第四节 隐函数、参数方程确定函数的导数

1、第四节第四节 隐函数、参数方程确定隐函数、参数方程确定函数的导数相关变化率函数的导数相关变化率一、隐函数导数一、隐函数导数二、由参数方程确定函数导数二、由参数方程确定函数导数三、相关变化率三、相关变化率四、小结四、小结1.定义定义:.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.02cosln xx

2、yxyexy如如一、隐函数的导数一、隐函数的导数例例1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2.0ln03 xydxdyyxeyx的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0132 dxdyxeedxdyyxyy解得解得,dxdy, 1, 0 yx由由原原方方程程知知0011010 edxdyxedxdy

3、x 0例例3.,23,23,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.例例4 (1).)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;

4、4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy解解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 (2) 例例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 0cos211dxdyydxdy 于是 ydxdycos22 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 观察函数观察函数.,

5、)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu2.对数求导法对数求导法例例5解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例6解解.),0(sinyxxy

6、x 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx )sinln(cossinlnsinsinxxxxxexxxxx 又解又解一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 例例7.),0( )1 (yxxyx 求求设设 ) 1(ln ln xxexy

7、xxxx解解 12) 1(ln) 1(ln xxxxxxxxy xxxx1) 1(ln2.),0,( , )2(yaxxxayaxxxax 求求设设 )1(lnln xxaaaxxxxx解解 xxaxaaaxxaaxexxxx1lnlnln 11lnln aaaxxxxxaxxexxaay=)1(lnln xxaaxxx xxaaxxaaxx1lnln 11ln aaaxxaxxx.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消

8、去参数问题问题: 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt )()(ttdtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )

9、(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例8解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .2)cos1()sin(处的切线方程处的切线方程在在求摆线求摆线 ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速

10、度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv 例例9解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 202

11、0020sin2tggtvv 例例10解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 .,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxty

12、ytxx 相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?三、相关变化率三、相关变化率例例11解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的的仰仰角角为为观观察察员员视视线线其其高高度度为为秒秒后后设设气气球球上上升升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米

13、时米时当当h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例12解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h隐函数求导法则隐函数求导法则: 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导按隐函数的求导法则求导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合