连续型随机变量及其概率密度函数

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布有关要点回顾有关要点回顾1离散型随机变量离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量多个或无限可列个，叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律为为., 2, 1, kpxXPkk1. ,.,2 , 1, 0 kpk2. , 11 kkp（非负性）（非负性）（归一性）（归一性）其中其中 在这个意义在这个意义上，我们说上，我们说 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列，对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列， 也就知道了

2、该随机变量取值的概率规律也就知道了该随机变量取值的概率规律. 离散型随机变量由它的分布列唯一确定离散型随机变量由它的分布列唯一确定. 2. 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量. 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，所有可能取值充满一个区间， 对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样，对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布，去给出其概率分布，而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率

3、密度函数概率密度函数”的方式来描述其的方式来描述其概率分布概率分布.下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 连续型随机变量的描述方法连续型随机变量的描述方法.第三讲第三讲 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度连续随机变量连续随机变量; 密度函数及其性质密度函数及其性质;均匀、指数与正态分布均匀、指数与正态分布 设离散型随机变量设离散型随机变量X在在a, b内取内取n个值个值: x1=a, x2, x3, x4, , xn=bX即小矩形的面积为即小矩形的面积为取对应点的概率取对应点的概率小矩形宽度小矩形宽度概率概率小矩形高小矩形高 x

4、1=aPx2x3s1s2s3sn.xn=b niisbXaP1 折线下面积之和！折线下面积之和！X的概率的概率直方图：直方图：(1) 定义的引出定义的引出 若若X为连续型随机变量，由于为连续型随机变量，由于X在在a, b内连续内连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线).(xf而且：而且： )(xfdxxfSbXaPba )(1)( dxxfXPXaP.b)(xfdxxfSba )(由此推出连续由此推出连续型随机变量型随机变量的定义的定义 P(A)= 0 A = ； 12)()(xxtdtftdtf 简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度. 对于随机变量对

5、于随机变量 X 的分布函数的分布函数 F(x), 若存在非负若存在非负可积函数可积函数 f (x)，,)()( xtdtfxF使得对任意使得对任意实数实数 x，有，有 则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量， 由定义由定义称称 f (x)为为 X 的的概率密度函数概率密度函数，定义定义1(P40.定义定义) 密度函数的基本特性：密度函数的基本特性： (1) f (x) 0 ；)()()( FFtdtf= 1 - 0 1 ； (2) (3)(4) (5) = 0 判定一个函数判定一个函数 f (x) 为为某连续型随机变量的某连续型随机变量的概率密度的充要条件概率密度的充要条件独点独点概率

6、概率非负性非负性 规范性规范性 可微性可微性 概率概率公式公式 y O xy = f (x) 面积为面积为1x1 x2 ;)(21 xxtdtf 1211)()()(xxxxtdtftdtftdtf若若 f (x) 在点在点 x 处连续，处连续， 则则 ; )()(xfxF )(lim000 xxXxPx xxxxxdxf 00)(lim0P( X = x0 ) = 0 . P(aX b)= P(a X b)= P(a X b)= P(aXb ) ,)( batdtf几乎不可能事件几乎不可能事件几乎必然事件几乎必然事件 P(B)=1 B = . X 取值于取值于(x , x+ x的概率的概率=

7、其密度在此区间上的积分其密度在此区间上的积分可积可积 连续型的分布函数必连续连续型的分布函数必连续 一、一、 连续随机变量及其分布密度连续随机变量及其分布密度P(x11000)，所以，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。不可能事件。同样：同样： 必然事件的概率为必然事件的概率为1，但概率为，但概率为1的事件不一定是必然的事件不一定是必然事件。事件。. 0 aXP若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a 是不可能事件，则有是不可能事件，则有0,P Xa若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离

