第3章_基本形体的投影

1、应县职业技术学校应县职业技术学校23 31 1 平面体的投影平面体的投影3 32 2 曲面体的投影曲面体的投影3 33 3 平面与形体表面相交平面与形体表面相交3 34 4 直线与形体表面相交直线与形体表面相交3 35 5 两形体表面相交两形体表面相交 第三章第三章 基本形体的投影基本形体的投影3基本形体基本形体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球平面立体平面立体：由平面图形围成的立体。：由平面图形围成的立体。曲面立体曲面立体：由曲面或曲面与平面共同：由曲面或曲面与平面共同 围成的立体。围成的立体。 3 31 1 平面体的投影平面体的投影 基本几何体是由点、线、面等几何元素所构成，基本几何

2、体是由点、线、面等几何元素所构成，体的投影归根到底是点、线、面投影的综合。体的投影归根到底是点、线、面投影的综合。4abc ca bABC一个投影一个投影积聚积聚且反映底且反映底（顶）面实形，另外两（顶）面实形，另外两投影由投影由长方形长方形组合而成组合而成。（棱线平行）3 31 1 平面体的投影平面体的投影棱面棱面底面底面棱线棱线cba顶面顶面平面立体的投影平面立体的投影棱柱棱柱15棱面投影棱面投影没有积聚性没有积聚性。投影由投影由三角形三角形组成。组成。3 31 1 平面体的投影平面体的投影SABC平面立体的投影平面立体的投影棱锥棱锥2sacbcbassacb6abccabcba 注注积聚

3、性法积聚性法判别点的可见性判别点的可见性。3 31 1 平面体的投影平面体的投影在棱柱在棱柱表面表面上取点上取点mkksmks(m)sABCKS（M）平面体的投影平面体的投影棱柱棱柱17SABCcb sb s a c s b c aa 在棱锥在棱锥表面表面上取点上取点注注:辅助线法辅助线法线上定点法线上定点法3 31 1 平面体的投影平面体的投影棱锥棱锥2平面体的投影平面体的投影ME(G)e mem (g )g n g(m )nn 83 31 1 平面体的投影平面体的投影平面体上的点和直线的投影平面体上的点和直线的投影 1 1、位于棱线或边线上的点、位于棱线或边线上的点( (线上定点法线上定点

4、法) ) 当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定点法，亦可称为从属性法。 2. 2. 位于特殊位置平面上的点位于特殊位置平面上的点( (积聚性法积聚性法) ) 当点位于立体表面的特殊位置平面上时，可利用该平面的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性法。 3. 3. 位于一般位置平面上的点位于一般位置平面上的点( (辅助线法辅助线法) ) 当点位于立体表面的一般位置平面上时，因所在平面无积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上做辅助线(辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线)，求出辅助线的投影，然后再在其

5、上定点，这种方法称为辅助线法。9【例例1 1】已知四棱柱表面的折线已知四棱柱表面的折线ABCEABCE的的V V面投影面投影, ,完成完成H H、W W投影。投影。bbaecaececabBAEC( )10【例例2 2】补出挡土墙的水平投影及其表面上点的投影。补出挡土墙的水平投影及其表面上点的投影。ab(c)abacABcb113 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影 曲面的形成：一条线运动的轨迹。曲面的形成：一条线运动的轨迹。 回转曲面的形成：由一条母线（直线或曲线）绕回转曲面的形成：由一条母线（直线或曲线）绕 一条固定的直线（轴）旋转所形成的曲面。一条固定的直线（轴）

6、旋转所形成的曲面。 构成回转曲面的要素：母线和轴。构成回转曲面的要素：母线和轴。 母线：运动的线（一个曲面上只有一条）。母线：运动的线（一个曲面上只有一条）。 素线：母线的任何一个位置的轨迹（无数条）。素线：母线的任何一个位置的轨迹（无数条）。 纬圆：垂直于轴线的平面与曲面相交的圆。纬圆：垂直于轴线的平面与曲面相交的圆。 曲面立体的表达方法：用曲面在相应投影方向的最外轮廓曲面立体的表达方法：用曲面在相应投影方向的最外轮廓 线来表达曲面体的投影（曲面无棱线）。线来表达曲面体的投影（曲面无棱线）。ES123 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影圆柱圆柱113在圆柱表面上取点在

