第2章 确定性时间序列模型

1、Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.阳宁光阳宁光阳宁光阳宁光阳宁光阳宁光12.1 时间序列的分解时间序列的分解 2.2 平滑方法平滑方法2.3 时间序列的确定性模型时间序列的确定性模型2.4 趋势和季节调整趋势和季节调整第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.22.1 时间序列的分解时间序列的分解一、随机过程一、随机过程1、定义：、定义： 在数学上，随机过程被定义为一组随机变量，即，在数学上，随机过程被定义为一组

2、随机变量，即， ,tz tT ，其中，其中T表示时间表示时间t的变动范围，对每个固定的时的变动范围，对每个固定的时 刻刻 t而言，而言，Zt 是一随机变量，这些随机变量的全体就构成一个是一随机变量，这些随机变量的全体就构成一个 随机过程。随机过程。 2、特征：、特征：（1）随机过程是随机变量的集合；）随机过程是随机变量的集合； （2）构成随机过程的随机变量是随时间产生的，在任意时）构成随机过程的随机变量是随时间产生的，在任意时 刻，总有随机变量与之相对应。刻，总有随机变量与之相对应。 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012

3、. All Rights Reserved.3二、随机序列（时间序列）二、随机序列（时间序列） 0, 1, 2,.t 定义：当定义：当 时，即时刻时，即时刻t只取整数时，随机只取整数时，随机 ,tz tT ,0, 1, 2,.tz t 过程过程 可写成可写成 ，此类随机过程称，此类随机过程称 为随机序列，也成时间序列。为随机序列，也成时间序列。 注：注： （1）随机序列是随机过程的一种，是将连续时间的随机过程）随机序列是随机过程的一种，是将连续时间的随机过程 （2）随机序列也是随机变量的集合，只是与这些随机变量联）随机序列也是随机变量的集合，只是与这些随机变量联 等间隔采样后得到的序列；等间隔

4、采样后得到的序列； 系的时间不是连续的、而是离散的。系的时间不是连续的、而是离散的。 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.4（1）时间序列是一系列被观察到的依时间为序排列的数据序）时间序列是一系列被观察到的依时间为序排列的数据序 时间序列的特点：时间序列的特点： （2）现实的、真实的一组数据，而不是数理统计中做实验得）现实的、真实的一组数据，而不是数理统计中做实验得 （3）动态数据。）动态数据。到的。既然是真实的到的。既然是真实的, 它就是反映某一现象的统计指标，因而，它就是反

5、映某一现象的统计指标，因而， 列。列。 时间序列背后是某一现象的变化规律。时间序列背后是某一现象的变化规律。第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.5三、时间序列分析三、时间序列分析 1 1、时间序列分时间序列分析：是一种根据动态数据揭示系统动态结构析：是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法。其基本思想：根据系统有限长度的运行记和规律的统计方法。其基本思想：根据系统有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较精确地反映序列中所包含的动录（观察数据），建立能够比较精确地反

6、映序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来进行预报（王振态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来进行预报（王振龙）龙） 2 2、理论依据：尽管影响现象发展的因素无法探求，但其结、理论依据：尽管影响现象发展的因素无法探求，但其结果之间却存在着一定的联系，可以用相应的模型表示出来，尤果之间却存在着一定的联系，可以用相应的模型表示出来，尤其在随机性现象中。其在随机性现象中。第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.6 3 3、确定性时间序列分析与随机性时间序列分析、确定性时

7、间序列分析与随机性时间序列分析 时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，并产生与之时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，并产生与之相适应的分析方法：相适应的分析方法：（1 1）长期趋势变化）长期趋势变化 受某种基本因素的影响，数据依时间变化时表现为一种确定受某种基本因素的影响，数据依时间变化时表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地增长或下降。倾向，它按某种规则稳步地增长或下降。 使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、模型拟合法使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、模型拟合法等；等；第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2

8、012. All Rights Reserved.7是我们要讲的时间序列分析。是我们要讲的时间序列分析。 受季节更替等因素影响，序列依一固定周期规则性的变化，受季节更替等因素影响，序列依一固定周期规则性的变化，又称商业循环。又称商业循环。 采用的方法：季节指数；采用的方法：季节指数；（3 3）循环变化）循环变化周期不固定的波动变化。周期不固定的波动变化。（4 4）随机性变化）随机性变化（2 2）季节性周期变化）季节性周期变化由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析方法由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析方法就就确定性变化分析确定性变化分析 趋势变化分析趋势变化分析 循环变化分析

