第5章 连续系统的S域分析

1、信号与系统信号与系统第第第5-5-5-1 1 1页页页第五章第五章 连续系统的连续系统的s域分析域分析 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e2t (t) ;（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解在这一

2、章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s=+js=+j,以复指数函数以复指数函数est为基本信号，任为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分析域分析。所采用的数学工。所采用的数学工具为具为拉普拉斯变换拉普拉斯变换。信号与系统信号与系统第第第5-5-5-2 2 2页页页第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉

3、斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域二、收敛域三、三、(单边单边)拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 5.3 拉普拉斯变换逆变换拉普拉斯变换逆变换5.4 5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解二、系统函数二、系统函数三、系统的三、系统的s域框图域框图四、电路的四、电路的s域模型域模型点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统第第第5-5-5-3 3 3页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅

4、里叶变换困难。为有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子此，可用一衰减因子e- t( ( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t)，适当选取适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号 f(t) e- t 当当 t 时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于0 0 ，从，从而使而使 f(t) e- t 的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-4 4 4页页页相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为1( )e()ed2tjtbf tFj ()( )etbFjFf t ()1( )()ed2jtbf tFj 令令s = + j , d =ds/j

5、，有，有令其为令其为Fb(+j(+j) ) ，即，即()( )eed( )edtjtjtf ttf tt 于是于是( )( )d ,stbF sf t et jj1( )( )e d2jstbf tF ss 双边拉普拉斯变换对原函数象函数信号与系统信号与系统第第第5-5-5-5 5 5页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号 f(t) 的双边拉普拉的双边拉普拉斯变换存在。斯变换存在。 使使 f(t) 拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为 Fb(s) 的的收敛域收敛域。 下面举

6、例说明下面举例说明 Fb(s) 收敛域的问题。收敛域的问题。信号与系统信号与系统第第第5-5-5-6 6 6页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 ()()j100e1( )e ed1 limee()()sttstttbtFstss 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存在。时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛收敛域域收敛边收敛边界界1,Re ss 不不定定，界界，无无信号与系统信号与系统第第第5-5-5-7 7 7页页页5.

7、1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 ()00()j2e1( )eed1limee()()sttstttbtFstss ,Re 1()ss 界界不不定定，无无可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域为时，其收敛域为 Res 22211( )( ),32ftF sssRes= 33311( )( ),32ftF sss 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域！双边拉氏变换必须标出收敛域！信号与系统信号

8、与系统第第第5-5-5-101010页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 def0( )( )edstF sf tt defjj1( )( )e d( )2jstf tF sst 简记为简记为F(s)= f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)信号与系统信号与系统第第第5-5-5-111111页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉

9、普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、 (t) 1， (t) s， -2、 (t) 或或 1 1/s ， 04、指数函数、指数函数001( ),s tetss Res03、t (t) 或或 1 1/s2 ， 0若若 s0 为实数，则为实数，则1( ),Re tetss 1( ),Re tetss 若若 s0 为虚数，则为虚数，则1( ),Re 0j tetssj 1( ),Re 0j tetssj 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-121212页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 0

10、0( )( )ed ,Re stF sf tts j(j)( )edtFf tt 要讨论其关系，要讨论其关系，f(t) 必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： (1) 0-2；则则 F(j )=1/( j +2)信号与系统信号与系统第第第5-5-5-131313页页页5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(2) 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， 0(j)lim( )FF s 如如f(t)= (t)F(s)=1/s 22220001(j)limlimlimjFj = ( ) + 1/j (3) 0

11、 0，F(j )不存在。不存在。 例例 f(t) = e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变换不；其傅里叶变换不存在。存在。信号与系统信号与系统第第第5-5-5-141414页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质一、线性性质一、线性性质例例2f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 若若111( )( ),Re f tF ss 222( )( ),Re ftF ss 则则1122111112( )( )( )( ),Re max(,)a f ta fta F sa F ss 例例1 22sin()

12、,Re 0tss 22cos(),Re 0stss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-151515页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质二、尺度变换二、尺度变换若若0( )( ),Re ,f tF ss 且有实常数且有实常数a0，则有，则有01()( ),Re sf atFsaaa 例：如图信号例：如图信号 f(t) 的拉氏变换的拉氏变换2e( )(1ee)sssF sss 求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解：( )4 (0.5 )y tft 22222e( )4 2 (2 )(1e2 e)sssY sFss

