第3章 逻辑代数基础

1、第第3 3章章 逻辑代数基础逻辑代数基础赖祖亮赖祖亮 小木虫小木虫掌握逻辑代数的基本运算、基本定理、掌握逻辑代数的基本运算、基本定理、常用公式常用公式 掌握逻辑函数代数式的标准形式和非掌握逻辑函数代数式的标准形式和非标准形式标准形式 掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图化简化简 本章目标本章目标 逻辑代数亦称布尔代数，是英国数学家乔治逻辑代数亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（布尔（George Boole）于于1849年创立的。当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，既没有具年创立的。当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，既没有具体的物理意义，也没有现实意义。体的物理意义，

2、也没有现实意义。 进入数字时代后，其应用和价值得意体现进入数字时代后，其应用和价值得意体现 。逻辑代数是分析和设计。逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，逻辑代数研究的是输入变量与输出变量数字电路的基本数学工具，逻辑代数研究的是输入变量与输出变量之间的逻辑关系。之间的逻辑关系。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，习惯用大写字母逻辑代数中的变量称为逻辑变量，习惯用大写字母A、B、C表表示。每个逻辑变量的取值只有两种，逻辑示。每个逻辑变量的取值只有两种，逻辑0和逻辑和逻辑1，亦称二值变量。，亦称二值变量。逻辑代数中的常量，只有逻辑代数中的常量，只有0和和1。这里的数字。这里的数字0和和1不表示数

3、值的大不表示数值的大小，而是表示对立的两个状态，例如可表示开关的闭合与断开、信小，而是表示对立的两个状态，例如可表示开关的闭合与断开、信号的有和无、电平的高与低等。号的有和无、电平的高与低等。 如果高电平用如果高电平用1表示，低电平用表示，低电平用0表示，则称为正逻辑表示；如果高表示，则称为正逻辑表示；如果高电平用电平用0表示，低电平用表示，低电平用1表示，则称为负逻辑表示。如无特殊声明，表示，则称为负逻辑表示。如无特殊声明，本书均采用正逻辑表示。本书均采用正逻辑表示。 引言引言逻辑代数的化简方法逻辑代数的化简方法 逻辑代数的三个规则逻辑代数的三个规则 逻辑代数及其表示逻辑代数及其表示 逻辑代

4、数的基本定律和常用公式逻辑代数的基本定律和常用公式 逻辑代数中的基本运算逻辑代数中的基本运算 内容提要内容提要 关键术语关键术语与逻辑：与逻辑：决定某件事情的所有条件都具备时，该事件才会决定某件事情的所有条件都具备时，该事件才会发生。发生。 或逻辑：或逻辑：决定某件事情的所有条件中只要有一个条件具备，决定某件事情的所有条件中只要有一个条件具备，该事件该事件就会发生。就会发生。 3.1 逻辑代数中的基本运算逻辑代数中的基本运算 非逻辑：非逻辑：决定某件事情的条件具备时，结果反而不会发生。决定某件事情的条件具备时，结果反而不会发生。 逻辑代数中有与、或、非三种基本逻辑关系，也称为逻辑代逻辑代数中有

5、与、或、非三种基本逻辑关系，也称为逻辑代数的三种基本逻辑运算。数的三种基本逻辑运算。3.1.1 三种基本运算三种基本运算与运算与运算(串联开关模型串联开关模型)1亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灭灭断断断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 AABYABY000010100111规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0决定某件事情的所有条件都决定某件事情的所有条件都具备时，结果才会发生。这具备时，结果才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系，种因果关系称为与逻辑关系，用与运算描述。与运算又称用与运算描述。与运算又称逻辑乘，其

6、运算符为逻辑乘，其运算符为“”。 逻辑表达式及符号为：逻辑表达式及符号为：Y = A B 或或 Y = AB （与门）（与门）有有 0 出出 0全全 1 出出 1 亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灭灭断断断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A或运算或运算(并联开关模型并联开关模型)2ABY000011101111有有 1 出出 1全全 0 出出 0 规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0决定某件事情的

7、所有条件只决定某件事情的所有条件只要有一个条件具备，时间就要有一个条件具备，时间就会发生。这种因果关系称为会发生。这种因果关系称为或逻辑关系，用或运算描述，或逻辑关系，用或运算描述，或运算又称逻辑加，其运算或运算又称逻辑加，其运算符为符为“+” 。 逻辑表达式及符号为：逻辑表达式及符号为：Y = A + B （或门）（或门）灭灭合合亮亮断断灯灯Y开关开关AARY规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0AY0110决定某件事情的条件具备时，决定某件事情的条件具备时，结果反而不会发生结果反而不会发生 。这种因。这种因果关系

