第十一知识块推理与证明、数系的扩充与复数的引入 (1)

1、理解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合理解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用情推理在数学发现中的作用/ /了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行简单推理基本模式，并能运用它们进行简单推理/ /了解合情推理和演绎推理之间了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异的联系和差异 第十一知识块第十一知识块 推理与证明、数系的扩充推理与证明、数系的扩充 与复数的引入与复数的引入第第1 1课时课时 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 合情推理与演绎推理是中学数学的重要内容，是高考重

2、点考查的内容之一，合情推理与演绎推理是中学数学的重要内容，是高考重点考查的内容之一，几乎每年都有涉及，主要以填空题的形式出现，考查归纳推理和类比推理的几乎每年都有涉及，主要以填空题的形式出现，考查归纳推理和类比推理的运用以及同学们的逻辑推理能力运用以及同学们的逻辑推理能力【命题预测【命题预测】 1在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，在前提真实的情况下，在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，在前提真实的情况下，结论未必真运用归纳推理的一般步骤是：首先，通过观察个别情况发现某些结论未必真运用归纳推理的一般步骤是：首先，通过观察个别情况发现某些相似性相似性(特例的共性或一般规律特例

3、的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般规律般规律(猜想猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验；最后，对所得出的一般性命题进行检验2运用类比推理，不仅可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的对比，而且运用类比推理，不仅可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的对比，而且可以比较事物的本质属性和非本质属性，同时，类比推理比归纳推理更富有想可以比较事物的本质属性和非本质属性，同时，类比推理比归纳推理更富有想象，因而也更具有创造性在进行类比时要尽量从本质上去类比，不要被表现象，因而也更具有创造性在进行类比时要尽量从本质上去类比，不要被表现

4、象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误错误【应试对策【应试对策】 3演绎推理是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得演绎推理是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确在数学中，合情推理为我们猜想、发现新的规律提供依据和到的结论就正确在数学中，合情推理为我们猜想、发现新的规律提供依据和方法，演绎推理用于证明这些猜想、发现是否为真，但数学结论、证明思路等方法，演绎推理用于证明这些猜想、发现是否为真，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理，因此，

5、我们不仅要学会证明，也要学会猜想的发现，主要靠合情推理，因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想4在推理论证的过程中，一个稍复杂的证明题经常要由几个三段论式才能完在推理论证的过程中，一个稍复杂的证明题经常要由几个三段论式才能完成，大前提通常省略不写，或者写在结论后面的小括号内，小前提有时也可以成，大前提通常省略不写，或者写在结论后面的小括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的格式省去，而采取某种简明的格式合情推理的应用合情推理的应用 (1) 合合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论(2) 前，合情推理能

6、帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常前，合情推理能帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常常(3) 能为证明提供思路与方向能为证明提供思路与方向(2)合合情推理的过程概括为：情推理的过程概括为：【知识拓展【知识拓展】 (3)合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发表结论，探索和提维方式在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发表结论，探索和提供思路的作用有利于创新意识的培养在能力高考的要求下，推理方法供思路的作用有利于创新意识的培养在能力

7、高考的要求下，推理方法显得更加重要在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得显得更加重要在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手问题的解决有章有法，得心应手 注意注意(1)归归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性现是十分有用的观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法

8、，乃是科学研究的最基本的方法之一的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一 (2)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发何中的某些对象类比等我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理现真理1归纳推理归纳推理 (1)归归纳推理的定义纳推理的定义 从个别事实中推演出从个别事实中推演出 的结论，像这样的推理通常称为

9、归纳推理的结论，像这样的推理通常称为归纳推理 (2)归纳推理的思维过程大致如图归纳推理的思维过程大致如图一般一般2 类比推理类比推理 (1)根根据两个据两个(或两类或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他 方面也具有相同或方面也具有相同或 ，这样的推理称为类比推理，这样的推理称为类比推理 (2)类比推理的思维过程是：类比推理的思维过程是： 思考：思考：归纳推理和类比推理的特点与区别是什么？归纳推理和类比推理的特点与区别是什么？ 提示：提示：两种推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证两种推理的特点与区别：类比推理和归

10、纳推理的结论都是有待于证 明的归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理明的归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理 相似的性质相似的性质3演绎推理演绎推理 (1)演演绎推理是根据已有的事实和正确的结论绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等包括定义、公理、定理等) ，按照严格的步骤得到，按照严格的步骤得到 的推理过程的推理过程 (2)主要形式是三段论式推理主要形式是三段论式推理 (3)三段论的常用格式为三段论的常用格式为 MP(M是是P)新结论新结论 SP(S是是P) 其中，其中，是是 ，它提供了一个一般性的原理；，它提供了一个一般性的原理