13、s 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-161616页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三、时移三、时移( (延时延时) )特性特性 注意：此处注意：此处 f(t-t0) (t-t0) 是指因果信号是指因果信号 f(t) (t) 延时延时t0后的后的信号，而并非信号，而并非 f(t-t0) (t) 。若若0( )( ),Re ,f tF ss 且有正实常数且有正实常数t0，则有，则有0000() ()( ),Re stf tttteF ss 01() ()( ),Re bsasf atbatbeFsaaa 若与尺度变换相结合，则有若与尺度变换相结合，则有信号与系统信号与系统

14、第第第5-5-5-171717页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2: 求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)11( )(1e),sF ss 21( )( )F sF s 例例1: 求矩形脉冲求矩形脉冲的象函数。的象函数。1,0( )()20tf tg t ，其其他他解：解：( )()( )()2f tg ttt 1( ) ( ) ()seF sLtLts 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-181818页页页5.2 5.2 拉普拉斯变

15、换性质拉普拉斯变换性质例例3:求在求在t=0-时刻接入的周期性单位冲激序列时刻接入的周期性单位冲激序列的象函数。的象函数。0()ntnT 解：解：则由时移性质与线性性质得则由时移性质与线性性质得0()( )()()ntnTttTtnT 0()1TsnTsnLtnTee 该等比级数在该等比级数在Res0，|e-Ts|1时收敛。于是，时收敛。于是，01(),Re 01TsntnTse 注意到这里象函数的收敛于比任何一个冲激函数的收敛于注意到这里象函数的收敛于比任何一个冲激函数的收敛于都要小。都要小。信号与系统信号与系统第第第5-5-5-191919页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换

16、性质四、复频移四、复频移(s(s域平移域平移) )特性特性 若若0( )( ),Re ,f tF ss 且有复常数且有复常数 sa= a+j a ，则有，则有0( )(),Re as taaf t eF sss例例1: 求衰减的正弦函数求衰减的正弦函数e- tsin( t) (t)和衰减的余弦函数和衰减的余弦函数e- tcos( t) (t)的象函数。的象函数。解：解：22sin() ( )( ),Re 0ttF sss 22sin() ( )( ),R)e(tettFsss 22cos() (Re )( ),()tsettF sss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-202020页页页5

17、.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2: 已知因果信号已知因果信号 f(t) 的象函数的象函数2( )1sF ss 求求 e-tf(3t-2) 的象函数。的象函数。 解：解：2(1)321(32)e(1)9stsefts 例例3: f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解解:22222222( )4 24 224ssF ssss cos(2)cos(2 )cos()sin(2 )sin()444ttt信号与系统信号与系统第第第5-5-5-212121页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理） 若若0(

18、)( ),Re ,f tF ss 则有则有(1)( )( )(0 )ftsF sf (2)2(1)( )( )(0 )(0 )fts F ssff 1( )1()0( )( )(0 )nnnnmmmfts F ssf 上列各象函数的收敛域至少是上列各象函数的收敛域至少是 0Re s 若若 f(t) 为因果信号，则为因果信号，则( )0( )( ),Re nnfts F ss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-222222页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质解：解：例例1: 若已知若已知f(t)=cos(t) (t)的象函数的象函数 ，2( )1sF ss 求求sin(t)

19、 (t)的象函数。的象函数。(1)( )( )cos( )cos( )df tdtdtftttdtdtdt cos( )sin( )tttt ( )sin( )ttt 即即(1)sin( )( )( )tttft对上式取拉氏变换，并考虑到对上式取拉氏变换，并考虑到0(0 )cos( )0,tftt 得得 (1)221sin( )( )( )1011sLttLtL ftsssdcos2 ?dttdcos2( )?dttt 例例2：请思考：请思考和和信号与系统信号与系统第第第5-5-5-232323页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（

20、积分定理） ( 1)11( 1)( )( )d( )(0 )tftf xxs F ssf 若若0( )( ),Re ,f tF ss 则有则有01( )d( )ntnf xxF ss 其收敛域至少是其收敛域至少是 与与 相重叠的部分。相重叠的部分。0Re s Re 0s (因果信号因果信号)信号与系统信号与系统第第第5-5-5-242424页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1: 求三角形脉冲求三角形脉冲2,022()2,220,0,ttfttttt 的象函数。的象函数。解解：令：令 ，则，则(2)( )()2f tft ( 2)( )()2ftft 由于由于 f(t)

