-33补+ 00001111B+15补 + 00001111B+15补 00110000B+48补 11101110B-18补00100

24、001B+33补 11011111B-33补+ 11110001B-15补 +11110001B-15补100010010B+18补 111010000B-48补进位，丢掉进位，丢掉 补码运算基本公式2：两个n位二进制数之差的补码等于该两数的补码之差(证明从略)，即 X-Y补=X补-Y补(mod 2n) (2 - 13) 结果为两数之差的补码形式。 这是补码表示法的一个优点。 例 2.2.6用补码进行下列运算：(+33)-(-15); (-33)-(-15); (+33)-(+15); (-33)-(+15)。00100001B+33补 11011111B-33补 -11110001B-15补

25、 - 11110001B-15补 100110000B+48补 111101110B-18补借位，丢掉借位，丢掉00100001B+33补 11011111B-33补 -00001111B+15补 -00001111B+15补 00010010B+18补 11010000B-48补 补码减法运算时， 利用加法基本公式。 因为 X-Y=X+(-Y) X-Y补=X+(-Y)补=X补+-Y补即 X-Y补=X补+-Y补(mod 2n)JY(2 -14) 补码运算基本公式3 该式表明，求X-Y补可以用X补与-Y补相加来实现。 一般称已知Y补求得-Y补的过程叫变补变补或求求负负。 变补或求负运算规则：变补

26、或求负运算规则：如果已知 Y补=Yn-1Yn-2Y1Y0 那么对Y补的每一位(包括符号位)都按位取反， 然后再加 1，结果即为-Y补。 例 2.2.7若 Y补=01010111B+87补则 -Y补=10101001B-87补 若 Y补=10101001B-87补则 -Y补=01010111B+87补 两个带符号数采用补码表示时， 减法运算可以通过“变补相加法”来实现。即X补-Y补=X补+-Y补(mod 2n) (2 - 15) 补码表示法优点是利用这一公式使减法运算用“变补相加法”来实现，使得运算器的结构得到了简化。 例 2.2.8用补码进行X-Y运算。 若X=33Y=15 X补=001000

27、01B Y补=00001111B-Y补=11110001B 则 00100001B+33补 + 11110001B-15补 100010010B+18补 若 X=33 Y=-15 X补=00100001B Y补=11110001B -Y补=00001111B则 00100001B+33补 + 00001111B +15补00110000B+48补 若 X=-33 Y=-15 X补=11011111B Y补=11110001B-Y补=00001111B则 11011111B-33补 +00001111B+15补 11101110B-18补 若 X=-33 Y=15 X补=11011111B Y补

28、=00001111B-Y补=11110001B 则 11011111B-33补 +11110001B-15补 111010000B-48补 注意：注意：采用补码进行加减运算， 所有参加运算的数和运算的结果都是用补码表示的。计算机里的实际情况就是这样的。要得到真值，还需转换。 2.2.2有符号数运算的溢出问题有符号数运算的溢出问题 计算机字长为n位， n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1 位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围为 -2n-1X2n-1-1 当n=8 时， 有符号数的范围为-128+127; 当n=16 时，有符号数的范围为-32768+32767。 如果运算结果超出

29、可表示的有符号和的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。两个同号数相加两个异号数相减 加运算：两正数相加；次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位，而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时；两负数相加；次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。 01001000B+72 + 01100010B+98 10101010B -86例 2.2.9 (+72)+(+98)。 有进位无进位溢出， 结果出错例 2.2.10(-83)+(-80)。 10101101B-83 +10110000B-80 101011101B+93 无进位 有进位溢出， 结果出错 减运

30、算：当次高不需从最高位借位，但最高位却需借位(正数减负数，差超出范围)； 次高位需从最高位借位， 但最高位不需借位(负数减正数，差超出范围)， 也会出现溢出。 例 2.2.11(+72)-(-98)。 01001000B +72 -1001110B -98 10101010B -86 无借位 有借位溢出， 结果出错 例 2.2.12(-83)-(+80)。 10101101B -83 -01010000B +80 01011101B -93有借位无借位溢出， 结果出错2.3 定点数和浮点数定点数和浮点数 2.3.1定点法定点法 定点法， 即小数点在数中的位置是固定不变的。以定点法表示的实数称作