11、；是是 ，它指出，它指出 了了 一个特殊对象；一个特殊对象；是是 ，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断SM(S是是M)大前提大前提小前提小前提结论结论1(江苏省高考名校联考信息优化卷江苏省高考名校联考信息优化卷)已已知如下结论：知如下结论：“等边三角形内任意等边三角形内任意 一点到各边的距离之和等于此三角形的高一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将结论拓展到空间中的正，将结论拓展到空间中的正 四面四面 体体(棱长都相等的三棱锥棱长都相等的三棱锥)，可得出的正确结论是：，可得出的正确结论是：_. 答案：答案：正正四面体内任意一点到各个面的距离之和等

12、于此正四面体的高四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高2“金金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”此推理此推理 方法是方法是_ 解析解析：由特殊到一般的推理：由特殊到一般的推理 答案：答案：归纳推理归纳推理3把把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以 排成一个正三角形排成一个正三角形(如图如图)： 试求第七个三角形数是试求第七个三角形数是_ 解析：解析：第七个三角形数为：第七个三角形数为：123456728. 答案：答案：284一一切奇数都

13、不能被切奇数都不能被2整除，整除，21001是奇数，所以是奇数，所以21001不能被不能被2整除，其整除，其 演绎推理的演绎推理的“三段论三段论”的形式为的形式为_ 答案：答案：一一切奇数都不能被切奇数都不能被2整除，整除，(大前提大前提),21001是奇数，是奇数，(小小 前提前提)，21001不能被不能被2整除整除(结论结论)5函函数数f(x)由下表定义：由下表定义： 若若a11，a25，an2f(an)(nN)，则，则a2 011的值是的值是 _ 解析：解析：a11，a25，an2f(an)(nN)，a3f(a1)f(1)3， a4f(a2)f(5)1，a5f(a3)f(3)5， 由此可

14、知，数列由此可知，数列an是以是以3为周期的数列，为周期的数列，a2 011a67031a11，故应填，故应填1. 答案：答案：1x12345f(x)345211归纳推理的特点：归纳推理的特点：(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得 的结论超越了前提所包含的范围的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的立足于观察、经验或试验的基础之上的2归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同本质通过观察个别情况发现某些

15、相同本质(2)从已知的从已知的 相同性质中推出一个明确表述的一般性命题相同性质中推出一个明确表述的一般性命题解：解：在在an中中，a11，a2 ，a3 ，a4 ，所以猜想所以猜想an的通项公式的通项公式an .证明如下：因为证明如下：因为a11，an1 ，所以，所以 ，即即 ，所以所以 是以是以 1为首项，公差为为首项，公差为 的等差数列的等差数列，所以所以 ，所以通项公式，所以通项公式an .【例【例1】 在在数列数列an中，中，a11，an1 ，nN*，猜想这个数列的通项公，猜想这个数列的通项公式思路点拨：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结式思路点拨：根据已知条件和递推关

16、系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项公式归纳其中的规律，写出其通项公式 变式变式1：(江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷)将将正奇数按如图所示的规律排列，正奇数按如图所示的规律排列，则第则第21行从左向右的第行从左向右的第5个数为个数为_ 解析：解析：前前20行共有正奇数行共有正奇个个)，则第，则第21行行 从左向右的第从左向右的第5个数是第个数是第405个正奇数，所以这个数是个正奇数，所以这个数是24051809. 答案：答案：8091类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：

17、(1)找出两类事物之找出两类事物之的相似性或一致性；的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题确的命题(猜想猜想)2类比是科学研究最普遍的方法之一在数学中，类比是发现概念、方法、定理和类比是科学研究最普遍的方法之一在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段类比在数学中应用公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段类比在数学中应用广泛数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无广泛数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与

18、不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的 【例【例2】 已已知圆的方程是知圆的方程是x2y2r2(r0)，则经过圆上一点则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程的切线方程为为x0 xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆类比上述性质，可以得到椭圆1(ab0)类似的性质类似的性质 为为_ 思路点拨：思路点拨：由圆的切线方程与圆的方程的对比，猜想椭圆上一点的切线方程由圆的切线方程与圆的方程的对比，猜想椭圆上一点的切线方程 过椭圆过椭圆 上一点上一点P(x0，y0)的切线方程为的切线方程为 1.答案：答案：过过椭圆椭圆 1

19、(ab0)上一点上一点P(x0，y0)的切线方程的切线方程 1 解析：解析：圆的性质中，经过圆上一点圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的切线方程就是将圆的方程中的一个的一个x与与y分别用分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆 1类似的性质为：类似的性质为：M2与点与点N1、N2，则则三角形面积之比为：三角形面积之比为： 若从点若从点O所作的不在同一个平面所作的不在同一个平面 内的三条射线内的三条射线OP、OQ和和OR上分别有点上分别有点P1、P2与点与点Q1、Q2和和R1、R2，则类，则类似的结论为：似的结论为：_.答