8、散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意Xa 不不能能确确定定是是不不可可能能事事件件连连续续型型离离散散型型 分布函数分布函数F (x) 的函数值表示随机变量的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷在右闭无穷区间区间 (, x 上的取值概率上的取值概率, 即即( )F xP Xx 只要函数只要函数 F (x) 是随机变量是随机变量 X 的分布函数的分布函数, 那就必有那就必有()F 1(),F 0( )F x01不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分连续变量的分布函数却是实轴上处处连续的函数布函数却是实轴上处处连续的函数 .要要 点点 重重

9、申申 “ 连续随机变量的点概为零连续随机变量的点概为零” , 即连续型随机变量即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零在其任一可取点处的取值概率恒等于零; 但但 “离散随机变离散随机变量的点概不尽为零量的点概不尽为零”, 因为后者在其任一可取之点处的取因为后者在其任一可取之点处的取值概率肯定不为零值概率肯定不为零.并且概率密度并且概率密度 f ( x ) 也满足所谓的归一性也满足所谓的归一性, 也就是也就是( )f x dx1 只有连续型随机变量只有连续型随机变量 X 才存在概率密度才存在概率密度 f (x), 它与它与分布函数分布函数 F (x) 的相互关系是的相互关系是(

10、)( ),xF xf t dt ( )( )dF xf x dx要要 点点 重重 申申 连续变量的点概为零说明连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零; 但概率为零的事件不尽为不可能事件但概率为零的事件不尽为不可能事件. 连续随机变量连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间在任何区间上的取值概率与区间的开闭与否无关的开闭与否无关, 它恒等于概率密度在该区间上的积分，它恒等于概率密度在该区间上的积分，即即 但离散随机变量但离散随机变量 X 在区间上的取值概率与区间的开在区间上的取值概率与区间的开与闭有关与闭有关:区间开时应去掉开点的点概区间开时应去掉开点的点概;区间

11、闭时应包括区间闭时应包括闭点的点概，例如闭点的点概，例如P x1X x2 ( )xxf x dx21P x1X x2 = F(x2) F(x1)P X = x1 P x1X x2 = F(x2) F(x1)要要 点点 重重 申申202( )230KxxXf xKxx其其它它 例例1 设设求常数求常数K解解( )1,f x dx 由性质由性质解之得解之得631K 232021Kx dxKxdx 得得xxXf xxx2602316( )23310 ，其其它它 例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度求求 常数常数A ； 概率概率 分布函数分布函数( )( )xF x

12、= f t dt| |.11110 5xPX edx |()1x fx dxAedx解解|(),xfxAe x (),2AAA 00 xxAe dxAedx.0 5 A ;11PX 10 x edx11 e( ) .F x | |.0 5xtedt,.,.00 5010 5xxxe xe 例例3 设连续随机变量设连续随机变量 X 的概率密度的概率密度解解 试求概率试求概率 (1) ; (2) .xe xfx 0.10.1,0()0,其其 它它( ) PX110()fx dx10.xdxe0 1100 1. xe0 110 . xe0 110e1() PX10022()fx dx2010.xdx

13、e0 120100 1. xe0 12010. xe0 10102 ee12PX1020PX 10.2,110,)2(;C)1(., 0, 33),9()(2 XPXPXPxxCxfX求求求常数求常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解:,d)()(11xxf由由【练习练习】得得 dxxf)(1303| )39(2xxC 302)9(2dxxC 332)9(dxxCC36 于于是是概概率率密密度度为为即即有有.361C .,),()(其它其它03393612xxxf033| )39(361 xx,21)927(361 0)2(XPdxx )9(361203 dxxf 0)(

14、 11XP 2XP.271339181103 xxdxx )9(3612210 dxx )9(361232 .27239361323 xxdxxf 11)(dxxf 2)(【练习练习】 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度., 043,2230,)( 其它其它xxxkxxf(1)确定常数确定常数;k(2)求求X的分布函数的分布函数);(xF(3)求求.2/71 XP解解 由由 , 1)(dxxf得得解得解得, 6/1 k于是于是X的概率密度为的概率密度为, 1224330 dxxkxdx设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度., 043,2230,)( 其它其它xxxkxxf