9、循环变化分析 随机性变化分析随机性变化分析 AR、MA、ARMA模型模型 时间序列分析时间序列分析 周期变化分析周期变化分析 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.8 经济变量的时间序列通常可以分解成四部分，即：经济变量的时间序列通常可以分解成四部分，即： 长期趋势，用长期趋势，用 T （Trend）表示）表示 季节波动，用季节波动，用 S （Seasonal）表示）表示 循环波动，用循环波动，用 C （Cyclical）表示）表示 不规则波动，用不规则波动，用 e （Irreg

10、ular） 表示表示具体来说四种因素对时间序列变化的影响有二中基本假设：具体来说四种因素对时间序列变化的影响有二中基本假设： 乘积形式：乘积形式：Y=TS C I 和的形式：和的形式：Y=T + S +C + I四、时间序列的分解四、时间序列的分解 在时间序列分析中，每一个经济变量的变化，在不同时期受在时间序列分析中，每一个经济变量的变化，在不同时期受不同因素影响，经济变量的时间序列应综合地反映长期趋势因不同因素影响，经济变量的时间序列应综合地反映长期趋势因素、季节变化因素、周期变化因素、不规则变化因素各种因素素、季节变化因素、周期变化因素、不规则变化因素各种因素的影响的影响用用 Y表示某一时

11、间序列，则该序列可分解成：表示某一时间序列，则该序列可分解成： ( , )Yf T C S e 一般不考虑循环的趋势一般不考虑循环的趋势 ( , )Yf T S e 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.9ttYYY=T + S + C + IY=TS C I第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.102.2 平滑方法平滑方法 一、简单滑动平均一、简单滑动平均111t

12、ttMtiAAAAAMM At ：表示：表示t 时刻的实际数值时刻的实际数值 tA：表示对原始数据平滑后得到的数值：表示对原始数据平滑后得到的数值 Ft +1 ：表示未来一个时刻的预测：表示未来一个时刻的预测 1111tttMttiAAAFAAMM 1、公式：、公式：第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.112、平滑期数、平滑期数M的选择的选择方法一：经验判断方法一：经验判断原则：如果时间序列比较平滑或存在自相关，则使用短周期；原则：如果时间序列比较平滑或存在自相关，则使用短周期

13、； 如果时间序列没有规律或没有自相关，则使用长周期。如果时间序列没有规律或没有自相关，则使用长周期。 方法二：方法二：RSE最小原则最小原则2()ttSSEAF 误差平方和：误差平方和：21()11ttSSERSEAFNN 误差标准差：误差标准差：例例1、见、见P43例例2.2第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.12二、加权滑动平均二、加权滑动平均公式：公式：1211tttMtMAw Aw Aw A 11211ttttMtMFAw Aw Aw A 其中其中121,01Miwww

14、w wi 的确定原则：随着时间的推移，越旧的数据，重要性越低的确定原则：随着时间的推移，越旧的数据，重要性越低 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.13三、指数平滑三、指数平滑1、公式：、公式：212(1)(1)ttttAAAA 显然可得下面的递推公式：显然可得下面的递推公式：1(1)tttAAA 2、利用指数平滑对数据进行平滑和预测的步骤：、利用指数平滑对数据进行平滑和预测的步骤：（1）初始化：）初始化：（2）更新：）更新：（3）预测：）预测：11AA 1(1),2tttAA

15、At 1ttFA 显然有：显然有：11(1)tttFAF 111()tttFAF （ 为调整系数即权重）为调整系数即权重）第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.143、调整系数、调整系数的确定原则：的确定原则：例例2：见：见P47例例2.3调整系数调整系数与平滑期数与平滑期数M的关系：的关系：否则应选择较大的否则应选择较大的 。若过去很久的数据仍然对未来有若过去很久的数据仍然对未来有影响，则应选择较小的影响，则应选择较小的 ，21M 具体来说，具体来说， 一般在一般在0.1到到0

16、.5之间，如果波动明显，则选择之间，如果波动明显，则选择较小的较小的 ，如，如果平滑，则选择较大的果平滑，则选择较大的 。 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.152.3 确定性时间序列模型确定性时间序列模型 确定性时间序列模型的一般形式确定性时间序列模型的一般形式 Yt = f（t） + t 常数模型常数模型 线性趋势模型线性趋势模型 非线性趋势模型非线性趋势模型 二次趋势模型，描述抛物线型趋势变化二次趋势模型，描述抛物线型趋势变化 指数模型，描述指数增长趋势变化指数模型，描

