BSM期权定价模型与期权套利

1、BSM期权定价模型与期权套利期权定价模型与期权套利俞文冰俞文冰 CFACFA广发证券金融工程广发证券金融工程2014年年2月月目目 录录二二、BSM模型简介模型简介三三、BSM模型的改进模型的改进四、花样繁多的套利四、花样繁多的套利u Louis Bachelieru 博士博士论文论文投机理论投机理论(The Theory of Speculation)(1900年年)u 第一第一篇对随机过程进行篇对随机过程进行建模建模u 用随机过程对期权用随机过程对期权进行进行定价定价u 第一第一篇在金融研究领域用到高等数学的篇在金融研究领域用到高等数学的论文论文u 他他的论文导师就是大名鼎鼎的的论文导师就

2、是大名鼎鼎的Henri Poincar(庞加莱庞加莱)BSM模型的前世模型的前世u Louis Bachelier 的期权定价公式的期权定价公式u博士博士论文论文投机理论投机理论(The Theory of Speculation)(1900年年)u第一第一篇对随机过程进行篇对随机过程进行建模建模u用随机过程对期权用随机过程对期权进行进行定价定价u第一第一篇在金融研究领域用到高等数学的篇在金融研究领域用到高等数学的论文论文u 他他的论文导师就是大名鼎鼎的的论文导师就是大名鼎鼎的Henri Poincar(庞加莱庞加莱)BSM模型的前世模型的前世C,SXSXXSS TSNXNTTTTu Loui

3、s Bachelier 的期权定价公式的期权定价公式u 该模型的重要性该模型的重要性u 明确明确了期权模型中最重要的了期权模型中最重要的因素因素u 使用使用了了fair game 的的思想思想u首次首次用随机的概念描绘市场动态用随机的概念描绘市场动态。u 这个这个公式的缺陷也很公式的缺陷也很明显明显u 它它假定股价而不是收益率服从假定股价而不是收益率服从正态分布正态分布(历史条件所限历史条件所限)u 它没有考虑利率。它没有考虑利率。BSM模型的前世模型的前世C,SXSXXSS TSNXNTTTTu Sprenkle Formula 和和 Boness Formulau 这两个模型的进步这两个模

4、型的进步u 首先首先出现了折出现了折现，这现，这体现了衍生产品在时间上的体现了衍生产品在时间上的价值价值u 在在效用函数的框架下解决期权定价的效用函数的框架下解决期权定价的问题问题u 股价并不股价并不服从正态分布，而是收益率服从正态分布，而股价是服从对数正态分布。服从正态分布，而是收益率服从正态分布，而股价是服从对数正态分布。u 缺陷缺陷(典型经济学模型的缺陷典型经济学模型的缺陷)u 公式公式中的中的A代表的是风险厌恶程度的一个指标代表的是风险厌恶程度的一个指标, (rho) 是股票的平均增长率。但是是股票的平均增长率。但是一旦引入了风险厌恶度和股票增长率的概念，这个定价在实际中就很难做了，金

5、一旦引入了风险厌恶度和股票增长率的概念，这个定价在实际中就很难做了，金融学中的一价原理都无法满足融学中的一价原理都无法满足了了BSM模型的前世模型的前世 122121,111ln2TTC S Te SN dA XN de SdTXTddT122121,11ln2TC S TSN dXeN dSdTXTddTu Samuelson Formula u 引入引入了一个思想就是期权作为了一个思想就是期权作为derivatives本身应该隐含着跟标的资产不同的本身应该隐含着跟标的资产不同的风险风险,因此这里有一个因此这里有一个alpha指的就是期权的增长率指的就是期权的增长率u 萨缪尔森萨缪尔森在期权