8、称为非逻辑关系，非果关系称为非逻辑关系，非运算描述用运算描述用 “ ” 。 非逻辑表达式及符号为：非逻辑表达式及符号为：Y = A （非门）（非门）非运算非运算(短路开关模型短路开关模型)3三种基本逻辑运算简单，容易实现。但是实际逻辑问题要比三种基本逻辑运算简单，容易实现。但是实际逻辑问题要比三种基本逻辑运算复杂得多。常把与、或、非三种基本逻辑三种基本逻辑运算复杂得多。常把与、或、非三种基本逻辑运算合理的组合起来使用，称为复合运算。常用的复合运算运算合理的组合起来使用，称为复合运算。常用的复合运算有有与非、或非、与或非、异或和同或运算与非、或非、与或非、异或和同或运算等。等。3.1.2 复合运

9、算复合运算与非运算与非运算1先与后非先与后非（与非（与非门）门）有有 0 出出 1全全 1 出出 010 001 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式逻辑符号逻辑符号逻辑真值表逻辑真值表逻辑功能逻辑功能或非运算或非运算2先或后非先或后非（或非（或非门）门）有有 1出出 0全全 0 出出110 001 1YA B00 101 0逻辑表达式逻辑表达式逻辑符号逻辑符号逻辑真值表逻辑真值表逻辑功能逻辑功能先与后或再非先与后或再非与或非运算与或非运算3异或运算异或运算4先或后非先或后非（异或（异或门）门）相异为相异为1相同为相同为000 001 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式逻

10、辑符号逻辑符号逻辑真值表逻辑真值表逻辑功能逻辑功能同或运算同或运算5（同或（同或门）门）相同为相同为1相异为相异为010 011 1YA B00 101 0逻辑表达式逻辑表达式逻辑符号逻辑符号逻辑真值表逻辑真值表逻辑功能逻辑功能异或和同或互为反函数异或和同或互为反函数2输入与门输入与门国家标准国家标准曾用标准曾用标准美国标准美国标准2输入或门输入或门非门非门与或非门与或非门逻逻辑辑符符号号对对照照3输入与非门输入与非门国家标准国家标准曾用标准曾用标准美国标准美国标准3输入或非门输入或非门异或门异或门 （同（同或非门）或非门）同或门（异同或门（异或非门）或非门）逻逻辑辑符符号号对对照照解：解：Y

11、1有有0出出0 全全1出出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出相同出 0 相异出相异出 1例例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。3.2 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式 3.2.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 11、常量、常量-常量的运算常量的运算2、常量、常量-变量的运算变量的运算AAAAAA110000111100AAA

12、AAA 请特别注意与普请特别注意与普通代数不同之处通代数不同之处3、基本定律、基本定律4、特殊定律、特殊定律 BAAB ABBA)()(BCACAB)()(CBACBAACABCBA)(BCABCABACAACABA)(交换律：交换律： 结合律：结合律： 分配律：分配律： 0 AA1 AA互补律：互补律： AAA AAAAA CBAABCCBACBA同一律（重叠律）：同一律（重叠律）： 还原律（非非律）：还原律（非非律）： 摩根定律（反演律）：摩根定律（反演律）： 111111111100解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展

13、开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B CA + BC(A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 例例 证明等式证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)3.2.1 逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式 公式公式2含义：在两个乘积项中，如果一个乘积项是另一个乘积项含义：在两个乘积项中，如果一个乘积项是另一个乘积项的因子时，则另一个乘积项是多余的。的因子时，则另一个乘积项是多余的。A +

14、AB = A 证明：证明： A + AB = A (1 + B) = A公式公式1含义：如果两个乘积项中有一个因子是互补的，而其它因子含义：如果两个乘积项中有一个因子是互补的，而其它因子都相同时，则互补因子是多余的。都相同时，则互补因子是多余的。证明：证明：公式公式4含义：在两个乘积项中，如果一项包含原变量含义：在两个乘积项中，如果一项包含原变量A，另一项包，另一项包含其反变量，而这两个乘积项的其余因子都是第三个乘机含其反变量，而这两个乘积项的其余因子都是第三个乘机项的因子时，则第项的因子时，则第3个乘积项是多余的。（也叫吸收率）个乘积项是多余的。（也叫吸收率）证明：证明：公式公式3含义：在两

15、个乘积项中，如果一个乘积项的反是另一个乘积含义：在两个乘积项中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子时，则该因子是多余的。项的因子时，则该因子是多余的。证明：证明：3.3 逻辑函数逻辑函数 3.3.1 逻辑函数的定义逻辑函数的定义 逻辑函数的特点：逻辑函数的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数的取值只有）逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和和1两种；两种；（2）逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由与、或、非三种）逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由与、或、非三种基本运算决定的。基本运算决定的。将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，当输入变量将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输