17、述指数增长趋势变化 逻辑增长曲线模型逻辑增长曲线模型 龚珀兹增长曲线模型龚珀兹增长曲线模型 季节性模型季节性模型趋势模型趋势模型第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.16一、常数模型一、常数模型 数学模型数学模型Yt = b + t 描述具有水平型变化的时间序列，常数描述具有水平型变化的时间序列，常数 b 代表观测值围绕代表观测值围绕波动的未知水平波动的未知水平 t 是随机项，包括了对经济变量有影响的各种随机因素。是随机项，包括了对经济变量有影响的各种随机因素。 假设：假设： E

18、（ t ）= 0Var（ t ）= 2Cov（ t t -j）= 0 j 0第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.17二、线性趋势模型二、线性趋势模型 数学模型数学模型 Yt = b0 + b1t + t 具有线性趋势变化的时间序列，其观测值可以看成围绕某具有线性趋势变化的时间序列，其观测值可以看成围绕某一趋势直线（上升或下降）随机波动一趋势直线（上升或下降）随机波动 函数函数 f（t）= b0 + b1t 表示这个随时间变化的趋势直线表示这个随时间变化的趋势直线 b0 表示在表

19、示在 t = 0 时时间序列的水平时时间序列的水平 b1 表示时间序列从一个时期到另一个时期变化的平均值表示时间序列从一个时期到另一个时期变化的平均值 t 是随机项，包括了对经济变量有影响的各种随机因素。是随机项，包括了对经济变量有影响的各种随机因素。 假设：假设： E（ t ）= 0 Var（ t ）= 2Cov（ t t -j）= 0 j 0第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.18线性模型法线性模型法05010015020019811985198919931997汽车产量趋

20、势值 汽车产量直线趋势汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.19三、二次趋势模型三、二次趋势模型 描述抛物线型趋势变化的数学模型描述抛物线型趋势变化的数学模型Yt = b0 + b1t + b2 t 2 + tYtt* tYt = b0 + b1t + b2t2第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.20二次曲线二次曲线0481

21、21619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）针织内衣零售量二次曲线趋势针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.21四、时间的多项式模型四、时间的多项式模型 三次模型三次模型Yt = b0 + b1 t + b2 t 2 + b3 t 3 + t 四次模型四次模型Yt = b0 + b1t + b2 t 2 + b3 t 3 + b4t 4 + t N次模型次模型Yt = b0 + b1t + b2

22、 t 2 + + bn t n + t第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.22五、指数增长趋势变化五、指数增长趋势变化 时间序列模型时间序列模型Yt = abt t或或 Yt = K + abt tYt = aebt tYtt*第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.23指数曲线指数曲线05010015020025019811985198919931997汽车产量趋

23、势值汽车产量指数曲线趋势汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.24六、逻辑增长曲线模型六、逻辑增长曲线模型 也称也称S函数曲线（逻辑曲线）模型函数曲线（逻辑曲线）模型 该曲线的特点是某变量刚开始时，随着该曲线的特点是某变量刚开始时，随着t的增加，的增加，y的增长速的增长速度逐渐增加，当度逐渐增加，当y达到一定水平时，其增长速度又放慢，最后超达到一定水平时，其增长速度又放慢，最后超近于近于 一条渐近线一条渐近线 该方程经常用来描述某消费品

24、的生命周期的变化，可将其分该方程经常用来描述某消费品的生命周期的变化，可将其分为四个阶段，即缓慢增长为四个阶段，即缓慢增长快速增长快速增长增速放慢增速放慢相对饱和相对饱和YttK第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.25七、龚珀兹曲线七、龚珀兹曲线(Gompertz(Gompertz curve) curve) 以英国统计学家和数学家以英国统计学家和数学家 BGompertz 的名字而命名的名字而命名 一般形式为一般形式为第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyr

25、ight. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.26八、罗吉斯蒂曲线八、罗吉斯蒂曲线( (Logistic Curve)Logistic Curve) 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.27拟合趋势模型的实现步骤：拟合趋势模型的实现步骤： 第一步：根据经济理论选择变量第一步：根据经济理论选择变量 第二步：选择趋势模型的形式（画图）第二步：选择趋势模型的形式（画图） 第三步：非线性模型线性化：如第三步：非线性模型线性化：如XYab