15、(1)确定常数确定常数;k【练习练习】解解由由 , 1)(dxxf得得解得解得, 6/1 k于是于是X的概率密度为的概率密度为, 1224330 dxxkxdx)(xf ,6x,22x , 030 x43 x其它其它.设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度., 043,2230,)( 其它其它xxxkxxf(2)求求X的分布函数的分布函数);(xF【练习练习】解解)(xF 4, 143,22630,60, 03030 xxdttdttxdttxxx , 0,122x,4232xx , 10 x30 x43 x4 x.设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度., 043,2230,

16、)( 其它其它xxxkxxf(3)求求.2/71 XP解解2/71 XP2/73231242121 xxx,4841 或或)1()2/7(2/71FFXP .48/41 【练习练习】 例例4 设随机变量设随机变量 K 的概率密度为的概率密度为试求方程试求方程 有实根的概率有实根的概率.1,066 k0 ,其其它它 xKxK24420 f k( ) 解解 方程要有实根方程要有实根, 则根的判别式则根的判别式0, 即有即有()()()KKKK 21616216210可见可见 K 2.K 1或或于是于是, 所求的概率为所求的概率为 (1)(2)PKK 12( )( )f k dkf k dk6210

17、6dk 4263 密度函数密度函数 例例5 连续随机变量连续随机变量X 的分布函数为的分布函数为解解 F (x)显然应是显然应是 x 的连续函数。于是，由函数在的连续函数。于是，由函数在0和和1处处的连续性即得，的连续性即得，A = B，B = 1A，可见，可见 A = B = 1/2 ； 概率概率 P X 1 / 3 = Aex ， x 0 F (x) = B ， 0 x 1 1Ae(x1)， x 1试求试求 A、B的值；的值； X 的密度函数；的密度函数； P X1 / 3 。1 P X 1 / 3 = 1 F (1 / 3)= 11 / 2 = 1 / 2. ex / 2， x 0 0

18、， 0 x 1 e(x1) / 2 ， x 1 )()(xFxf.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 【练习练习】),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, )(lim)(xFaFax ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF

19、 所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa = 例例6 某药品的有效期某药品的有效期 X 以天计算，其概率密度为以天计算，其概率密度为 解解 分布函数分布函数 20000 / ( x100 )3， x 0 f (x) = 0， 其它其它试求试求 X的分布函数；的分布函数； 有效期至少为有效期至少为200天天 的概率。的概率。0,0 x dt x 0,0 x 210000,0(100) 0 x xt ( )( )

20、xF xf t dt 3020000,0(100)xdt xt = = 0,0 x 2100001,0(100) xx 有效期至少为有效期至少为200天天 的概率的概率 P X 200 =1 P X 200 = 1 P X 200 = 1 F (200) = 1 / 9. () 21000011200 100分布函数法分布函数法 例例6 某药品的有效期某药品的有效期 X 以天计算，其概率密度为以天计算，其概率密度为 20000 / ( x100 )3， x 0 f (x) = 0， 其它其它试求试求 X的分布函数；的分布函数； 有效期至少为有效期至少为200天天 的概率。的概率。 有效期至少为

21、有效期至少为200天天 的概率的概率= 1 / 9. 210000300密度函数法密度函数法320020000(100)dx x P X 200 =()x210000200100 例例6 某药品的有效期某药品的有效期 X 以天计算，其概率密度为以天计算，其概率密度为 20000 / ( x100 )3， x 0 f (x) = 0， 其它其它试求试求 X的分布函数；的分布函数； 有效期至少为有效期至少为200天天 的概率。的概率。三、三、 三大连续分布密度三大连续分布密度 指数分布指数分布 E () 在寿命、可靠性与排队理论中应用广泛且富在寿命、可靠性与排队理论中应用广泛且富“无无记忆性记忆性

