武汉华夏理工学院《高等数学》课件-第3章导数与微分

1、Chap3 导数与微分导数与微分Descartes （15961650）Newton（16421727）Leibniz（16461716）武汉华夏理工学院高等数学导数的概念导数的概念微分微分导数与微分的运算法则导数与微分的运算法则隐函数与参数方程求导法隐函数与参数方程求导法 Chap3 1 导数的概念导数的概念3.1.1 引例1. 速度速度 设直线运动的质点t时刻的位移为s(t)，则质点在t0至t0t时间段的位移ss(t0t) s(t0), 这段时间内的平均速度平均速度.)()(000ttsttstsv质点在t0的瞬时速度瞬时速度.)()(limlim)(00000ttsttststvtt2.

2、 切线 曲线y = f (x)上有点M0 (x0, f (x0), 取点M(x, y), 引割线M0M，当M沿趋向M0时, 割线M0M的极限位置极限位置M0T称为曲线在M0的切线切线. 记xxx0, y = y y0, 则割线MM0斜率yy=f (x)xM0MT.)()(00 xxfxxfxy切线斜率切线斜率.)()(limlim0000 xxfxxfxyxx3.1.2 导数的定义1 定义 设y = f (x)在U(x0)有定义, 自变量增量x = xx0, 函数增量yf (x0+x) f (x0), 则f (x)在点x0的导数导数(微商微商)def00000()()()limlim.xxf

3、xxf xyfxxx 此时称f (x)在x0可导可导. 若极限不存在, 则称f (x)在点x0不可导不可导. 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 等价形式.dd,dd,),( 0000 xxxxxxxfxyyxy 等价表示2. 几何、物理意义 若yf (x)在点x0可导, 则曲线在点(x0, f (x0)有不平行于y轴的切线，且 f (x0)是该切线斜率切线斜率.切线方程 y f (x0) = f (x0)(xx0).法线方程 y f (x0) = (xx0), ( f (x0) 0).)( 10 xf xx0, 当 f (x0) = 0. 变速直线运动质点的瞬时速度瞬时速

4、度v(t0) = s(t0).xx0, 当 f (x0) = 3.单侧导数定义2 函数y = f (x)在x0处的左导数左导数，定义为0000()()()lim.xf xxf xfxx 试一试 右导数右导数 f(x0)的定义？命题 f (x)在x0处可导 f(x0) f(x0).例 证明: f (x) = |x| 在x = 0处不可导 (曲线的尖点).例 若 0(),fxA求hxfhxfh)()3(lim) 1 (000hhxfhxfh)()2(lim)2(0000000()()lim()()hf xhf xhfxh例 若 ?)(,0)()(lim0000 xfhhxfhxfh则4. 导函数若

5、y = f (x)在区间I 内每点有导数,在I 的闭端点有单侧导数, 则称 f (x)在区间I 可导，记为 f D(I).xfxydd,dd而f (x)称为f (x)的导(函)数, 也可记为 y(x), 例 证明下列导数公式.0)(c1()xx xxcos)(sinaaaxxln)(xxsin)(cos(e )exx 1(log )lnxaxa 1(ln )xx 3.1.3 可导与连续推论推论 若yf (x)在点x0可导，则在x0的邻域内有 连续未必可导连续未必可导 左可导 左连续；右可导 右连续00()(),lim()0, (0)0.xyfxxxxx 其中 可导必连续可导必连续 若yf (x

6、)在点x0可导，则在f (x)点x0连续.例 设f (x)在 x = 0处可导，又F(x) = (1+|sin x|)f (x). 则 f (0) = 0是F(x)在x = 0处可导的( )例 设0,sin0,e)(2xaxxbxfx在x = 0处可导，求常数a, b.(A) 充分非必要条件.(B)必要非充分条件.(C) 充要条件.(D) 既非充分又非必要条件. Chap3 2 微分微分3.2.1 微分概念对y = f (x) 考虑增量)()(xfxxfy若有增量公式)()(xoxxfy线性主部: 1)线性,2)主要部分定义定义 若y = f (x)在x处的增量可表示为 y = Ax+o(x)