6、领域做的另一件有意义的事情就是他发现并且重新刊登了在期权领域做的另一件有意义的事情就是他发现并且重新刊登了Bachelier的文章而且将期权公式的鼻祖的名号归结于他的文章而且将期权公式的鼻祖的名号归结于他BSM模型的前世模型的前世 122121,11ln2TTC S TSeN dXeN dSdTXTddT 目目 录录一、一、BSM模型的前世模型的前世三三、BSM模型的改进模型的改进四、花样繁多的套利四、花样繁多的套利u BSM模型的假定模型的假定u 标标的资产（的资产（Underlying asset）价格服从对数正态分布价格服从对数正态分布u 市场无摩擦：不市场无摩擦：不支付交易支付交易费用

7、（费用（transaction cost）和税收（）和税收（tax）u 市场无套利市场无套利u 交易是连续的交易是连续的u 可以以无风险利率借贷可以以无风险利率借贷BSM模型简介模型简介u BSM模型的一种推导模型的一种推导(简介简介)u V(S,t) 表示表示欧式看涨期权的欧式看涨期权的价值，构造价值，构造投资投资组合组合=V-S ，是标的资产份是标的资产份儿，选取适当的儿，选取适当的使得在时段使得在时段(t+dt)内，内，是无风险的是无风险的u 在时刻在时刻 t+dt，投资组合的回报是，投资组合的回报是 (t+dt-t)/t=rdtu 由对数正态分布可得：由对数正态分布可得：u 由由Ito

8、引理可得：引理可得：u 经过一番推导可得：经过一番推导可得：u 求解方程可得求解方程可得BSM公式公式BSM模型简介模型简介()tttttdVdSrdtr VSdt 22221()2ttVVVVdVSSdtSdWtSSS2222102VVVSrSrVtSSu BSM Formulau 期权定价与股票收益率无关期权定价与股票收益率无关u 可以根据推导的方式进行复制和套利可以根据推导的方式进行复制和套利u 公式简洁漂亮公式简洁漂亮BSM模型简介模型简介()122121( , )()()ln()()2=r T tC S tSN dKeN dSrTtKdTtddTt目目 录录一、一、BSM模型的前世模

9、型的前世二、二、BSM模型简介模型简介四、花样繁多的套利四、花样繁多的套利u Practitioner Black-Scholes模型模型u 波动率为常数的假定波动率为常数的假定u 中中金所沪深金所沪深300股指期权仿真交易股指期权仿真交易(2014年年1月月21日日)的隐含波动率的隐含波动率BSM模型的改进模型的改进u Practitioner Black-Scholes模型模型u 确定性波动率函数确定性波动率函数(DVF)u DVF有以下四种形式：有以下四种形式：BSM模型的改进模型的改进0iva2012ivaa Ka K201235ivaa Ka Ka Ta KT22012345ivaa

10、 Ka Ka Ta Ta KT u Practitioner Black-Scholes模型模型u PBS模型求解步骤模型求解步骤u通过通过波动率的形状选取以上四种形式的一种来建立波动率的形状选取以上四种形式的一种来建立DVF模型模型u通过通过选取期权的报价，从选取期权的报价，从BS公式中反解出相对应的隐含波动公式中反解出相对应的隐含波动率率u选取选取一个目标误差函数，运用最普通的最小二乘方法，对一个目标误差函数，运用最普通的最小二乘方法，对DVF进行线性回归，从进行线性回归，从而得出隐含波动率而得出隐含波动率 的的估计估计u将将隐含波动率隐含波动率 的估计值带入的估计值带入BS公式来计算期权

11、价格。公式来计算期权价格。BSM模型的改进模型的改进 u Practitioner Black-Scholes模型模型u PBS模型实证模型实证u中金所沪深中金所沪深300期权仿真交易的数据期权仿真交易的数据(同样是同样是2014年年1月月21日日)，我们用，我们用PBS模型拟模型拟合了隐含波动率合了隐含波动率BSM模型的改进模型的改进u Gram-Charlier 模型模型u -2 假定假定u 实际分布的偏度峰度实际分布的偏度峰度BSM模型的改进模型的改进u Gram-Charlier 模型模型u 该该模型是通过模型是通过Gram-Charlier展开到四阶来对标的资产变化量对数的条件分展开

