机械振动课件

1、1 无论在宏观世界还是微观世界，无无论在宏观世界还是微观世界，无论在高速领域还是低速领域，振动都是最论在高速领域还是低速领域，振动都是最普遍存在的运动形式。普遍存在的运动形式。 本章主要研究简谐运动本章主要研究简谐运动的基本规律的基本规律, ,掌握状态参量相掌握状态参量相位的概念以及旋转矢量法；位的概念以及旋转矢量法；了解阻尼运动、受迫运动。了解阻尼运动、受迫运动。运动在时间、空间上具有周期性运动在时间、空间上具有周期性简单振动简单振动时间上的周期性时间上的周期性)()( tATtA= =+ +空间上的重复性空间上的重复性 平衡位置平衡位置简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解简谐振

2、动特征简谐振动特征：最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .机械振动：机械振动： 物体在某一位置附近来回往复的运动物体在某一位置附近来回往复的运动共振共振受迫振动受迫振动自由振动自由振动有阻尼有阻尼无阻尼无阻尼无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动简谐振动简谐振动机械振动机械振动广义振动：广义振动： 一个物理量在某一定值附近的往复变化一个物理量在某一定值附近的往复变化9.1 9.1 简谐运动简谐运动F0=vF0=v0F =v平衡位置平衡位置弹簧振子弹簧振子xkF=222d0dxxt+=mk=( 弧度弧度/秒秒)Fma=22d0dxkxtm+=9.1.1 简谐

3、运动的基本特征简谐运动的基本特征固有角频率固有角频率令：令：简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程（动力学方程）（动力学方程）22ddxmt=(5)(1)kmx(2)(4)0F =v(3)222d0dxxt+=cos()xAt=+简谐运动表达式简谐运动表达式9.1.2 简谐运动的表达式简谐运动的表达式其解其解9.1.3 9.1.3 简谐运动曲线简谐运动曲线（运动学方程）（运动学方程）称为称为振幅振幅 maxxA=式中式中, ,xavto22ddxat=ddxt=vsin()At= +2cos()At= +cos()xAt=+mA=v2Aam=称为称为速度幅速度幅 称为称为加速度幅加速度幅 cos

4、xAt=sinAt= v2cosaAt= 简谐运动的微分方简谐运动的微分方程（动力学方程）程（动力学方程）A 称为简谐运动三要素称为简谐运动三要素1、周期、周期 T2、频率、频率 1 T=22 T=cos()xAt=+dsin()dxAtt= +vt+T状态不变状态不变cos()AtT=+sin ()AtT= +2T=2T=9.2 9.2 描述简谐运动的基本物理量描述简谐运动的基本物理量周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意9.2.1 周期周期 频率频率对于弹簧振子对于弹簧振子mk=2mTk=相位相位()t+0=t时时初相初相cos()xAt=

5、+dsin()dxAtt= +v9.2.2 相位相位 初相初相相位概念相位概念：1.描述振动系统描述振动系统形象状态形象状态的物理量的物理量A00A0A0 A0A2.描述振动系统状态的描述振动系统状态的变化趋势变化趋势3.描述频率相同的两振动系统的描述频率相同的两振动系统的振动步调振动步调（或两物理量）（或两物理量） 相位超前相位超前相位落後相位落後()t+xv02232120=xto同相同相 2 2）对于对于两个两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们的简谐运动，相位差表示它们间间步调步调上的上的差异差异. .)cos(111+=tAx)cos(222+=tAx1212()()tt=+12

6、=xto12为其它为其它超前超前落后落后12= 反相反相9.2.3 相位差相位差相位差相位差x1x2txox1x2x1x2 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间变化所需的时间. .11cos()xAt=+22cos()xAt=+2121ttt =+=1221tt谐振动的位移、速度及加速度的相位关系谐振动的位移、速度及加速度的相位关系tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT22ddxat=ddxt=vsin()At= +cos()2At=+2cos()At= +2cos()At=+cos()xAt=+m