22、”从而赢得从而赢得 “ 永远年轻永远年轻 ” 之美誉的分布之美誉的分布. 均匀分布均匀分布 R ( a, b ) 或或 U ( a, b ) 在区间在区间 ( a , b ) 的任何子区间的任何子区间 ( c, d ) 内内, 取值概率取值概率直接等于子区间与母区间的长度比的分布直接等于子区间与母区间的长度比的分布. 正态分布正态分布 N (，2 ) 理论与实践中应用最广、且任何大容量的独立随理论与实践中应用最广、且任何大容量的独立随机变量之和必然近似服从的理论分布机变量之和必然近似服从的理论分布.三大连续分布的名称与符号三大连续分布的名称与符号 显然，不同的均匀分布是根据两分布参数显然，不同

23、的均匀分布是根据两分布参数 a 和和 b 的不同取值加以区分的。的不同取值加以区分的。 1. 均匀分布均匀分布 R ( a , b )若连续随机变量若连续随机变量 X 的密度函数具有形式的密度函数具有形式三、三、 三大连续分布密度三大连续分布密度那么就称该随机变量那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为为均匀分布变量（简称均匀量），并记为,( ),10 axbf x b a 其其它它 , XR a b特征：特征： 区间（区间（ a ， b ）上的均匀量）上的均匀量 X 落在该区间上落在该区间上 任何长度为任何长度为 l 的子区间内的概

24、率皆为的子区间内的概率皆为:Oxab 密度函数密度函数 f (x)的图象的图象f (x) llpbaba1任取子区间任取子区间),(),(balcc lcXcP .1)(abldxabdxxflcclcc 容易求出，均匀随机量容易求出，均匀随机量 X 的分布函数为的分布函数为, xaxa axbba xb01F ( x ) =分布函数分布函数F (x)的图象的图象OxF(x) a b 1F (x)=(x a) / (b a)F (x)=1F (x)=0均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后入，小数点后某一位小数引入的

25、误差，例如对小数点后第一位进某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。上的均匀分布。 再者，假定班车每隔再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上上的均匀分布的均匀分布 例例 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:00，7:15，7:30

26、, 7:45 等时刻有汽车到达此站，等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀之间的均匀随机变量随机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意，以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位其它其它,)(0300301xxf .30,0 RX 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：30251510XPXP3130130130

27、251510dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，例例 设随机变量设随机变量XR1, 6 ，求一元二次方程，求一元二次方程 t 2+Xt +1= 0有实根的概率。有实根的概率。 解解 当当=X2-40时，方程有实根。所求概率为时，方程有实根。所求概率为P XP XXP XP X2(40)(22)(2)(2) 或或而而X的密度函数为的密度函数为1,16,( )50,xf x 其其它它. .662214(2)( )

28、55P Xf x dxdx (2)0P X 24(40)5P X 从而从而另解另解22(40)1(40)P XP X1( 22)PX 22211141( )11555f x dxdx xf x1,16,( )50, 其其它它. .例例 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布，现对上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于试求至少有两次观测值大于3 的的概率概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其其他他xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 ”, Y 表示表示3次独次独立观测

29、中观测值大于立观测中观测值大于3的次数的次数.解解)(3XPAP由由于于,32d3153 x则则.,323bY2 YP.2720 因而有因而有 32132232033213233 显然，不同的指数分布仅靠一个分布参数显然，不同的指数分布仅靠一个分布参数 的不的不同取值相互区分。同取值相互区分。 2. 指数分布指数分布 E（） 三、三、 三大连续分布密度三大连续分布密度若连续随机变量若连续随机变量 X 的密度函数具有形式的密度函数具有形式那么就称该随机变量那么就称该随机变量 X 服从指数分布，也称服从指数分布，也称 X为指数分布变量（简称指数量），并记为为指数分布变量（简称指数量），并记为,0(