7、圆柱表面上取点ABaaabbb注注利用积聚投影求点利用积聚投影求点。3 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影圆柱圆柱114【例例3 3】已知圆柱表面的曲线已知圆柱表面的曲线ABCABC的的V V面投影面投影, ,完成完成H H、W W投影。投影。yy1babc1ab1cca152 圆锥圆锥3 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面立体的投影曲面立体的投影16sssS 在圆锥表面上取点在圆锥表面上取点E ee方法之一方法之一 :素线法素线法(e)3 32 2 曲面体的投影曲面体的投影二、曲面立体的投影二、曲面立体的投影2 圆锥圆锥17S esss方法之二方法之二 :纬圆法纬

8、圆法Ee在圆锥表面上取点在圆锥表面上取点3 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影2 圆锥圆锥(e)18【例例4 4】已知圆锥表面的点已知圆锥表面的点A A、C C的的V V面投影及面投影及B B点的点的H H面投影面投影, ,完成其它投影完成其它投影。acba(b)(c)bca19a（c）b（c）aabbc 【例例5 5】已知圆锥表面的点的一个投影已知圆锥表面的点的一个投影, ,完成其它投影。完成其它投影。20【例例6 6】已知圆锥表面的曲线已知圆锥表面的曲线ABCABC的的V V面投影面投影, ,完成其它投影。完成其它投影。yy1acbab1cab1c213 圆球圆球3

9、 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影曲面体的投影22在球表面上取点在球表面上取点M m注注纬圆法纬圆法求点求点。3 圆球圆球3 32 2 曲面体的投影曲面体的投影曲面立体的投影曲面立体的投影mm233 32 2 曲面体的投影曲面体的投影在球表面上取点在球表面上取点M mm注注纬圆法纬圆法求点求点。3 圆球圆球曲面体的投影曲面体的投影m24yy【例例7 7】已知球体表面的点已知球体表面的点M、N的的V投影投影，完成其它投影。，完成其它投影。mm(n)mn球体表面球体表面的特殊点的特殊点可利用轮可利用轮廓素线的廓素线的投影直接投影直接求出。求出。(n)25 截平面：切割立体的平面；截平

10、面：切割立体的平面； 截交线：截平面与立体表面的交线；截交线：截平面与立体表面的交线； 3 33 3 平面与形体表面相交平面与形体表面相交截平面截交线切割体截交线截断面 概述概述 截断面：由截交线围成的平面。截断面：由截交线围成的平面。 截交线的特性：共有性、封闭性截交线的特性：共有性、封闭性此问题归结为平面截切立体的问题：此问题归结为平面截切立体的问题：26 3 33 3 平面与形体表面相交平面与形体表面相交平面与平面体表面相交平面与平面体表面相交 其各条边其各条边棱面（或底面）与棱面（或底面）与截平面的交线；截平面的交线； 其各顶点其各顶点棱线（或底边）棱线（或底边）与截平面的交点与截平面

11、的交点。 ACB共有性共有性：平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的共有线，：平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的共有线， 截交线上的点是截平面与平面立体表面的共有点。截交线上的点是截平面与平面立体表面的共有点。封闭性封闭性：由于平面立体的表面都有一定的范围，：由于平面立体的表面都有一定的范围， 所以截交线通常是封闭的平面多边形。所以截交线通常是封闭的平面多边形。27 截交线的求解方法：截交线的求解方法： 平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立体的形平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立体的形状特征，又具有截平面的平面特征。因此在看图或画图时，状特征，又具有截平面的平面特征。

12、因此在看图或画图时，一般应先从反应平面立体特征视图的多边形线框出发，想象一般应先从反应平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平面立体形状并画出其投影，然后再根据截平面的出完整的平面立体形状并画出其投影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截断面的形状并画出其投影。空间位置，想象出截断面的形状并画出其投影。 平面立体上切口的画法，常利用平面特性中平面立体上切口的画法，常利用平面特性中“类似形类似形”这一这一投影特征来作图投影特征来作图。 步骤如下：步骤如下： 1、 求出平面立体的棱线与截平面之交点，如求出平面立体的棱线与截平面之交点，如立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。立体被多个平

13、面截割，应求出截平面间的交线。 2、依次连接接各点。、依次连接接各点。 3、判别可见性。、判别可见性。 4、整理轮廓线。、整理轮廓线。28【例例8 8】求截平面求截平面P与三棱柱的截交线。与三棱柱的截交线。V VP P31212313229PV注意：可见性的判别和各点的连接注意：可见性的判别和各点的连接【例例9 9】求四棱柱切割体的求四棱柱切割体的H H、W W面投影。面投影。14 342513543125230PHsabcabcsPVssabcacb注意：同一棱面上的两点才能连接。注意：同一棱面上的两点才能连接。【例例1010】求截平面求截平面P P与三棱锥的截交线。与三棱锥的截交线。123