7、 (常数A与x无关) 则称 f 在x处可微可微, Ax称为 f 在x处的微分微分, 记为dyA x3.2.2 可微与可导定理定理 f 在x处可微 f 在x处可导. 且 d( )( )dffxxfxx u 微商微商 函数微分与自变量微分之商dy/dx, 它等于函数的导数, 故导数也称为微商.例 求微分d cosx，d lnx.例 已知y = ex, 求微分dy|x=13.2.3 微分几何意义xyy = f (x)x0+x ydyx0y = f (x0+x)f (x0),.tan)( d00 xxxfyxx函数曲线在y轴方y轴方向的变化代替向上的变化用切线在)()()(xodfxoxxffdff

8、例 计算365xxfxfxxf)()()( 微分意味着局部线性化(线性近似)3.2.4 微分在近似计算中的应用 Chap3 3 导数与微分的运算法则导数与微分的运算法则3.3.1 导数的四则运算法则定理定理 设u(x), v(x)D(I), x I, 则1) ( ( )( )( )( );u xv xu xv x2) ( ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x22( )( ) ( )( ) ( )1( )3),.( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xv xvxv xvx 思考 微分的四则运算法则？( )( )Cu xCu

9、x例2 若1( )lim1,( ).txtf xxfxt求例1 求下列函数的导数.(1)2sinyxx(2)tanyx链法则链法则 设u = (x)在x处可导，而y = f (u)在对应于x的u处可导，则 f (x)在x处可导，且 ( ( )( )( )( ( )( ).fxf uxfxx3.3.2 复合函数的导数或xuxyf.ddddddxuufxy或 链法则: 反映复合过程 y u x例3 求下列函数的导数.例4 设可导函数f (x)不等于0，又y = ln| f (x)| , 证明2(1)sin(3)yx2(2)1yx2(3)ln(1)yxxd( )d( )yfxxf x 幂指函数的导数

10、( )( )ln( )( )eg xg xf xyf xy 对数求导法)(ln)(ln)()(xfxgyxfyxg(注 多因子相乘的函数也可用对数求导法)sinxyx例5 求的导数223e21(43)xyxx例6 求的导数u 复合函数的微分复合函数的微分 设y = f (u), u = (x), 则ddd( ( ) dd( )( )dddfuyfxxxf uxxux因为du = (x)dx, 所以dy = f (u)du. u 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性 不论u是自变量, 还是中间变量, 函数y = f (u)的一阶微分的形式一样.当u作为自变量时, 也有dy = f (u)du.例

11、7 求 的微分.2sin()exy 定理定理 设x = f (y)是单调可导函数( f (y) 0)，则它的反函数y = f 1(x)在x处可导，且.dd1dd)( 1)()(1yxxyyfxf或3.3.3 反函数的导数例8 求下列函数的导数.(1)arcsinyx(2)arctanyx3.3.4 基本导数与微分公式表 (P.120)0)(c1)(xx()lnxxaaa (e )exx axxaln1)(logxxxxsin)(coscos)(sinxx2sec)(tan2211)(arccos,11)(arcsinxxxxxx1)(ln211)(arctanxx211)cotarc(xxxx

12、2csc)(cotxxxtansec)(sec(csc )csc cotxxx Chap3 4 隐函数与参数方程求导法隐函数与参数方程求导法原则原则 方程F(x, y) = 0两端对x求导, 视y为隐函数y(x), 再解出y(x).例例1 设设y = f (x)是由方程是由方程xy +ln y = 1所确定的隐函数所确定的隐函数 (1) 求求 f (x); (2) 若若g(x) = f (ln x)ef (x), 求求g(1).3.4.1 3.4.1 隐函数的导数隐函数的导数21yyxy 21(1)ee2g 定理定理 设方程设方程x = (t), y = (t)确定函数确定函数y = y(x)

13、, 则对则对应参数为应参数为t的的x处导数处导数dd /d( ).dd /d( )yyttxxtt3.4.2 3.4.2 参数方程确定的函数的导数参数方程确定的函数的导数例例2 已知星形线的参数方程为已知星形线的参数方程为 , 试证试证: 其上任一点处的切线被坐标轴所截得的线段的长度为定值其上任一点处的切线被坐标轴所截得的线段的长度为定值.)0(sincos33ataytax 曲线的斜率是曲线的斜率是y对对x的导数的导数, 而非而非y对对t的导数的导数.3.4.3 3.4.3 极坐标方程表示的函数的导数极坐标方程表示的函数的导数 设曲线的极坐标方程为设曲线的极坐标方程为r = r(), 化为参