16、出的值便被唯一的确定下来。这种输的取值确定之后，输出的值便被唯一的确定下来。这种输出与输入之间的逻辑关系式，称为逻辑函数。记为：出与输入之间的逻辑关系式，称为逻辑函数。记为：式中，式中，A、B、C、D为逻辑变量，为逻辑变量，Y为逻辑函数，为逻辑函数，F为为某种对应的逻辑关系。某种对应的逻辑关系。 ),(DCBAFY 某一逻辑函数，如果逻辑变量的取值没有限制，该逻辑函某一逻辑函数，如果逻辑变量的取值没有限制，该逻辑函数称为完全描述的逻辑函数。数称为完全描述的逻辑函数。3.3.2 逻辑函数的约束条件逻辑函数的约束条件 如果逻辑变量的某些取值组合不可能出现，或某些取值组如果逻辑变量的某些取值组合不可

17、能出现，或某些取值组合使逻辑函数值不唯一，该逻辑函数称为非完全描述的逻合使逻辑函数值不唯一，该逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数或带约束条件的逻辑函数。对应的这些取值组合称辑函数或带约束条件的逻辑函数。对应的这些取值组合称为该逻辑函数的约束条件。为该逻辑函数的约束条件。如：如：8421BCD码中，码中，10101111这六种组合是不允许出现这六种组合是不允许出现的，称为约束条件。的，称为约束条件。 又如：交通灯控制系统中，黄灯亮时，若车已越过停车又如：交通灯控制系统中，黄灯亮时，若车已越过停车线，逻辑值为线，逻辑值为1，未越过停车线，逻辑值为，未越过停车线，逻辑值为0。其逻辑函数。其逻辑函数取值

18、是不唯一的。取值是不唯一的。3.4 逻辑函数的表示逻辑函数的表示 关键术语关键术语真值表：真值表：描述所有输入变量的取值组合与所对应的输出逻描述所有输入变量的取值组合与所对应的输出逻辑函数值的一种表格形式辑函数值的一种表格形式 逻辑表达式：逻辑表达式：由与、或、非三种基本逻辑运算按不同方式由与、或、非三种基本逻辑运算按不同方式组成的表达式。组成的表达式。 逻辑图：逻辑图：用逻辑门组成的能完成特定功能的逻辑电路图用逻辑门组成的能完成特定功能的逻辑电路图卡诺图：卡诺图：是一种用小方格来构成的图形。每一个小方格代是一种用小方格来构成的图形。每一个小方格代表一个最小项，表一个最小项，n变量共有变量共有

19、2n个小方格，将全部小方格按个小方格，将全部小方格按照相邻性排列起来构成最小项逻辑相邻的图形。照相邻性排列起来构成最小项逻辑相邻的图形。 3.4.1 真值表真值表真值表是描述所有变量的取值组合与对应的逻辑函数值的一真值表是描述所有变量的取值组合与对应的逻辑函数值的一种表格形式。种表格形式。直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应关系，是一种十分有用的工具。关系，是一种十分有用的工具。 真值表由左右两部分组成，左边栏所有变量按真值表由左右两部分组成，左边栏所有变量按n位二进制数递位二进制数递增的方式列出，右边栏是变量取值组合对应的逻辑函数值。增的方式列出，

20、右边栏是变量取值组合对应的逻辑函数值。有约束条件的逻辑函数，约束条件对应的逻辑函数值，可用有约束条件的逻辑函数，约束条件对应的逻辑函数值，可用符号符号“”来表示。来表示。 在数字系统中，逻辑函数的真值表是唯一的，能直观、明了在数字系统中，逻辑函数的真值表是唯一的，能直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应关系。地反映输出与输入逻辑变量的对应关系。 列出真列出真值表的值表的方法：方法：(1)按按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。取值组合。(2) 分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。00000

21、111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 4 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合。值组合。的真值表。求函数例 CDABY解：三个裁判员作为三个输入变量，分别用解：三个裁判员作为三个输入变量，分别用A、B、C表示，表示，取取1表示裁判员认可，取表示裁判员认可，取0表示裁判员否决。用表示裁判员否决。用Y作为输出作为输出的逻辑函数，的逻辑函数，1表示试举成功，表示试举成功， 0表示试举失败。则表示试举失败。则 Y与与A、

22、B、C之间的逻辑关系见下表。之间的逻辑关系见下表。 例例举重比赛中有三个裁判员，规定只要有两个或两个以举重比赛中有三个裁判员，规定只要有两个或两个以上的裁判员认可，则试举成功，否则试举失败。试给出该上的裁判员认可，则试举成功，否则试举失败。试给出该“举重判决举重判决”问题的真值表。问题的真值表。ABCY000000100100011110001011110111113.4.2 逻辑代数式逻辑代数式 逻辑代数式是由与、或、非三种基本逻辑运算组成的表达式逻辑代数式是由与、或、非三种基本逻辑运算组成的表达式 。例如上述例如上述 “举重判决举重判决”问题的逻辑代数式可表示为：问题的逻辑代数式可表示为：