20、案：答案：变式变式2：(江苏靖江调研江苏靖江调研)若若从点从点O所作的两条射线所作的两条射线OM、ON上分别有点上分别有点M1、在数学中，合情推理为我们猜想、发现新的规律提供依据和方法，演绎推在数学中，合情推理为我们猜想、发现新的规律提供依据和方法，演绎推理则用于证明这些猜想、发现是否为真，但数学结论、证明思路等的发现，理则用于证明这些猜想、发现是否为真，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理，因此，我们不仅要学会证明，而且也要学会猜想主要靠合情推理，因此，我们不仅要学会证明，而且也要学会猜想 【例【例3】 如如图图，已知已知O是是ABC内任意一点内任意一点， 连接连接AO，BO，CO，

21、并延长交并延长交 对边于对边于A，B，C，则则 . 这是平面几何中的一个结论，其证明常采用这是平面几何中的一个结论，其证明常采用“面积法面积法”： . 运用类比推理猜想，对于空间中的四面体运用类比推理猜想，对于空间中的四面体VBCD， 存在什么类似的结论，并用存在什么类似的结论，并用“体积法体积法”证明证明 思路点拨：思路点拨：将边长扩展为面积，将面积扩展为体积，即可得到一个类似将边长扩展为面积，将面积扩展为体积，即可得到一个类似的结论和证法的结论和证法解：解：如如图图，设设O为四面体为四面体VBCD内任意一点，连接内任意一点，连接VO，BO，CO，DO，并延长交并延长交对面于对面于V，B，C

22、，D.类比关系为类比关系为 . 类比平面几何中的类比平面几何中的“面积法面积法”，可用，可用“体积法体积法”来证明来证明 (其中其中h，h为两个四面体的高为两个四面体的高)，同理同理， 变式变式3：在在ABC中，中，ABAC，ADBC于于D，求证：，求证： ，那么在四，那么在四 面体面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并 说明理由说明理由证明：证明：如图如图(1)所示所示，由射影定理由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，又又BC2AB2AC2， 所以所以猜想：类比猜想：类比ABAC，ADBC猜想四面体猜想四面体ABCD中

23、，中，AB、AC、AD两两垂直，两两垂直， AE平面平面BCD，则，则如图如图(2)，连接，连接BE交交CD于于F，连接，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面平面ACD.而而AF面面ACD，ABAF.在在RtABF中，中，AEBF， 在在RtACD中中 ，AFCD， . 故猜想正确故猜想正确1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向为证明提供思路与

24、方向2合情推理的过程概括为：合情推理的过程概括为： 【规律方法总结规律方法总结】3演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行绎推理来进行4合情推理仅是合情推理仅是“合乎情理合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真但合情推理常的推理，它得到的结论不一定真但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法而演绎推常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明

25、的思路和方法而演绎推理得到的结论一定正确理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下前提和推理形式都正确的前提下)；5在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明. 【例【例4】 在平面上在平面上，设设ha，hb，hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高，P为三角形内任一为三角形内任一 点点，P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论我们可以得到结论： 把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论_ 【错因分析错因分析】从

26、平面到空间的类比时缺乏对应特点的分析，在三角形中是其内一点到各从平面到空间的类比时缺乏对应特点的分析，在三角形中是其内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于边的距离与该边上的高的比值之和等于1，类比到空间就应该是三棱锥内，类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1.本题如果不考虑比值的本题如果不考虑比值的特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比等，从而得到一些错误的类特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比等，从而得到一些错误的类比结论比结论 【答题模板答题模板】解解：设设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥分别是三棱锥A

27、BCD四个面上的高四个面上的高，P为三棱锥为三棱锥ABCD内任一点内任一点，P到相应四个面的距离分别为到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是于是我们可以得到结论我们可以得到结论： 【状元笔记状元笔记】类比推理是一种由此及彼的合情推理，类比推理是一种由此及彼的合情推理，“合乎情理合乎情理”是这种推理的特征，一是这种推理的特征，一般的解答思路是进行对应的类比，如平面上的三角形对应空间的三棱锥般的解答思路是进行对应的类比，如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面四面体体)，平面上的面积对应于空间的体积等类比推理得到的结论不一定正确，平面上的面积对应于空间的体积等类比推理得到的结论不一定正确，故这类题目在得到类比的结论后，还要对类比结论的正确性作出证明，例如故这类题目在得到类比的结论后，还要对类比结论的正确性作出证明，例如本题中在三角形中的结论是采用等面积法得到的，在三棱锥中就可以根据等本题中在三角形中的结论是采用等面积法得到的，在三棱锥中就可以根据等体积法得到，这样不但