21、的象函数为：的象函数为：2222422( )(1)sssF seee 于是于是22( 2)2212 (1)()( )( )2seL f tL ftF sss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-252525页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质解解：由于：由于0( )d( )txxtt 可以推得可以推得例例2: 已知已知 ，利用阶跃函数的积分求，利用阶跃函数的积分求 tn (t) 的象函数。的象函数。1 ( )Lts 22001( )d( )d( )2ttxxxxxtt 3230011( )d( )d( )232ttxxxxxtt 01( )d( )!ntnxxttn则则 1

22、111( )( )!nnnLttLtnss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-262626页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 12121( )( )( )()d2jcjcjf t ftFF s 若因果函数若因果函数111( )( ),Re ,f tF ss 222( )( ),Re ,f tF ss 则则1212( )( )( )( )f tftF s F s其收敛域至少是其收敛域至少是F1(s)与与F2(s) 相重叠的部分。相重叠的部分。信号与系统信号与系统第第第5-5-5-2

23、72727页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 例例1：如图所示为：如图所示为t=0接入的有始周期性矩形脉冲接入的有始周期性矩形脉冲 f(t)，求，求其象函数。其象函数。=*解解：取有始周期函数：取有始周期函数 f(t) 在第一周期内的函数为在第一周期内的函数为 f0(t)，即，即00,0,( ),( ),0ttTf tf ttT 应用卷积定理得应用卷积定理得 000( )( )( )()1TsnF sL f tL f ttnTe 00( )( )()nf tf ttnT 则则由于由于 ，则，则01( )()2sef tg ts 1( )(1)sTsef tse 信号与系统信

24、号与系统第第第5-5-5-282828页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质八、八、s s域微分和积分域微分和积分 d( )() ( )dF st f tsd( )()( )dnnnF stf ts ( )( )sf tFdt 若若0( )( ),Re ,f tF ss 则有则有信号与系统信号与系统第第第5-5-5-292929页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：求函数：求函数 t2e- t (t) 的象函数。的象函数。解解：方法一方法一11( )F ss 1( )( )tf tet 令令 ，则，则221212( )()( )2( )()3td F s

25、tf tdt ests 由由S域微分性质，得域微分性质，得方法二方法二232( )F ss 22( )( )f ttt 令令 ，则，则222( )()2( )()3ttef tetssFt 由由S域移位性质，得域移位性质，得信号与系统信号与系统第第第5-5-5-303030页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求 f(0+) 和和 f()，而，而不必求出原函数不必求出原函数 f(t)。初值定理初值定理 设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数（即及其各阶导

26、数（即F(s)为真分式，若为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则为假分式化为真分式），则 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 终值定理终值定理 若若f(t)当当t时的极限存在，则时的极限存在，则 0()lim( )sfsF s 需要强调的是，需要强调的是，s=0的点应在的点应在sF(s)的收敛域内，否则不的收敛域内，否则不能应用终值定理！能应用终值定理！ 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-313131页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：22( )22sF sss 222(0 )lim( )lim222sssfsF sss 22002()l

27、im( )lim022sssfsF sss 例例2：22( )22sF sss 2222(0 )lim( )lim222ssssfsF sss 222( )122sF sss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-323232页页页5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 （1）查表；）查表； （2）利用性质；）利用性质； （3）部分分式展开）部分分式展开-结合；结合； 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可

28、写为 11101110.( ).mmmmnnnb sbsb sbF ssasa sa 若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分解为有分解为有理多项式理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 ( )( )( )( )B sF sP sA s信号与系统信号与系统第第第5-5-5-333333页页页5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉斯逆的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分

29、式的情形。 部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 11101110.( )( )( ).mmmmnnna sasa saB sF sA ssbsb sb 式中式中A(s)称为称为F(s)的的特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特征方程特征方程，它的根称为它的根称为特征根特征根，也称为，也称为F(s)的的固有频率固有频率（或自然频率）。（或自然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点极点。 432232328253115233( )261166116ssssssF ssssssss例如例如信

30、号与系统信号与系统第第第5-5-5-343434页页页5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（1）F(s)有单极点（单根）有单极点（单根）12112( )( ).( )niniiiniKKkKKB sF sA sssssssssss ()( )iiis sKss F s F(s)展开成如下的部分分式：展开成如下的部分分式：待定系数待定系数Ki的确定方法的确定方法或或( )()iiB sKA s 由由11e( )is tiLtss ，并利用线性性质，得原函数为：，并利用线性性质，得原函数为： 11( )( )( )ins tiif tLF sk et 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-