23、 逻辑函数的代数式不是唯一的，一般分为标准式和非标准式逻辑函数的代数式不是唯一的，一般分为标准式和非标准式两大类。其中标准式主要有标准与或式和标准或与式两种。两大类。其中标准式主要有标准与或式和标准或与式两种。ABCCABCBABCAYBCACABY)()()(CBACBACBACBAY上述各式中，上述各式中， 、 等称为与项（亦称为乘积项）等称为与项（亦称为乘积项） 、 等称为或项（亦称为相加项）。等称为或项（亦称为相加项）。ABBCA)(CBA)(CBA标准与或式标准与或式最小项表达式最小项表达式 1在在n变量的逻辑函数表达式中，如果一个与项包含变量的逻辑函数表达式中，如果一个与项包含n个

24、个变量，每个变量均以原变量或反变量的形式出现，且变量，每个变量均以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，这样的与项称为最小项。仅出现一次，这样的与项称为最小项。n个变量最多个变量最多可以组成可以组成2n个最小项。个最小项。 为了使用方便，需要将最小项进行编号，常用为了使用方便，需要将最小项进行编号，常用 mmi i 表示。表示。下标下标 i 的编号规则：的编号规则：将每个最小项中的原变量记为将每个最小项中的原变量记为1，反变量记为反变量记为0，构成一个，构成一个n位二进制数，与这个二进制位二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数就是最小项数相对应的十进制数就是最小项下标下标 i 的编号。的编

25、号。 （1）最小项的定义及编号）最小项的定义及编号例如例如:三个变量（三个变量（A,B,C）最多可以组成八个最小项）最多可以组成八个最小项 如何编号？如何编号？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项？合写出相应最小项？简记符号简记符号例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210 将输入变量将输入变量取值为取值为 1 的代的代以原变量，取以原

26、变量，取值为值为 0 的代以的代以反变量，则得反变量，则得相应最小项。相应最小项。 最小项的基本性质最小项的基本性质 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACB

27、ACBABCACBACBACAB 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 全部由最小项相或组成的逻辑函数表达式称为最小项表达全部由最小项相或组成的逻辑函数表达式称为最小项表达式，亦称为标准式，亦称为标准与与或式。任何一个逻辑函数都可以表示为或式。任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和。下面是一个标准与或式最小项之和。下面是一个标准与或式（2）标准与或式）标准与或

28、式 注意：标准与或式中注意：标准与或式中输入变量的排列顺序输入变量的排列顺序非常重要，排列顺非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。 由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，逻辑函数的逻辑函数的真值表真值表和和标准与或式标准与或式之间存在对应的之间存在对应的转换关系转换关系。ABCCABCBABCACBAF),(一般形式一般形式 7653),(mmmmCBAF)

29、7 , 6 , 5 , 3(),(mCBAF简写形式简写形式 由逻辑函数的真值表直接写出标准与或式由逻辑函数的真值表直接写出标准与或式将真值表中逻辑函数值为将真值表中逻辑函数值为1对应的输入变量取值组合写为与对应的输入变量取值组合写为与项（取值组合中变量取值为项（取值组合中变量取值为0的与项用反变量表示，取值为的与项用反变量表示，取值为1的与项用原变量表示），然后将各与项相加。的与项用原变量表示），然后将各与项相加。 真值表、标准与或式之间的相互转换真值表、标准与或式之间的相互转换 由逻辑函数的标准与或式直接列出真值表由逻辑函数的标准与或式直接列出真值表将标准与或式中的与项转换为变量的取值组合

30、（与项中原将标准与或式中的与项转换为变量的取值组合（与项中原变量取值为变量取值为1，反变量取值为，反变量取值为0），或将标准与或式中最小），或将标准与或式中最小项编号转换成二进制数对应变量的取值组合，然后在真值项编号转换成二进制数对应变量的取值组合，然后在真值表中，将这些变量的取值组合对应的逻辑函数值填表中，将这些变量的取值组合对应的逻辑函数值填1，其，其余的变量取值组合对应的逻辑函数值填余的变量取值组合对应的逻辑函数值填0。以以“举重判决举重判决”的逻辑函数的真值表为例，直接写出其标准与或式的逻辑函数的真值表为例，直接写出其标准与或式( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项。的项。(