14、1232314123431【例例1111】已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。1y2y1y2y1 12 2(3(3) )4 4(5(5) )6 66 64 45 53 31 12 21 13 32 25 54 46 632注意：切口的形成及各断面的形状。步骤：步骤：1、求截交线的投影。、求截交线的投影。2、求相邻截平面之交线。、求相邻截平面之交线。3、补全棱线的投影。、补全棱线的投影。4、判别可见性。、判别可见性。【例例1212】已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。7811 252534347878

15、PV3415266 6 QV33【例例1313】已知切割体的已知切割体的V面投影，完成其面投影，完成其H、W面投影。面投影。注意：注意： 同一棱同一棱面上的两面上的两点相连接点相连接sssabcabcba c436125 523421651356 4341234786587【例例1414】已知棱柱切割体的两投影，求已知棱柱切割体的两投影，求H面投影。面投影。步骤：步骤：1、根据、根据“三等关系三等关系”作出原形体的投影。作出原形体的投影。2、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。3、补全棱线的投影。、补全棱线的投影。1234566587431

16、235【例例1515】求作五棱柱切割体的求作五棱柱切割体的H H、W W面投影。面投影。12345145233214536【例例1616】求作五棱柱切割体的求作五棱柱切割体的H H、W W面投影。面投影。37 截交线为封闭的平面曲线截交线为封闭的平面曲线(含直素线含直素线)，或平面曲线和直线组成。，或平面曲线和直线组成。平面与曲面体表面相交平面与曲面体表面相交 3 33 3 平面与形体表面相交平面与形体表面相交 求解的方法：素线法，纬圆法求解的方法：素线法，纬圆法P特殊点特殊点P P 特殊点：轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等特殊点：轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等38平面与圆柱体表面相交平

17、面与圆柱体表面相交 根据截平面的不同位置有三种情况：根据截平面的不同位置有三种情况： 3 33 3 平面与形体表面相交平面与形体表面相交椭圆椭圆圆圆矩形矩形PPP39【例例1717】求正垂面求正垂面P P截割圆柱的截交线。截割圆柱的截交线。PV8 2 7 3 4 5 1 6 561487235 (6 )3 (4 )7 (8 )2 1 40yyyy5 3 1 2 4 9 8 7 6 【例例1818】求圆柱切割体的投影。求圆柱切割体的投影。1 2 (3 )739(5)68(4)126 (7 )4 (5 )8 (9 )41平面与圆锥体表面相交平面与圆锥体表面相交3 33 3 平面与形体表面相交平面与

18、形体表面相交P圆圆P椭圆椭圆P三角形三角形PP平行于圆锥上一条轮平行于圆锥上一条轮廓素线廓素线抛物线抛物线PP平行于圆锥上两条轮平行于圆锥上两条轮廓素线廓素线双曲线双曲线根据截平面的不同位置有五种情况根据截平面的不同位置有五种情况：42PV 【例例1919】求正垂面求正垂面P P截割圆锥的截交线。截割圆锥的截交线。124681235718642357注意：注意： 必须求出截交线必须求出截交线上的上的形状控制点形状控制点，以，以便准确确定截交线的便准确确定截交线的形状。形状。7(8)5(6)3(4)43P PW WP PH H【例例2020】求平面求平面P P截割圆锥的截交。截割圆锥的截交。3

19、1 4 5 3 4 (5 )1 (2 )143522 44【例例2121】求圆锥切割体的投影。求圆锥切割体的投影。246810975135764212(3)104(5)6(7)8(9)1 3 10步骤步骤：1、求截交线的投影。、求截交线的投影。2、求相邻截平面之交线。、求相邻截平面之交线。3、判别可见性。、判别可见性。9845【例例2222】已知圆柱切割体的正面投影，求其它两投影。已知圆柱切割体的正面投影，求其它两投影。213542345166153246注意：注意： 必须求出截交必须求出截交线上的线上的形状控制点形状控制点，以便准确确定截交以便准确确定截交线的形状。线的形状。78787846

20、【例例2323】求圆柱切割体的求圆柱切割体的H、W面投影。面投影。43211 (2 ) 3 (4 ) 1(3) 2(4) 47【例例2424】求圆柱切割体的求圆柱切割体的H、W面投影。面投影。1 (2 ) 3 (4 ) 1(3) 2(4) 432148平面与球体表面相交平面与球体表面相交 截交线为圆，但其投影可能是圆、椭圆或直线（积聚）。截交线为圆，但其投影可能是圆、椭圆或直线（积聚）。 3 33 3 平面与形体表面相交平面与形体表面相交PVRRRHRW49HP12)4(3)6(5)8(71 2 5 6 5 6 7 8 3 4 3 4 1 2 【例例2525】求铅垂面求铅垂面P与球面的截交线。