31、353535页页页5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（2）F(s)有共轭单极点（共轭复根有共轭单极点（共轭复根 s1,2 = j ）122122( )( )( )( )( )( )( )KKB sB sF sF sF sA ssjsjA s F(s)展开成如下的部分分式：展开成如下的部分分式：待定系数待定系数Ki的确定方法的确定方法1j111j()( )|esKss F sK 或或j1111()|e,()B sKKA s 21,KK 由由得得j21|e,KK 于是，于是，jj111|e|e( )jjKKF sss 11( )2cos() ( )tf tK ett 取逆变换，得取逆变换

32、，得信号与系统信号与系统第第第5-5-5-363636页页页5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（3）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根） 若若A(s) = 0在在s = s1处有处有r重根，即重根，即s1 = s2 = sr 。11121211112( )( )( ).( )()()()( )rrrKKKB sB sF sA sssssssA s 111111d()( )(1)!diris siKssF sis 1212112( )( )( )()( )ririiiKB sF sF sssA s 1111()( ),rs sKssF s 待定系数待定系数K1i的确定方法的确定方法

33、1121()( ),rs sdKssF sds 于是，重根部分于是，重根部分F1(s)的原函数为：的原函数为： 1111( )( )!rs tr iiiKf ttetri 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-373737页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质解解：211( )11sF sess 需要强调的是，根据已知象函数求原函数时，尽量运用需要强调的是，根据已知象函数求原函数时，尽量运用拉氏变换个各种性质和常用的变换对！拉氏变换个各种性质和常用的变换对！ 例例1：求象函数：求象函数 的原函数的原函数f(t)。21( )1seF ss (2)( )( )(2)ttf tete

34、t 例例2：求象函数：求象函数 的原函数的原函数f(t)。22( )22sF sss 解解：222222211( )(1)1(1)1(1)1ssF ssss ( )cos( )sin( )2cos() ( )4tttf tettettett 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-383838页页页5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例3：求象函数：求象函数 的原函数的原函数 f(t)。2(1)2(1)1( )(1) 1sseF sse 解解： 令令F(s-1)=F1(s)，则有，则有2212322(1)121(1)( )( )( )(1)1ssssseeeF sF sF s F

35、ssese 那么，那么，2111232121( )( )( )( )1sstseee f tf tLLf tf tse 0( )2 (1)(2)(2)mttttm 于是，于是， 0( )(2)2 (21)(22)tmf tetmtmtm 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-393939页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析 5.4 5.4 复频域复频域系统系统分析分析 拉普拉斯变换将描述系统的时域微分方程变换为拉普拉斯变换将描述系统的时域微分方程变换为s域的代数域的代数方程，同时将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中，可方程，同时将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中，可以很方便的求

36、系统的各种响应。以很方便的求系统的各种响应。信号与系统信号与系统第第第5-5-5-404040页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析 一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 ( )( )00( )( )nmijijija ytb ft 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用：用拉普拉斯变换微分特性拉普拉斯变换微分特性11()0000 ( )(0 ) ( )nnimiippjiijiipja s Y sasyb s F s 11()00000(0 )( )(

37、)( )( )( )( )( )nimippjijipjnniiiiiiasyb sM sB sY sF sF sA sA sa sa s s域的代数方程y(t)， yzi(t)， yzs(t)Yzi(s)Yzs(s)信号与系统信号与系统第第第5-5-5-414141页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始状态已知初始状态 y(0-) = 2，y(0-)= 1，激励，激励 f (t) = (t)，求系统的全响应求系统的全响应 y(t)。解：解： 微分

38、方程取拉氏变换，并整理得微分方程取拉氏变换，并整理得22(0 )(0 )3 (0 )2(3)( )( )3232syyysY sF sssss 将将 和各初始值代入上式，得和各初始值代入上式，得 1( )( )F sLts 22753( ),3212zisYsssss 22(3)1141( )3212zssYsssssss 对上两式取逆变换，得对上两式取逆变换，得2( )(53) ( ),ttziyteet 2( )(34) ( )ttzsyteet 于是，于是，( )( )( ).zizsy tytyt 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-424242页页页5.4 5.4 复频域分析复频域

39、分析例例2 上例中，若初始状态上例中，若初始状态y(0+) = 2，y(0+)= 2，求全响应，求全响应 y(t)。解：解： 若系统给出若系统给出0+值，应根据下式求得值，应根据下式求得0-值。值。( )( )( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )iiiiizizizsyyyyy 接着按上例一样的过程求解。接着按上例一样的过程求解。2( )(34) ( )ttzsyteet 由于零状态响应与初始状态无关，故其解与上例相同，即由于零状态响应与初始状态无关，故其解与上例相同，即则则 于是，于是，(0 )0,(0 )2,zszsyy (0 )(0 )(0 )2zsyyy (0 )