31、 (2) )将这些项中输入变量将这些项中输入变量取值为取值为 1 的用原变量代替的用原变量代替， 取值取值为为 0 的用反变量的用反变量代替，则得到一系列与项。代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些将这些与项相加与项相加即得逻辑式。即得逻辑式。真值表真值表标准标准 与或式与或式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为逻辑式为 标准或与式标准或与式最大项表达式最大项表达式 2在在n个变量的逻辑函数表达式中，如果或项包含个变量的逻辑函数表达式中，如果或项包含n个变量，个变量，而且这而且这n个变量均以原变量或反变量的形式

32、在或项中出现，个变量均以原变量或反变量的形式在或项中出现，且仅出现一次，则称该或项为最大项。且仅出现一次，则称该或项为最大项。n个变量最多可以个变量最多可以组成组成2n个最大项个最大项 为了使用方便，需要将为了使用方便，需要将n个变量构成的最大项进行编号，个变量构成的最大项进行编号，通常用通常用 Mi 表示最大项。表示最大项。最大项的下标最大项的下标i的编号规则：的编号规则：将每个最大项中的原变量记为将每个最大项中的原变量记为0，反变量记为，反变量记为1，构成一个，构成一个n位二进制数，则与这个二进位二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数就是最大项的制数相对应的十进制数就是最大项的下标下标

33、 i 的编号。的编号。 （1）最大项的定义及编号）最大项的定义及编号将输入变量取将输入变量取值为值为 0 的代以的代以原变量，取值原变量，取值为为 1 的代以反的代以反变量，则得相变量，则得相应最大项。应最大项。如何编号？如何编号？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项？合写出相应最小项？简记符号简记符号例如例如 M7M6M5M4M3M2M1M0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数765432101 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最大项最大项A B CCBACBACBACBACBACBACBACBACBA0113M3CBA10

34、04M4例如例如:三个变量（三个变量（A,B,C）最多可以组成八个最大项）最多可以组成八个最大项 全部由最大项相与组成的逻辑函数表达式称为最大项表达全部由最大项相与组成的逻辑函数表达式称为最大项表达式，亦称为标准或与式。任何一个逻辑函数都可以表示为式，亦称为标准或与式。任何一个逻辑函数都可以表示为最大项之积。下面是一个标准或与式最大项之积。下面是一个标准或与式（2）标准或与式）标准或与式 注意：标准或与式中注意：标准或与式中输入变量的排列顺序输入变量的排列顺序非常重要，排列顺非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排

35、列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。 由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，逻辑函数的逻辑函数的真值表真值表和和标准或与式标准或与式之间存在对应的之间存在对应的转换关系转换关系。4210),(MMMMCBAF)4 , 2 , 1 , 0(),(MCBAF)()()(CBACBACBACBAY可以简写为：可以简写为：或或 由逻辑函数的真值表直接写出标准或与式由逻辑函数的真值表直接写出标准或与式将真值表中逻辑函数值为将真值表中逻辑函数值为0对应的输入变量取值组合写为或项（其对应

36、的输入变量取值组合写为或项（其中变量取值为中变量取值为1的或项中用反变量表示，取值为的或项中用反变量表示，取值为0的或项中用原变的或项中用原变量表示），然后将各或项相与；或者根据真值表直接写出逻辑值量表示），然后将各或项相与；或者根据真值表直接写出逻辑值为为0的最大项（的最大项（Mi）之积的形式，即为标准或与式。）之积的形式，即为标准或与式。真值表、标准或与式之间的相互转换真值表、标准或与式之间的相互转换 由逻辑函数的标准与或式直接列出真值表由逻辑函数的标准与或式直接列出真值表将标准或与式中的或项转换为变量的取值组合（原变量取值为将标准或与式中的或项转换为变量的取值组合（原变量取值为0，反变量

37、取值为反变量取值为1），或标准或与式中最大项编号转换成二进制数），或标准或与式中最大项编号转换成二进制数对应变量的取值组合，然后在真值表中，将这些变量的取值组合对应变量的取值组合，然后在真值表中，将这些变量的取值组合对应的逻辑函数值填对应的逻辑函数值填0，其余的变量取值组合对应的逻辑函数值，其余的变量取值组合对应的逻辑函数值填填1。以以“举重判决举重判决”的逻辑函数的真值表为例，直接写出其标准或与式的逻辑函数的真值表为例，直接写出其标准或与式真值表真值表 标准标准或与式或与式例如例如 ABC0000011110111101100110101100YCBA1110000111 反函数逻辑式为反函

38、数逻辑式为 ( (1) )找出函数值为找出函数值为 0 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值将这些项中输入变量取值为为 1 的用原变量的用原变量代替，代替， 取值取值为为 0 的用反变量的用反变量代替，则得到一系列与项。代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些与将这些与项相加项相加即得逻辑式即得逻辑式 Y Y 。( (4) ) 然后由反演规则得出逻辑式然后由反演规则得出逻辑式 Y Y )(CBACBAY则逻辑式则逻辑式实质上就是找出函数值为实质上就是找出函数值为0 0的项，将这些项中输入变量取的项，将这些项中输入变量取值为值为1 1的用反变量代替，取值为的用反变量代替，取值为0