12、到四阶来对标的资产变化量对数的条件分布密度函数进行布密度函数进行建模建模u 假设假设在标的资产过程中波动率和无风险利率是在标的资产过程中波动率和无风险利率是常数常数u 所所划分的每个时间段的标的资产对数变化量是划分的每个时间段的标的资产对数变化量是独立同分布的独立同分布的u 得到得到了了Gram-Charlier的定价的定价公式公式u 加加了偏度和峰度队定价的影响。了偏度和峰度队定价的影响。BSM模型的改进模型的改进()22122( )()( )(2)(133)3!4!ln()2r T tTTGCTTTTTTTccCSN dKeN dSddddSr TtKdu Gram-Charlier 模型

13、模型u 不同偏度水平下不同偏度水平下G-C模型与模型与BSM定价差异定价差异BSM模型的改进模型的改进u Gram-Charlier 模型模型u 不同峰度水平下不同峰度水平下G-C模型与模型与BSM定价差异定价差异BSM模型的改进模型的改进目目 录录一、一、BSM模型的前世模型的前世二、二、BSM模型简介模型简介三、三、BSM模型的改进模型的改进u 定价模型相关的套利定价模型相关的套利u BSM公式推导本身就是套利过程公式推导本身就是套利过程u 如果期权定价远远偏离理论价值如果期权定价远远偏离理论价值(假设可以有效预测波动率假设可以有效预测波动率)，则可以买入，则可以买入(或者卖出或者卖出)期

14、期权同时通过权同时通过Delta复制期权反向对冲复制期权反向对冲花样花样繁多的套利繁多的套利u 平价套利平价套利u 原理：原理：u 实际计算：实际计算：u 例如例如2013年年12月月30日日u上汽集团购上汽集团购2月月1200价格：价格：2.245，上汽集团沽上汽集团沽2月月1200：0.109，上汽集团正，上汽集团正股：股：13.99u 做做空空1张张“上汽集团购上汽集团购2月月1200”、做多、做多1张张“上汽集团沽上汽集团沽2月月1200”、买入、买入5000份上汽集团、借入资金份上汽集团、借入资金59498.66元，当期可获得套利收益元，当期可获得套利收益4008.66元。元。 花样

15、花样繁多的套利繁多的套利0rtcKepS(/250)1rTprofitcpSKe(/250)2(/ 250)rTbprofitcpSKSrTe u 箱型套利箱型套利(Box)u 原理：同时做两对平价套利原理：同时做两对平价套利u 优点：优点：u 避免购买现货或者卖空现货避免购买现货或者卖空现货u 可能有收益加成可能有收益加成u 实际计算：实际计算：u 例如例如2013年年12月月30日日u上汽集团购上汽集团购2月月1200价格：价格：2.245，上汽集团购上汽集团购2月月1600价格价格:0.204；上；上汽集汽集团沽团沽2月月1200：0.109，上汽上汽集团沽集团沽2月月1600价格价格:

16、2.074u 做做多多1张张“上汽集团购上汽集团购2月月1600”和和1张张“上汽集团沽上汽集团沽2月月1200”、做空、做空1张张“上上汽集团购汽集团购2月月1200”和和1张张“上汽集团沽上汽集团沽2月月1600”、借出资金、借出资金19832.89元元,当期当期可获得套利收益可获得套利收益4582.11元元花样花样繁多的套利繁多的套利 /250212121-+rtprofitccppKKeu 蝶式套利蝶式套利(Butterfly)u 示例：示例：u例如例如2013年年12月月30日日u上证上证50ETF有以下一组期权价格有以下一组期权价格u 是否存在套利机会？是否存在套利机会？u 0.092*2-(0.14+0.07)=0花