40、(0 )(0 )0zsyyy信号与系统信号与系统第第第5-5-5-434343页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析解：解： 方程取单边拉氏变换时，不能将已知方程取单边拉氏变换时，不能将已知0+值当做值当做0-值直接代值直接代入方程，处理方法两种：一是如例入方程，处理方法两种：一是如例2，将，将0+转换成转换成0-条件再求条件再求解；二是先求零状态响应，方程两边取拉氏变换，有解；二是先求零状态响应，方程两边取拉氏变换，有2( )4( )4( )( )3( )zszszss YssYsYssF sF s 例例3 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 4y(t) +

41、 4y(t) = f (t)+ 3 f (t)已知初始状态已知初始状态 y(0+) = 1，y(0+)= 3，激励，激励 f (t) = e-t (t)，求系统的零输入响应求系统的零输入响应yzi(t)和零状态响应和零状态响应yzs(t) 。将将 代入并整理，得代入并整理，得 1( )( )1F sL f ts 2231212( )4411(2)2zssYsssssss 取逆变换，得取逆变换，得2( )2(2) ( )ttzsytetet 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-444444页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析(0 )(0 )(0 )1(0 )(0 )(0 )2zizszi

42、zsyyyyyy 设零输入响应为设零输入响应为所以所以 ，于是，于是，(0 )0,(0 )1zszsyy 2212( )ttziziziytC eCte 将得到的零输入响应的将得到的零输入响应的0+条件代入，得条件代入，得121,4ziziCC 故故22( )(4) ( )ttziytetet 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-454545页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析例例4 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)已知初始状态已知初始状态 y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励，激励 f (t) =

43、5cost (t)，求系统的全响应求系统的全响应 y(t)。解：解： 微分方程取拉氏变换，并整理得微分方程取拉氏变换，并整理得( )( )( )( )( )( )( )( )zizsM sB sY sYsYsF sA sA s 下面从下面从s域角度讨论全响应中的自由响应与强迫响应、瞬态域角度讨论全响应中的自由响应与强迫响应、瞬态响应与稳态相应的概念。响应与稳态相应的概念。22(0 )(0 )5 (0 )2( )5656syyyF sssss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-464646页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析取逆变换，得取逆变换，得将将 和初始状态代入，得和初始状态代入

44、，得 25( )( )1sF sL f ts 2425( )( )( )(2)(3)(2)(3)1zizsssY sYsYssssss 44112143222323jjeesssssjsj 2323( )2432cos( )4ttttziyteeeett Y强迫强迫 (s)Y自由自由 (s)Yzi(s)Yzs(s)yzi(t)yzs(t)y强迫强迫 (t)y自由自由 (t)信号与系统信号与系统第第第5-5-5-474747页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析二、系统函数二、系统函数 于是，定义系统函数于是，定义系统函数H(s) 为：为： def( )( )( )( )( )zsYsB s

45、H sF sA s它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。由前推得零状态响应的象函数为：由前推得零状态响应的象函数为：( )( )( )( )zsB sYsF sA s 且由于，且由于，( )( )( )zsyth tf t ( )( )( )zsYsL h tF s 因此，系统单位冲激响应与系统函数关系为：因此，系统单位冲激响应与系统函数关系为：( )( )h tH s信号与系统信号与系统第第第5-5-5-484848页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y

46、(t) + 2y(t) + 2y(t) = f (t)+ 3 f (t)求系统的单位冲激响应求系统的单位冲激响应 h(t)。解解： 微分方程取拉氏变换，得微分方程取拉氏变换，得2( )2( )2( )( )3( )zszszss YssYsYssF sF s于是得系统函数为于是得系统函数为取其逆变换得取其逆变换得 1( )( )(cos2sin ) ( )th tLH settt 222( )33( )( )22(1)1zsYsssH sF ssss222212(1)1(1)1sss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-494949页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析例例2 已知当输入

47、已知当输入f (t)= e-t (t)时，某时，某LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 yzs(t) = (3e-t - -4e-2t + e-3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解解为求得冲激响应为求得冲激响应h(t)，应首先求得系统函数，应首先求得系统函数H(s)。由题意知，由题意知，( )2(4)42( )( )(2)(3)23zsYssH sF sssss 1( )( )1tF sL ets 3412(4)( )123(1)(2)(3)zssYsssssss 由系统函数定义得由系统函数定义得取逆变换，得系统冲激响