39、 0的用原变量代替，则得到的用原变量代替，则得到一系列或项。将这些或项相与即得逻辑式一系列或项。将这些或项相与即得逻辑式 。CBACBA同一组变量下标编号相同的最大项和最小项应为互补，即同一组变量下标编号相同的最大项和最小项应为互补，即（3）同一组变量的最大项与最小项之间关系）同一组变量的最大项与最小项之间关系 iiiiMmmM_例如：例如：22MCBACBAm44mCBACBAM由于逻辑函数的标准与或式和标准或与式都是唯一的，因此，由于逻辑函数的标准与或式和标准或与式都是唯一的，因此，同一逻辑函数的标准与或式和标准或与式之间可互相转换。同一逻辑函数的标准与或式和标准或与式之间可互相转换。由逻

40、辑函数的由逻辑函数的标准与或标准与或式转换成式转换成标准或与式标准或与式的方法：的方法：直接将逻辑直接将逻辑函数的标准与或式中没有的最小项编号作为标准或与表示式中有函数的标准与或式中没有的最小项编号作为标准或与表示式中有最大项的编号，最大项的编号，便得到该逻辑函数的标准或与表示式，反之亦然。便得到该逻辑函数的标准或与表示式，反之亦然。例如：例如：“举重判决举重判决”的逻辑函数的标准与或表示式为的逻辑函数的标准与或表示式为 )7 , 6 , 5 , 3(),(mCBAF则标准或与表示式为则标准或与表示式为 ？ A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101

41、 1 011 1 10m0m2m4m6（1）找出真值表中）找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，对应的最小项，M1M3M5M7解：解：（2）找出真值表中）找出真值表中 Y = 0 对的对的最大项，则标准或最大项，则标准或 - 与式为与式为)7 , 5 , 3 , 1 (),(MCBAY)6 , 4 , 2 , 0(),(mCBAY则标准与则标准与 - 或式为或式为同一逻辑函数，在标准与同一逻辑函数，在标准与 - 或式中已有的最小项编号，则在或式中已有的最小项编号，则在标准或标准或 - 与式中的最大项序号恰好是没有的最小项编号。与式中的最大项序号恰好是没有的最小项编号。例例 已知逻辑函数已知逻

42、辑函数 Y 的真值表如下，试给出标准与的真值表如下，试给出标准与 - 或式和标准或或式和标准或 - 与式。与式。同一个逻辑函数除了用标准与或式和标准或与式描述外，还同一个逻辑函数除了用标准与或式和标准或与式描述外，还可以用其它类型的逻辑式描述可以用其它类型的逻辑式描述(统称非标准式统称非标准式)。常见的非标准。常见的非标准式有与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式。式有与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式。 逻辑函数的非标准式逻辑函数的非标准式 3下面为各表达式之间的转换。下面为各表达式之间的转换。BCABACBAF),(BCABACBAF),(BCABA与或表示式与或表

43、示式与非与非-与非表示式与非表示式 逻辑表达式之间的转换逻辑表达式之间的转换)(),(CBABACBAFCBABCABAABCABAABCABA)()(BACABA或与表示式或与表示式 )()(),(BACABACBAFBACABA或非或非表示式或非或非表示式 ABCABACBAF),(与或非表示式与或非表示式 练习：将逻辑函数变换为练习：将逻辑函数变换为 最小项表达式最小项表达式和最大项表达式和最大项表达式另解：先用分配律合并两个或项，求出最小项表达式，然另解：先用分配律合并两个或项，求出最小项表达式，然后根据后根据最小项表达式中缺少的编号最小项表达式中缺少的编号直接写出直接写出最大项表达式

44、最大项表达式。)(CBBAYMMMMMCBACBACBACBACCBABBCABACA)5420()()()()()()(Y5420，？例例1：将逻辑函数：将逻辑函数 变换为最大项表达式变换为最大项表达式)A)(BCAY例例2 将逻辑式将逻辑式 化为标准与化为标准与 - 或式。或式。 DCABCBAY ( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小项。，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)ABCDDCABDCABDCBADCBAY 解：解：( (1)

45、) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与 - 或式。或式。ABCBAY DC )(DCABCBA ABDCABCBA ( (2) ) 利用配项法化为标准与利用配项法化为标准与 - 或式。或式。DCABABCDDCABDCABDCBADCBA 带约束条件的逻辑函数表示式也分标准式和非标准式两大类。带约束条件的逻辑函数表示式也分标准式和非标准式两大类。 带约束条件的逻辑函数表达式带约束条件的逻辑函数表达式 4（1）标准式）标准式约束条件就是某些变量取值组合不可能出现，或者某些变量约束条件就是某些变量取值组合不可能出现，或者某些变量取值组合对应的函数值不唯

