工程力学 第一章 静力学

1、静力学引言静力学引言力的三要素：大小、方向、作用点.所以力是矢量 力是物体之间的相互机械作用，这种作用的效果是使物体的运动状态发生变化，或者使物体的形状发生改变。 1.1 1.1 力与力系的概念力与力系的概念力的表示 力系力系分为分为：平面汇交（共点）力系，平面平行力系，平面力偶系，平面任意力系；空间汇交（共点）力系，空间平行力系，空间力偶系，空间任意力系力使物体运动状态发生变化的效应称为力的外效应或运动效应(移动和转动)。力使物体形状发生改变的效应称为力的内效应或变形效应； 刚体是一个理想化的力学模型。由于静力学研究的力学模型是刚体和刚体系统，故静力学又称刚体静力学。刚体：刚体：在力的作用下

2、，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体.刚体的概念刚体的概念 公理公理1 1 二力平衡公理 使刚体平衡的充分必要条件21FF 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。此公理提供了一种最简单的平衡力系。对于刚体此条件是充要条件，但对变形体只是必要条件而不是充分条件。 1.2 1.2 静力学基本公理静力学基本公理公理公理2 2 加减平衡力系公理推理推理1 力的可传性原理性 作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和作用线 在作用于刚体上的任何一个力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。 作用于刚体上

3、的力，可以沿其作用线移至刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用效应。公理公理3 3 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图。此公理是力系简化的基础。此公理是力系简化的基础。合力(合力的大小与方向) (矢量的和)21FFFR亦可用力三角形求得合力矢推理推理2 2 三力平衡汇交定理平衡时 必与 共线则三力必汇交O 点，且共面3F12F 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。说明不平行三力平衡的必要条件，

4、即：三力平衡必汇交，三力汇交不一定平衡。公理公理4 4 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上 在画物体受力图时要注意此公理的应用，是分析相互作用的物体受力时的纽带。该定律是受力分析必须遵循的原则。公理公理5 刚化原理刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角q、b、g 。则由空间力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在正交坐标系Oxyz三轴上gbq cos , cos , cosFFFFFFz

5、yx1.3 1.3 力的分解与投影力的分解与投影1.1.力的投影力的投影直接投影法直接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到x、y轴上，即gcossincosFFFxxygsinsinsinFFFxyygcos FFz这里要强调指出，空间力在空间力在轴上的投影是代数量，而在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量平面上的投影则是矢量。间接投影法间接投影法2.力的分解kjiFzyxFFF正向的单位矢量分别为坐标轴OzOyOx、 、kjiFFFFFFzyx),cos( ,),cos( , ),cos(kFjFiF222zyxFFFF如果已知

6、力F在x、 y、z轴上的投影，则可求得力F的大小和方向余弦为3.力的合成1.4 1.4 力矩与力偶力矩与力偶(1) 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示力矩矢力矩矢 对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。为此引入力矩矢力矩矢MO(F)来描述空间力对点的矩。1. 力矩的概念力矩的概念xOikhjMO(F )zA (x,y,z)yBFr 如图所示,以 r 表示力作用点的矢径，则力F对点O的矩可以定义为FrFM)(O即：力对点的矩等于矩心

7、到该力力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。作用点的矢径与该力的矢量积。显然，上式的模等于三角形OAB面积的两倍，正好是力对点矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义的力矩矢MO（F）来表示。力矩矢MO（F）是定位矢定位矢，矢端必须位于矩心O。不可随意挪动。OABOAhF2)(FrFM由矢径和力的解析表达式kjiFkjirzyxFFFzyx可得力矩矢的解析形式kjikjiFrFM)()()( )(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyx上式在x、y、z轴上的投影分别为xyzOzxyOyzxOyFxFx

8、FzFzFyF)()()(FMFMFMxOikhjMO(F )zA (x,y,z)yBFr(2). 力对轴的矩力对轴的矩 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。OFAxyzFzFxyh 现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上，如下图所示。将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 z 平行，不能使圆盘绕 z 轴转动,故它对 z 轴的矩为零；只有垂直 z 轴的分力 Fxy 对 z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。这样，空间力F 对 z 轴的矩为BAOxyxyOzAhFMM2)()(FF

9、OFAxyzFx yhA BB 力对轴的矩等于力在垂直于该力对轴的矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。轴的交点的矩。这样，空间力对轴空间力对轴的矩就转化成了平面问题中力对点的矩就转化成了平面问题中力对点的矩的矩。因而它是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，如图所示。空间力对轴的矩与平面力对点的矩类似，也可以用解析式表示如下xyyOxOxyOzyFxFMMMM)()()()(FFFFzxyzyFxFM)(F 上式正是平面问题中力对点的矩的解析表达式。于是，平面问题中力对点的矩即是力对垂直于力与矩心所构成的平面且通过矩心的轴的矩。同理可

10、得其余二式。合在一起有xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFF以上即是计算力对轴之矩的解析表达式。(3) 力矩关系定理力矩关系定理 比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩的解析表达式)()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMMxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFkjiFM)()()()(xyzxyzOyFxFxFzFzFyF可得 即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通

11、过该点轴之矩的关系。的关系。 )()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMM利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往较为方便。(4) 合力矩定理niRFFFFF.21nRFrFrFrFr.21即 iOROFMFM汇交力系汇交力系的合力对于任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。 iOROFMFMOF FdrB AABrBrA2. 2. 力偶的概念力偶的概念 由于空间力偶的作用面的方位不同，因此除力偶的大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用矢量表示。因力偶是由一对大小相等，方向相反作用线平行的力组成，故力偶矩可以用力偶中的两个力对点之矩的矢