14、数方程化为参数方程 x = r()cos, y = r()sin, 极角为极角为的的点处点处切线斜率切线斜率d( )sin( )cos.d( )cos( )sinyrrxrr例例3 求曲线求曲线r = asin2 (a为常数为常数)在在 = /4处的切处的切线和法线方程线和法线方程.2 ,0 xyaxy切线法线 Chap3 5 导数概念在实际问题中的应用导数概念在实际问题中的应用（自学）（自学）导数表示函数对自变量的变化率，它在导数表示函数对自变量的变化率，它在物理、力学、生物、经济管理和金融等学科物理、力学、生物、经济管理和金融等学科中有重要的应用中有重要的应用.3.5.1 3.5.1 边际

15、问题边际问题 边际成本边际成本 若某产品产量为若某产品产量为q时的成本为时的成本为C(q),边际成本边际成本0()( )( )limqC qqC qC qq 表示产量为表示产量为q时时, 多生产一个产品近似增加的成本多生产一个产品近似增加的成本 边际需求边际需求 若某产品价格为若某产品价格为p时的需求量为时的需求量为Q(p),边际需求边际需求0()( )( )limpQ ppC pQ pp 通常为负通常为负: 价格上涨价格上涨, 需求下降需求下降; 价格下跌价格下跌, 需求增加需求增加.其绝对值表示价格变化一个单位其绝对值表示价格变化一个单位, 需求近似变化数量需求近似变化数量.3.5.2 3

16、.5.2 相关变化率问题相关变化率问题例例 圆锥形水池高圆锥形水池高H =10m，上底面半径，上底面半径R = 4m，10m4m注水入池，求水深注水入池，求水深5米时池中米时池中水面上升的速度水面上升的速度.以以v = 5m3/min的速度的速度 Chap3 6 高阶导数高阶导数1 定义定义 设设y = f (x)在在U(x0)可导可导, 则则f (x)在点在点x0处的处的 二阶导数二阶导数0def000( )()()limxxfxfxfxxx0022022dd(),.ddx xx xyfy xxx 二阶导数二阶导数也可记为也可记为 二阶导二阶导(函函)数数 f (x) = (f (x) 物理

17、意义物理意义 若位移为若位移为s(t), 则加速度则加速度a(t) = s(t).3.6.1 3.6.1 高阶导数的概念高阶导数的概念u 一般地, f (x)在点x0的n阶导数阶导数00(1)(1)def( )000( )()d()limdnnnnnxxx xfxfxffxxxx高阶导数高阶导数 二阶及以上的导数二阶及以上的导数. 约定约定 f (x)和和f (x)分别称为分别称为f (x)的的一阶一阶和和零阶零阶导数导数. 记号记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数阶连续导数的函数全体 C()(I): 在I上具有任意阶导数任意阶导数的函数全体.例1 设 , 其中 f 具有二阶导数,

18、求1yfx.dd22xy2 隐函数的二阶导数隐函数的二阶导数方法一方法一 由隐函数求导法隐函数求导法求出y, 再用求导法则求导法则对y关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).方法二方法二 视y为隐函数y(x), 方程两端对x求导两次求导两次, 分别解出y和y.例2 设函数y = y(x)由方程y xey =1确定, 求y(0).设方程设方程F(x,y) = 0确定隐函数确定隐函数y = y(x), 则则y的求法有的求法有:2(0)1,(0)e,(0)2eyyy3 参数方程确定的函数的二阶导数参数方程确定的函数的二阶导数223ddddd /d1( )( )( )( ).dddddd /d( )dyyytttttxxxxtxttt.dd,cos13222xytytx求设例 设方程设方程x = (t), y = (t)确定函数确定函数y = y(x), 则对应则对应参数为参数为t的的x处的二阶导数为处的二阶导数为3sincos4tt