46、一，这些取值组合对应的最小项取值组合对应的函数值不唯一，这些取值组合对应的最小项称为约束项，亦称无关项。为了使用方便，需要将约束项进称为约束项，亦称无关项。为了使用方便，需要将约束项进行编号，常用行编号，常用 表示。约束项表示。约束项下标下标 i 的编号规则类似最小的编号规则类似最小项下标项下标i的编号规则。的编号规则。id例例某四变量逻辑函数，其中变量某四变量逻辑函数，其中变量A、B、C、D为表示为表示1位十进制数位十进制数X的的8421BCD码，当码，当4X8时，逻辑函数时，逻辑函数Y为为1；否则；否则Y为为0。试列出该逻辑函数的真。试列出该逻辑函数的真值表，并给出具有无关项逻辑函数的标准

47、与或式。值表，并给出具有无关项逻辑函数的标准与或式。解：由于变量解：由于变量A、B、C、D取值为取值为8421BCD码，码，10101111取值组合不可取值组合不可能出现，有已知条件能出现，有已知条件4X8时，逻辑函数时，逻辑函数Y为为1列出该逻辑函数的真值表，列出该逻辑函数的真值表，由真值表写出对应的则具有无关项逻辑函数的简写标准与或式：由真值表写出对应的则具有无关项逻辑函数的简写标准与或式： A B C D Y0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0

48、1 1 0 11 1 1 01 1 1 10000111110由真值表写出对应的则具有无关由真值表写出对应的则具有无关项逻辑函数的简写标准与或式：项逻辑函数的简写标准与或式： )8 , 7 , 6 , 5 , 4(),(mDCBAF)15,14,13,12,11,10(d（2）非标准式）非标准式逻辑代数中的约束条件可以与逻辑函数分开，称约束条逻辑代数中的约束条件可以与逻辑函数分开，称约束条件的非标准表示式。件的非标准表示式。 对上述例子四变量（对上述例子四变量（A,B,C,D）的约束条件分析，可得）的约束条件分析，可得出：出： A、B都取都取1，而，而C、D任意取任意取0或或1的四种组合不可的

49、四种组合不可能出现；能出现；A取取1，B取取0， C取取1，D任意取任意取0或或1的两种组的两种组合不可能出现。合不可能出现。则带约束条件的非标准式可表示为：则带约束条件的非标准式可表示为：( , , ,)(4,5,6,7,8)0F A B C DmABABC逻辑图就是实现逻辑运算的电路图，每一个逻辑运逻辑图就是实现逻辑运算的电路图，每一个逻辑运算符号在逻辑电路中就是一个最基本的单元电路，算符号在逻辑电路中就是一个最基本的单元电路，称为门电路。称为门电路。 3.4.3 逻辑图表示逻辑图表示 “举重判决举重判决”的与或逻辑表达式对应的逻辑图如下：的与或逻辑表达式对应的逻辑图如下： &YABC1运

50、算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现。运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现。根据逻辑式画逻辑图的方法根据逻辑式画逻辑图的方法: :将各级逻辑运算用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。相应逻辑门去实现。 例如例如 画画 的逻辑图的逻辑图 反变量用非门实现反变量用非门实现 与项用与门实现与项用与门实现 相加项用或门实现相加项用或门实现 例例 图示为控制楼道照明的开关电路。两图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关个单刀双掷开关 A 和和 B 分别安装在楼上和楼分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下

51、楼后关灯。反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。 ( (1) ) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表11YA B000 01 10 11 0( (2) ) 根据真值表写出逻辑式根据真值表写出逻辑式解：解：方法：方法：找出输入变量和输出函数，找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。然后根据逻辑关系列出真值表。 设开关设开关 A、B合向左侧时为合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为状态，合向右侧时为 1 状态；状态；Y 表表示灯，灯亮

52、时为示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时状态，灯灭时为为 0 状态。则可列出真值表为状态。则可列出真值表为( (3) ) 画逻辑图画逻辑图 与或表达式与或表达式( (可用可用 2 个非门、个非门、 2 个与门和个与门和 1 个或门实现个或门实现) )异或非表达式异或非表达式( (可用可用 1 个异个异或门和或门和 1 个非门实现个非门实现) ) BAABY BA = B 同一逻辑功能有不同逻辑表达式，即有不同逻辑电路。设同一逻辑功能有不同逻辑表达式，即有不同逻辑电路。设计逻辑电路的基本原则是使电路最简，即找到最简逻辑表达式。计逻辑电路的基本原则是使电路最简，即找到最简逻辑表达式。如果两个最小项中只