12、量和来表示。(1) (1) 力偶的矢量表示力偶的矢量表示FrFrFMFMFF,MBAOOO)()()(由于因而 ,FFFrFrrFF,MABBAO )()( 由上式可以得出，力偶对空间任意点的矩矢相同，与矩心无关。因此空间力偶是一个自由矢量自由矢量，以M（F F,F F)或M表示。力偶的转向为右手螺旋法则右手螺旋法则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。决定空间力偶对刚体的作用效果的三要素为力偶矩大小，作用面方位和转向。力偶矩大小，作用面方位和转向。F FACdMBABCAFdM21)力偶没有合力力偶没有合力2)力偶中的两个力可以沿着它们的作用线任意移动力偶中的两个力可以沿着它们的作用线任意移动

13、,而不改变其而不改变其对刚体的转动效果对刚体的转动效果3)力偶对空间任意点的力偶对空间任意点的矩均等于其力偶矩矢矩均等于其力偶矩矢4) 力偶的等效定理力偶的等效定理 作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。个力偶等效。约束 对非自由体的位移起限制作用的物体.约束力 约束对非自由体的作用力约束力大小待定方向与该约束所能阻碍的位移方向相反作用点接触处1.5 1.5 约束和约束力约束和约束力 自由体 位移不受限制的物体。 非自由体 位移受到限制而不能作任意运动的物体。除约束力外，非自由体上所受到的所有促使物体运动或有运动趋的力，

14、称为主动力。约束力是由主动力引起的，故它是一种被动力。1 由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束柔索只能受拉力，又称张力.用 表示TF工程中常见的约束柔索对物体的约束力沿着柔索背离被约束物体胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力2 具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束） 光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用 表示NF 3 固定铰链约束（支座） 约束特点： 将构件和固定支座在连接处钻孔，再用圆柱形销钉串联起来，构件只能绕销钉轴线转动。 约束力：通过铰链中心，方向不定，故分解为两个正交分力。 光滑圆柱铰链（中间铰） 约束特点

15、：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪刀约束力约束力： 光滑圆柱铰链：为孔与轴的配合问题，用两个正交分力表示反力其中有作用反作用关系 cycycxcxFFFF, 一般不必分析销钉受力，当销钉受到主动力的作用时,必须把销钉单独取出做受力分析4、辊轴约束 滚动支座（活动铰支座、辊轴支座） 约束特点： 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成 约束力：约束力： 构件受到光滑面的约束力5、球铰链 约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动 约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题 约束力通过接触点,并指向球心,是一个不能预先确定的空间力.可用

16、三个正交分力表示6、轴承约束 （1） 径向轴承（向心轴承）约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束 约束力约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑接触约束法向约束力 约束力作用在接触处，沿径向指向轴心 当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变可用二个通过轴心的正交分力 表示yxFF,（2）止推轴承约束特点： 止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正交分力 AzAyAxFFF,（1）柔索约束张力TF（5）球铰链空间三正交分力（6）止推轴承空间三正交分力（4）滚动支座 光滑面NF（3）光滑铰链AxAyFF（2）光滑面约

17、束法向约束力NF1.6 1.6 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图1、画受力图步骤（3）、按约束性质画出所有约束（被动）力.明确研究对象所受周围的约束，进一步明确约束类型，什么约束画什么约束力。（1）、取所要研究物体为研究对象（隔离体），画出其简图.（2）、画出所有主动力.注意：(1)受力图只画研究对象的简图和所受的全部力；(2)每画一力都要有依据，不多不漏；(3)不要画错力的方向，约束力要和约束性质相符，物体间的相互约束力要符合作用与反作用定律。补充：必要时需用二力平衡共线、三力平衡汇交等条件确定某些反力的指向或作用线的方位。例1-1解解：画出简图画出主动力画出约束力碾子重为 ，拉

18、力为 ， 、 处光滑接触，画出碾子的受力图FABP例1-2 解解：取屋架画出主动力画出约束力画出简图屋架受均布风力 （N/m）， 屋架重为 ，画出屋架的受力图qP例1-3 解解：1.取 杆，其为二力构件，简称二力杆，其受力图如图(b)CD水平均质梁 重为 ，电动机重为 ，不计杆 的自重，画出杆 和梁 的受力图图(a)2PABCDCDAB1P2.取 梁，其受力图如图 (c)AB若这样画，梁 的受力图又如何改动?AB 杆的受力图能否画为图（d）所示？CD例1-4 不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱 的受力图与系统整体受力图CBAB,解解：1.右拱 为二力构件，其受力图如图（b）所示CB3.系统

19、整体受力图如图（d）所示2.取左拱 ,其受力图如图（c）所示AC另：考虑到左拱 三个力作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱 的受力图，如图（e）所示ACAC此时整体受力图如图（f）所示讨论：若左、右两拱都考虑自重，如何画出各受力图？如图例1-5不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图图(a)解解：1.绳子受力图如图（b）所示2.梯子左边部分受力图如图（c）所示3.梯子右边部分受力图如图（d）所示4.整体受力图如图（e）所示提问：左右两部分梯子在A处，绳子对左右两部分梯子均有力作用，为什么在整体受力图没有画出？二、画受力图应注意的问题二、画受力图应注意的问题除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。必有力，力的方向由约束类型而定。2、不要多画力、不要多画力要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出于受力体所受的每一个力