48、应为取逆变换，得系统冲激响应为23( )(42) ( )tth teet 系统方程？系统方程？信号与系统信号与系统第第第5-5-5-505050页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析 由系统函数的定义可知，由系统函数的定义可知，H(s)的分母、分子多项式的系数的分母、分子多项式的系数与系统微分方程的系数一一相对应！与系统微分方程的系数一一相对应！于是由于是由2( )2(4)28( )( )(2)(3)56B sssH sA sssss推得描述系统的微分方程为推得描述系统的微分方程为( )5( )6 ( )2( )8 ( )yty ty tftf t信号与系统信号与系统第第第5-5-5-51

49、5151页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析三、系统的三、系统的s域框图域框图 时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)( )( )dty tf af(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元域框图基本单元s1F(s)Y(s) = s1F(s)F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+aF(s)Y(s) = a F (s)f1(t)f(t) = f1(t)+f2(t)f2(t)+信号与系统信号与系统第第第5-5-5-525252页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析s2X(s)sX(s)X(s)例例1 如图框图，已知如图框图，已知f (t)= (t)，求冲激响

50、应，求冲激响应h(t)与零状态响应与零状态响应yzs(t)。解解 画出画出s域框图域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设右边积分器输出为设右边积分器输出为X(s)。s域的代数方程2(32)( )( )( )(3)( )zsssX sF sYssX s 对左右端加法器列出象函数方程为：对左右端加法器列出象函数方程为：消去中间变量消去中间变量X(s) ，得，得233 221 2( )( )( ) ( )3212zssYsF sH s F ssssss 取拉氏逆变换，得取拉氏逆变换，得231( )(2) ( )22ttzsyteet 式中，系统函数式中，系统函数23( ),32sH sss 于是，于

51、是，2( )(2) ( )tth teet 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-535353页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析 例例2 当例当例1所示系统的初始状态所示系统的初始状态y(0-) = 1，y(0-)= 2，求系统，求系统的零输入响应的零输入响应yzi(t)。 解解 系统函数系统函数H(s)的分母多项式的分母多项式A(s)=s2+3s+2，因而系统的零，因而系统的零输入响应满足方程：输入响应满足方程：取拉氏变换，得取拉氏变换，得2( )(0 )(0 )3( )3(0 )2( )0zizizizizizis YssyysYsyYs ( )3( )2( )0ziziziyty

52、tyt 2543( )3212zisYsssss 于是得零输入响应为于是得零输入响应为2( )(43) ( )ttziyteet 将将yzi(0-)=y(0-) = 1，yzi(0-)=y(0-)=2代入，得代入，得即即2(0 )(0 )3(0 )( )32zizizizisyyyYsss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-545454页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析 例例3 设某设某LTI系统的初始状态一定，已知当输入系统的初始状态一定，已知当输入 f(t)=f1(t)= (t)时，系统的全响应时，系统的全响应 y1(t)= 3e-t (t); 当当 f(t)=f2(t)= (

53、t)时，系统全时，系统全响应响应 y2(t)= (1+e-t) (t); 当输入当输入f(t)= t (t)时，求系统的全响应。时，求系统的全响应。 解解 对于该对于该LTI系统来说，系统来说，系统函数系统函数H(s)以及零输入响应以及零输入响应Yzi(s)确定不变。确定不变。当输入为当输入为 f1(t)= (t)时，时，F1(s)=1，故有，故有系统全响应的象函数可写为系统全响应的象函数可写为( )( )( )( )( )( )zizsziY sYsYsYsH s F s 111( )( )( )( )3ziL y tY sYsH ss 当输入为当输入为 f2(t)= (t)时，时，F2(s

54、)=1/s，故有，故有22121( )( )( )( )(1)zisL y tY sYsH sss s 将上两式联立求解得将上两式联立求解得12( ),( )11ziH sYsss 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-555555页页页5.4 5.4 复频域分析复频域分析于是，当输入为于是，当输入为 f3(t)= t (t) 时，时，F3(s)=1/s2，有，有故得系统的零状态响应为故得系统的零状态响应为( )( )( )( )ziY sYsH s F s 22211113111ssssss ( )(1) ( )tziyttet 信号与系统信号与系统第第第5-5-5-565656页页页5.4 5.4