53、有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。3.4.4 卡诺图表示卡诺图表示 卡诺图的标准形式卡诺图的标准形式1卡诺图（卡诺图（Karnaugh Map）是一种用小方格来构成的图形。）是一种用小方格来构成的图形。n个变量个变量的函数，有的函数，有2n个最小项，每一个小方格代表一个最小项，个最小项，每一个小方格代表一个最小项， 将全部小将全部小方格按照相邻性排列起来就构成了方格按照相邻性排列起来就构成了n变量的卡诺图。变量的卡诺图。小方格的几何位置的规定：将全部变量按

54、顺序分成两组，每组变量小方格的几何位置的规定：将全部变量按顺序分成两组，每组变量按循环码取值排列。按循环码取值排列。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项重相邻最小项重要特点要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。消去互反变量，化简为相同变量相与。 AB ABC ABCD0 00 11 11 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 00000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011

55、00024个变量的循环码个变量的循环码 （2）二变量卡诺图）二变量卡诺图 二变量二变量A、B共有共有22 = 4个最小项，因此卡诺图由个最小项，因此卡诺图由4个小个小方格构成。方格构成。将变量分成两组，用每一列和每一行上的将变量分成两组，用每一列和每一行上的1和和0组成的组成的循环码分别表示两组变量循环码分别表示两组变量A、B对应的取值，则列和行对应的取值，则列和行相交方格的最小项编号就是这些变量取值组合对应的相交方格的最小项编号就是这些变量取值组合对应的最小项编号。最小项编号。AB010 10 00 11 01 10 0AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABAB

56、AB（2）三变量卡诺图）三变量卡诺图 三变量三变量A、B、C共有共有23 = 8个最小项，因此卡诺图由个最小项，因此卡诺图由8个个小方格构成。小方格构成。将变量分成两组，用每一列和每一行上的将变量分成两组，用每一列和每一行上的1和和0组成的组成的循环码分别表示两组变量循环码分别表示两组变量A、BC对应的取值，则列和对应的取值，则列和行相交方格的最小项编号就是这些变量取值组合对应行相交方格的最小项编号就是这些变量取值组合对应的最小项编号。的最小项编号。 ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0变量取变量取 0 的代

57、以反变的代以反变量量,取取 1 的代以原变量，的代以原变量，相与后即得对应方格相与后即得对应方格处的最小项。处的最小项。（3）四变量卡诺图）四变量卡诺图 四变量四变量A、B、C、D共有共有24 = 16个最小项，因此卡诺图个最小项，因此卡诺图由由16个小方格构成。个小方格构成。将变量分成两组，用每一将变量分成两组，用每一列和每一行上的列和每一行上的1和和0组成组成的循环码分别表示两组变的循环码分别表示两组变量量AB、CD对应的取值，对应的取值，则列和行相交方格的最小则列和行相交方格的最小项编号就是这些变量取值项编号就是这些变量取值组合对应的最小项编号。组合对应的最小项编号。 变量取变量取 0

58、的代以反变量取的代以反变量取 1 的代以原变量，相与后即得的代以原变量，相与后即得对应方格处的最小项。对应方格处的最小项。 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD0001111000 01 11 10变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上

59、与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻由于五变量及以上的卡诺图方格数较多，在逻辑函数由于五变量及以上的卡诺图方格数较多，在逻辑函数化简中很少使用，这里不再介绍。化简中很少使用，这里不再介绍。由于任何一个逻辑函数都可以变换成最小项表达式。而由于任何一个逻辑函数都可以变换成最小项表达式。而n个变量的个变量的卡诺图包含了卡诺图包含了n个变量的所有最小项，所以个变量的所有最小项，所以n个变量的卡诺图可以个变量的卡诺图可以表示表示n个变量的逻辑函数。个变量的逻辑函数。卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示逻辑函数2（1）从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图 标准式填卡诺

60、图标准式填卡诺图对于标准与或式对于标准与或式，将逻辑函数中的最小项直接填入卡诺图，其中有，将逻辑函数中的最小项直接填入卡诺图，其中有最小项的方格填最小项的方格填1，没有最小项的方格填，没有最小项的方格填0； 对于标准或与式对于标准或与式，根据逻辑函数的标准与或表达式和标准或与表达式，根据逻辑函数的标准与或表达式和标准或与表达式之间存在对应的转换关系，将逻辑函数的标准或与式中没有的最大项之间存在对应的转换关系，将逻辑函数的标准或与式中没有的最大项编号作为标准与或表达式中有最小项的编号，直接填入卡诺图，有最编号作为标准与或表达式中有最小项的编号，直接填入卡诺图，有最小项的方格填小项的方格填1，没有