7、A=v2Aam=速度超前位移速度超前位移 /2相位相位加速度超前位移加速度超前位移 相位相位22020v+=xA00tanx=v 由由000vv =xxt初始条件初始条件0cosxA=0sinA=v9.2.4 振幅振幅 初相与初始条件的关系初相与初始条件的关系cos()xAt=+dsin()dxAtt= +v0cosA= 2= 0sin0A= v sin02=取取00,0,0tx=v已知已知 求求)2 cos(+=tAx解：解：单摆单摆Ol mgT22ddsintsmmg=ls =很很小小又又22ddsintmlmg=sin0dd22=+lgtttFma=lg=glT2=+=tcos0令令x(

8、cm)t(s)0-1-21解：解：t = 0时，时，- -1 = 2cos t =1s时时, 2=2cos( +2 /3)x = 0.02cos(4 /3t+ 2 /3) = 2 /3, 4 /3v 0所以所以: = 2 /3 +2 /3=0, 2 取正数原则取正数原则, = 4 /3例例1.一谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，写出一谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，写出 此谐振动的振动方程。此谐振动的振动方程。 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动。动。xAoxoA0=t9.3 9.3 简谐运动的旋转矢量

9、法图示法简谐运动的旋转矢量法图示法0cosxA=0 xttcos()xAt=+xAAx2AtoabxAA0 如图，求质点由状态如图，求质点由状态a变化到状态变化到状态b所需的时间所需的时间. .at21 3=TTt6123=21v2Abtx (cm)0.25-0.50 t (s)2求：振动方程求：振动方程（振动表达式）（振动表达式）解：解： 由图可知由图可知0.5 cmA =2sT =12 (s )T=初始条件：初始条件：0cos0.5cos0.25 (cm)xA=cos0.5= 3=0.5cos()3xt=+初始条件初始条件v0 00sin0A= vsin03= 0.5cos()3xt=练习

10、题练习题(cm)0 xAA/2/3 /3A 例例2 一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动，振动方程为轴作简谐振动，振动方程为21410cos(2) (SI)3xt=+ 从从 t = 0 时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在 x = - -2cm 处，且向处，且向 x 轴正向运动的最短时间间隔为轴正向运动的最短时间间隔为1111()s()s()s()s8426ABCD解：解： 将将 x = - -2cm 代入振动方程得代入振动方程得221210410cos(2),3t =+据题意可知据题意可知14233t +=1s.2t =答案：答案：Cx(cm)O11cos(2)32t+= 2t = 0-

11、-2例例3.一质点在一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过C 点时作为计时起点（点时作为计时起点（t=0），经过秒后质点第一次经），经过秒后质点第一次经 过过D点，再经过秒后质点第二次经过点，再经过秒后质点第二次经过D点，若已知点，若已知 该质点在该质点在C，D两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且CD10cm 求：（求：（1）质点的振动方程；（）质点的振动方程；（2）质点在）质点在C点处的速率。点处的速率。xCDOVCVD2st =4st =0= =t 解：以解：以CD的中点为坐标原点。的中点为坐标原点。4 s24CDTVV=05costxA

12、= =时，2 s 5cos(2)txA = =+时，35tan10 44CV= =或 2(5/2) 10cos( /43/4)xt=0t =1d /d3.93 cm sCVxt=时，时，9.4 9.4 简谐运动的能量简谐运动的能量PKEEE+=221122mk x=+v系统机械能守恒系统机械能守恒2211sin()cos()22mAtkAt=+2221Am=)(mk=221kA= 以弹簧振子为例以弹簧振子为例cos()xAt=+sin()At= +v简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE =EBCA+ApExO212pEkx=

13、简谐运动的判据简谐运动的判据1. 动力学判据动力学判据受正比而反向的恢复力作用受正比而反向的恢复力作用xkf=即即22d0dxkxtm+=2. 能量判据能量判据振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒d0dkxtm+=vdd0ddxkxxtm+=vdd0mkx x+=v v积分积分221122mkx+=恒量v3. 运动学判据运动学判据)cos(+=tAx相对平衡位置的位移随相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化时间按正余弦规律变化（一次积分）（一次积分）（二次积分）（二次积分）两个两个同同方向方向同同频率简谐运频率简谐运动动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动x1A2AA12O1x2x9.5 9