21、与球面的截交线。分析分析： 通过纬圆通过纬圆法求解，必须法求解，必须求出截交线求出截交线椭圆中各投影椭圆中各投影的的长短轴长短轴，及，及最外轮廓线上最外轮廓线上的点的点。7 8 50PV【例例2626】求正垂面求正垂面P与球面的截交线。与球面的截交线。分析： 通过纬圆法求解，必须求出截交线椭圆中各投影的长短轴及最外轮廓线上的点。7(8)6713(4)5(6)32184124352785651 【例例2727】求球切割体的投影。求球切割体的投影。12(3)6(7)87514(5)864178356423252 直线与立体表面相交所得的交点称为直线与立体表面相交所得的交点称为贯穿点贯穿点(两个两个

22、)。 贯穿点的求解方法：辅助平面法贯穿点的求解方法：辅助平面法 1. 经过已知直线作一个辅助截平面；经过已知直线作一个辅助截平面； 2. 求出此辅助截平面与已知立体的截交线；求出此辅助截平面与已知立体的截交线； 3. 确定所求截交线与已知直线的交点。确定所求截交线与已知直线的交点。 辅助截平面：一般选择投影面的垂直面辅助截平面：一般选择投影面的垂直面 3 34 4 直线与形体表面相交直线与形体表面相交贯穿点的特性及可见性的判别贯穿点的特性及可见性的判别PLMN 特殊情况特殊情况(有积聚性有积聚性)可直接求出贯穿点。可直接求出贯穿点。 可见性判别可见性判别:直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，

23、其余与直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，其余与 形体重影的线段应判别可见性，不可见的画虚线。形体重影的线段应判别可见性，不可见的画虚线。53【例例2828】求直线求直线AB与三棱锥的贯穿点。与三棱锥的贯穿点。步骤：步骤：1. 过已知直线过已知直线AB作一个辅作一个辅助截平面助截平面PV ；2. 求出求出PV与已知立体的截与已知立体的截交线；交线；3. 确定所求截交线与已知确定所求截交线与已知直线的交点直线的交点M、N。4. 判别可见性。判别可见性。123123m(n)mncsabacsbdedePV54【例例2929】求直线求直线AB与三棱柱的贯穿点。与三棱柱的贯穿点。ababmnm(n)

24、55【例例3030】求直线求直线AB与四棱椎的交点。与四棱椎的交点。babamnnPVm56aabb 【例例3131】求直线求直线ABAB与圆柱的贯穿点。与圆柱的贯穿点。nnmm57【例例3232】求直线求直线ABAB与圆锥的贯穿点。与圆锥的贯穿点。bamn(mn)a(b)58【例例3333】求直线求直线ABAB与圆锥的贯穿点。与圆锥的贯穿点。baban(m)mnPV59【例例3434】求直线求直线ABAB与球的贯穿点。与球的贯穿点。a (b)abnm(mn)60【例例3535】求直线求直线ABAB与球的贯穿点。与球的贯穿点。aab(m)bnPVmn相贯线的特性：相贯线的特性： 1. 共有性：

25、相贯线是两立体表面的交线也是其表面的分界线。共有性：相贯线是两立体表面的交线也是其表面的分界线。 2. 封闭性：相贯线一般为封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下封闭性：相贯线一般为封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下 相贯线为平面图形。相贯线为平面图形。 3 35 5 两形体表面相交两形体表面相交相贯线的分类及特性相贯线的分类及特性 两立体相交，称为相贯，其表面交线称为相贯线。两立体相交，称为相贯，其表面交线称为相贯线。 相贯的分类：相贯的分类：互贯互贯全贯全贯623 35 5 两形体表面相交两形体表面相交两平面体表面相交两平面体表面相交 相贯线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。相贯

26、线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。 求解方法：求解方法： 交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立 体棱面的贯穿点。可归结为求解直线与平面的交点。体棱面的贯穿点。可归结为求解直线与平面的交点。 交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。 连点的原则：连点的原则： 连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能 相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。 判别相贯线的可见性：判别相贯线的可见性：