31、定点数。通常，定点表示也有两种方法： 方法 1： 规定小数点固定在最高数值位之前，机器中能表示的所有数都是小数。n位数值部分所能表示的数N的范围(原码表示，下同)为 1-2-nN-(1-2-n) 它能表示的数的最大绝对值为 1-2-n，最小绝对值为 2-n。 方法方法 2：规定小数点固定的最低数值位之后， 机器中能表示的所有数都是整数。n 位数值部分所能表示的数N的范围为 2n-1N-2(2n-1) 它能表示的数的最大绝对值为 2n-1， 最小绝对值为 1。下面给出定点数的两种表示法。符号位数值位数值位小数点符号位数值位数值位小数点要求：要求：程序员做的一件重要工作是为要计算的问题选择“比例因

32、子”。所有原始数据都要用比例因子化成小数或整数， 计算结果又要用比例因子恢复实际值。 在计算过程中， 中间结果若超过最大绝对值，机器便产生溢出，叫做“上溢”， 这时必须重新调整比例因子。中间结果如果小于最小绝对值， 计算机只能把它当作 0 处理， 叫做“下溢”。 2.3.2浮点法浮点法 任意一个二进制数N写成下面形式： N=d2p (2 - 16) 其中: d尾数， 是二进制纯小数； 数符数的符号，0 表示正号，1 表示负号； p阶数； 阶符p的符号， 0阶符为正， 1阶符为负。 浮点数的编码格式如下所示：阶符阶码数符尾数1位 M位 1位 n位 设阶码的位数为m位， 尾数的位数为n位， 则浮点

33、数的取值范围为 2-n2-(2m-1)|N|(1-2-n)2(2m-1)浮点数能表示的数值范围大， 是它的主要可取之处。 注意：注意：数的加减运算要求小数点对齐。 对于浮点表示的数而言， 就是阶码(包括阶符)相等。两个规格化的浮点数相加或相减之前必须对阶。 对阶规则对阶规则： 将两个数中阶码小的数的尾数右移、阶码增大，直到与另一个数的阶码相等为止。2.4 二进制编码的十进制数二进制编码的十进制数(BCD编码编码) 2.4.18421BCD码码 BCD码(Binary-Codcd Decimal)： 1 位十进制的 09 这十个数字分别用 4 位二进制码的组合来代表，在此基础上，可按位对任意十进

34、制数进行编码。这就是二进制编码的十进制数。 4 位二进制数码有 16 种组合，最常用的方法是 8421BCD码， 8、4、 2、 1 分别是 4 位二进制数的位权值。 例 2.4.1十进制数和BCD码相互转换 将十进制数 75.4 转换为BCD码 75.4=(01110101.0100)BCD 将BCD码10000101.0101 转换为十进制数 (10000101.0101)BCD=85.5 同一个 8 位二进制代码表示的数， 当认为它表示的是二进制数和认为它表示的是二进制编码的十进制数时， 数值是不相同的。 例如 00011000 作为二进制数时，其值为 24；但作为 2 位BCD码时，其

35、值为 18。 在计算机中， BCD码有两种基本格式： 组合式BCD码格式。两位十进制数， 存放在一个字节中。 如数 82 存放格式为： 1000 0010 分离式BCD码格式。 每位数存放在 8 位字节的低 4 位部分，高 4 位部分的内容与数值无关，如数 82 存放格式为： uuuu1000 uuuu0010 其中 u表示任意。表表2.3 8421 BCD 码部分编码表码部分编码表十进制数组合BCD码分离BCD码1239101119202100000001000000100000001100001001000100000001000100011001001000000010000100000

36、0010000001000000011 0000100100000001 0000000000000001 00000001 00000001 0000100100000010 0000000000000010 00000001 2.4.2BCD码的加减运算码的加减运算 以组合式BCD码格式为例讨论BCD码的加法与减法运算。 例 2.4.2用BCD码求 38+49。 0011 100038 的BCD码+ 0100 100149 的BCD码 1000 000181 的BCD码 “加 6 修正”是将二进制加法运算的结果修正为BCD码加法运算的结果。 两个两位BCD数加法运算结果修正规则如下： (1) 如果任何两个对应位BCD数相加的结果向高一位无进位时，若得到的结果小于或等于 9，则该位不需修正；若得到的结果大小 9 且小于 16 位，则该位进行加 6 修正。 (2) 如果任何两个对应位BCD数相加的结果向高一位有进位时(即结果大于或等于 16)，该位进行加 6 修正。 (3) 低位修正结果使高位大于 9 时， 高位进行加 6 修正。 这种修正称为BCD调整。 2.4.3用BCD码求 35+21。 0011 1000 35 +0010 0001 21