14、.5 同方向简谐运动的合成同方向简谐运动的合成 拍拍)cos(111+=tAx)cos(222+=tAx)cos(21+=+=tAxxxx)cos(212212221+=AAAAA11221122sinsintancoscosAAAA+=+9.5.1 两个同方向、同频率简谐运动的合成两个同方向、同频率简谐运动的合成21()2 k= 21()(21)k=+2121AAAAA+21AAA+=21AAA=21()=其它值( ( 同相同相 ) )( ( 反相反相 ) )合振动加强合振动加强合振动减弱合振动减弱( ( 一般一般 ) )tAx11cos=tAx22cos=21xxx+=2)(cos2)(c

15、os21212ttA+=)(1212+当当准谐振动准谐振动tAtA21coscos+=（振幅相同（振幅相同 初相为零）初相为零）合成振幅合成振幅tAA2)(cos212=频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，合成时所产生的这种合振幅时而加强，时而减弱的现象合成时所产生的这种合振幅时而加强，时而减弱的现象拍拍: :9.5.2 两个同方向、不同频率简谐运动的合成两个同方向、不同频率简谐运动的合成 拍拍0.05s0.1s0.15s0.2sttt0180=290=2A调制周期调制周期拍的周期拍的周期2)(cos212tAA=239.6.1 相互垂直

16、的同频率简谐运动的合成相互垂直的同频率简谐运动的合成110cos()xAt=+220cos()yAt=+2222212122cossinxyxyAAA A+=质点沿质点沿顺时针顺时针方向运动方向运动质点沿质点沿逆时针逆时针方向运动方向运动0 0 2 2010=令令两个相互垂直的同频率简谐运动两个相互垂直的同频率简谐运动消去时间消去时间t，得合运动轨迹方程，得合运动轨迹方程其中：其中：9.6 9.6 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 李萨如图形李萨如图形或：或：0=2= 21AyAx=21AyAx=1222212=+AyAx讨论讨论直线运动直线运动正椭圆正椭圆AAA=21222A

17、yx=+变成圆变成圆当当则则(2)(2)(1)(1)2A12A22+22A=+221222212sincos2AAxyAyAx)cos(111+=tAx)cos(222+=tAynm=212,83,4,8, 02=01=测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图9.6.2 相互垂直的不同频率简谐运动的合成相互垂直的不同频率简谐运动的合成 李萨如图形李萨如图形例例4. 两个同方向谐两个同方向谐 振动的振动方程分别为振动的振动方程分别为x1=0.05cos(10t+3 /4) 及及 x2=0.06cos(10t+ /4)，求合振动方程求合振动方程。2212122cosA

18、AAA A=+11221122sinsinarctancoscosAAAA+=+)48. 110cos(1081. 72+ + = = txxOA143A24A27.81 10 cm=1.48rad=练习：一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程练习：一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程 分别分别 为为x1=Acos( t+ /3), x2=Acos( t+5 /3), x3=Acos( t+ ), 求其合运动方程。求其合运动方程。x = x1+x2+x3 = 0 xo353AAA二、阻尼振动的三种形式二、阻尼振动的三种形式一、无阻尼振动一、无阻尼振动例：水平弹簧谐振子例：水平弹簧

19、谐振子固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数9.7 9.7 阻尼振动阻尼振动2202d0dxxt+=mk=00cos()xAt=+粘性阻力粘性阻力f=vv22ddddxxkxmtt=22dd0ddxxkxtm tm+=2202dd20ddxxxtt+=mk/0=2/m=tex22020+=特征方程特征方程将试探将试探 解解代入上式代入上式令令22ddxkxmt=ddxt= - 表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量2202dd20ddxxxtt+=tex22020+=220= 2200( )cos()tx tA et=+220=特征方程特征方程特征根特征根试探试探 解解a）当当时时,方程的解为方程的解为式中式中mk /0=2/m=f=vvtx220i= cossiniei=+cossiniei=2cosiiee+=阻尼振荡阻尼振荡（次阻尼）（次阻尼）costAetTtAeotx三种阻尼的比较三种阻尼的比较abcb）过阻尼）过阻尼（阻尼较大）（阻尼较大）c）临界阻尼）临界阻尼0( )cos()tx tA et=+220=当当解为解为220222200()()12(