27、由相贯线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相由相贯线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相 贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。63【例例3636】求两个三棱柱的相贯线。求两个三棱柱的相贯线。113242345656 E、 F、 GA、C 、BXXX（1）互贯，一组相贯线。）互贯，一组相贯线。（2）求）求A、B、F三条棱线三条棱线 的六个贯穿点。的六个贯穿点。（3）连点并判别可见性。）连点并判别可见性。（4）补全投影轮廓线。）补全投影轮廓线。cbacabacbfggeef egf 交点法：交点法：3412

28、5664【例例3636】求两个三棱柱的相贯线。求两个三棱柱的相贯线。65ge(g)fscbacbf (g)d (e)sbaesacf dd【例例3737】求三棱锥与四棱柱的相贯线。求三棱锥与四棱柱的相贯线。13PVRV123414234全贯，两组相贯线全贯，两组相贯线2664badcadcbggfeef 1235(6)123456【例例3838】求三棱锥与三棱柱的相贯线。求三棱锥与三棱柱的相贯线。67【例例3939】求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线。求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线。（1）全贯，两组相贯线。）全贯，两组相贯线。PVQV（2）四棱柱的）四棱柱的V面投影积聚。面投影

29、积聚。（3）求四棱柱的四条棱线及）求四棱柱的四条棱线及 三棱锥的三棱锥的SB棱线的棱线的10个个 贯穿点。贯穿点。（4）连点并判别可见性。）连点并判别可见性。（5）补全投影轮廓线。）补全投影轮廓线。1(7)23(8)4(9)6(10)5sabcsbca12345678910s 7 (8 )1 (3 )2 9 (10 )4 (6 )5 a (c )b 68【例例4040】求正三棱锥的贯穿孔。求正三棱锥的贯穿孔。PVQVsabcsbcas a (c )b 69【例例4141】求带穿孔的求带穿孔的四棱柱的投影图。四棱柱的投影图。1 2 3 4 1(3)241 3 2 (4 )702(1)RV【例例4

30、242】求三棱柱与三棱锥的相贯线求三棱柱与三棱锥的相贯线。egfgfscbacbg f esbaesac33124566775(4)PV1(4)2(5)36(7)71 例例4343 两平面立体相贯，完成相贯线的投影两平面立体相贯，完成相贯线的投影 123132456解题步骤解题步骤1 1分析分析 相贯线为左右两组折线相贯线为左右两组折线；相贯线的正面投影已知，水平投；相贯线的正面投影已知，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右影未知；相贯线的投影前后、左右对称对称2 2求出相贯线上的折点求出相贯线上的折点、 、 、 、 ；3 3顺次地连接各点，作出相贯线顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性

31、；，并且判别可见性；4 4整理轮廓线。整理轮廓线。45672 例例4444 两平面立体相贯，完成相贯线的投两平面立体相贯，完成相贯线的投影影 解题步骤解题步骤1 1分析分析 相贯线为一组闭合折线，相贯线相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的投影前后、左右对称。的投影前后、左右对称。2 2求出相贯线上的折点求出相贯线上的折点、 等；等；3 3顺次地连接各点，作出相贯线，并且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；判别可见性；4 4整理轮廓线。整理轮廓线。21123373平面体和曲面体表面相交平面体和曲面体表面相交 平面立体与曲面

32、立体相交，其相贯线由若干平面曲线（或与平面立体与曲面立体相交，其相贯线由若干平面曲线（或与直线段）构成的空间曲线组成。直线段）构成的空间曲线组成。 求解相贯线一般是求作：求解相贯线一般是求作： 1. 平面与曲面立体的截交线；平面与曲面立体的截交线； 2. 棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与平面立体棱面的贯穿点。棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与平面立体棱面的贯穿点。 特殊情况：特殊情况： 1. 若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。 2. 若立体在一个投影有积聚性时可借助在另一立体的表面上取点、取线若立体在一个投影有积聚性时可借助在另一立体

33、的表面上取点、取线的方法求出。的方法求出。 连点原则和相贯线可见性的判别方法同上连点原则和相贯线可见性的判别方法同上3 35 5 两形体表面相交两形体表面相交74【例例4545】求三棱柱与圆锥的相贯线。求三棱柱与圆锥的相贯线。利用在圆锥表利用在圆锥表面上取点的方面上取点的方法求解法求解112356436524631527747576【例例4646】求平面立体与曲面立体的相贯线。求平面立体与曲面立体的相贯线。利用在棱锥表面上利用在棱锥表面上取点的方法求解取点的方法求解1276135426734577【例例4747】求棱柱与圆柱的相贯线。求棱柱与圆柱的相贯线。3 (4 )5 (6 )7 11 (2 )