26、 线性化为线性化为 logloglogYaXb bYaX 线性化为线性化为 ,YabZ 1ZX 第四步：对模型中的参数进行回归估计（最小二乘法）第四步：对模型中的参数进行回归估计（最小二乘法） 第五步：对估计的参数进行检验（第五步：对估计的参数进行检验（F检验，检验，t检验）检验） 第六步：预测第六步：预测第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.28九、季节性模型九、季节性模型 由时间由时间 t 的三角函数构成的季节性模型的三角函数构成的季节性模型01222sinCos1212tt

27、tYbbb 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.29 基于乘积模型的时间序列分解基于乘积模型的时间序列分解Yt = TSCI 第一步：消除时间序列中的季节因素和不规则因素第一步：消除时间序列中的季节因素和不规则因素 采用移动平均法采用移动平均法 计算移动平均值的时期等于季节波动的周期长度计算移动平均值的时期等于季节波动的周期长度 用移动平均法计算的结果是只包含长期趋势因素用移动平均法计算的结果是只包含长期趋势因素T 和循环波动因素和循环波动因素C的时间序列，即：的时间序列，即：

28、Mt = TC2.4 趋势和季节调整趋势和季节调整第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.30 第二步：计算只反映季节波动的季节指数（第二步：计算只反映季节波动的季节指数（Seasonal indices） 用移动平均值去除原时间序列中对应时期的实际值，得到用移动平均值去除原时间序列中对应时期的实际值，得到 只包含季节波动和不规则波动的时间序列，即：只包含季节波动和不规则波动的时间序列，即： Se 通常是围绕通常是围绕1随机波动的值，某个时期的值大于随机波动的值，某个时期的值大于1

29、，则该，则该 时期的季节波动大于平均水平时期的季节波动大于平均水平 季节指数是通过对时间序列季节指数是通过对时间序列 SI 计算平均值得到的，即：计算平均值得到的，即：ttYTSCeSeMTC _SSI 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.31 第三步：把长期趋势因素与循环因素分开第三步：把长期趋势因素与循环因素分开 识别长期趋势变动的类型，建立相应的确定性时间序列识别长期趋势变动的类型，建立相应的确定性时间序列 模型模型 例如，时间序列的长期趋势可以用下列模型表示例如，时间序

30、列的长期趋势可以用下列模型表示 Yt = b0 + b1t + t 用最小二乘法估计出模型中参数用最小二乘法估计出模型中参数b0 和和 b1，则长期趋势值，则长期趋势值 可以用下式计算：可以用下式计算： 反映循环因素波动的循环指数可以用下式计算反映循环因素波动的循环指数可以用下式计算01tTbb t tMTCCTT 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.32DateSEP 2 0 0 2JAN 2 0 0 2M AY 2 0 0 1SEP 2 0 0 0JAN 2 0 0 0M

31、AY 1 9 9 9SEP 1 9 9 8JAN 1 9 9 8M AY 1 9 9 7SEP 1 9 9 6JAN 1 9 9 6M AY 1 9 9 5SEP 1 9 9 4JAN 1 9 9 4M AY 1 9 9 3SEP 1 9 9 2JAN 1 9 9 2M AY 1 9 9 1SEP 1 9 9 0JAN 1 9 9 0SALES1 2 01 0 08 06 04 02 0某企业从某企业从1990年年1月到月到2002年年12月的销售数据（单位：百万元）月的销售数据（单位：百万元）从这个点图可以看出，总的趋势是增长的，但增长并不是单调上升的从这个点图可以看出，总的趋势是增长的，但

32、增长并不是单调上升的,有涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。有涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copyright. Yang ning-guang.2012. All Rights Reserved.33 经济变量的发展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋经济变量的发展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋势，也没有较大幅度的上下波动势，也没有较大幅度的上下波动 如处于市场饱和状态的产品销售量，生产过程中出现的稳如处于市场饱和状态的产品销售量，生产过程中出现的稳定的次品率。定的次品率。Ytt1、呈水平型变化的时间序列、呈水平型变化的时间序列 附录：几种时间序列附录：几种时间序列 第第2章章 确定性时间序列模型确定性时间序列模型Copy