30、 )(0)0 ,xe xf x 其其中中其其它它( )XEOx 指数分布指数分布 密度函数密度函数 的图象的图象 指数分布指数分布 分布函数分布函数 y =F (x) 的图象的图象OxF(x) 1( ),xyF xxe x 0100( )f x,( ),xxeyf xx000( )yf x 当产品的失效是偶然失效时其寿命服从指数分布当产品的失效是偶然失效时其寿命服从指数分布. 在排队论中它被在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等务时间、等待时间等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维

31、修时在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间间. 指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况. 有些系统的有些系统的寿命分布也可用指数分布来寿命分布也可用指数分布来近似近似, 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间. 如如电子电子产品或动物寿命的分布产品或动物寿命的分布, 一般地一般地, 当随机质点流在长当随机质点流在长 t 的时间内出现的质点数服从参数为的时间内出现的质点数服从参数为 t 的泊松分布时的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指的指数分

32、布数分布. 电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布，的指数分布，(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率；年的概率；(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用超过年，求它还能使用超过2年的概率为多少？年的概率为多少？解解330( )00,xexf xx (1) (2)P X 2(3.5|1.5)P XX 指数分布指数分布 Forever Young3263,xedx e P XXP X(3.5,1.5)(1.5) 33.531.533xxedxedx 6e 另例另例 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布

33、, 已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时, 至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 由题设知由题设知,X的分布函数为的分布函数为.0, 00,1)(1000 xxexFx由此得到由此得到100011000 XPXP.)1000(11 eF各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的，小时是独立的， 用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数，小时损坏的元件数，某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布, 已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用

34、个这样的元件使用 1000 小时小时, 至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,).1 , 3(1 ebY所求概率为所求概率为011 YPYP.1)()1(13310103 eeeC则则另例另例 显然，不同的正态分布是根据两个分布参显然，不同的正态分布是根据两个分布参数数 和和2 的不同取值加以区别的。的不同取值加以区别的。 3. 正态分布正态分布 N (，2 )三、三、 三大连续分布密度三大连续分布密度那么就称该随机变量

35、那么就称该随机变量 X 服从正态分布，也称服从正态分布，也称 X为正态分布变量（简称正态量），并记为为正态分布变量（简称正态量），并记为 若连续随机变量若连续随机变量 X 的密度函数具有形式的密度函数具有形式22()21( ),2xf x e x ( ,)XN2 但每个因素但每个因素所起的作用不大所起的作用不大. 经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布. 正常条件下各种产品的正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，射击目标的水

36、平或垂直偏差，测量误差， 从直方图，我们可以初步从直方图，我们可以初步看出看出, 年降雨量近似服从正态分布年降雨量近似服从正态分布. 用上海用上海99年降雨量的数据画出了频年降雨量的数据画出了频率直方图率直方图. 下面是我们用某大学男大学生的身下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图高的数据画出的频率直方图.可见可见, 男大学生的身高应服从正态分布男大学生的身高应服从正态分布. 除了上面提到的年降雨量和某地区成年男除了上面提到的年降雨量和某地区成年男子的身高、体重外子的身高、体重外,农作物的产量，小麦的穗长、株高；农作物的产量，小麦的穗长、株高； 在自然现象和社会现象中大量的随机

37、变在自然现象和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布量都服从或者近似服从正态分布.生物学中同一群体的形态指标，生物学中同一群体的形态指标， 电子元器件的信号噪声、电压、电流；电子元器件的信号噪声、电压、电流； 拟合的正态拟合的正态密度曲线密度曲线有很多分布还可以用正态分布近似有很多分布还可以用正态分布近似. 而正态分布自身还有很多良好的性质而正态分布自身还有很多良好的性质. 若影响某一数量指标的随机因素很多，若影响某一数量指标的随机因素很多， 每一因素独立，每一因素独立， 服从正态分布服从正态分布正态分布密度的性质正态分布密度的性质 (1) 在在 x = 处取到最大值处取到最大值2

38、2()21( ),2xxf x e e故故 f (x)以以为对称轴，为对称轴，令令 x=+c, x=-c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得且且 f (+c)=f (-c) f (+c) f (), f (-c)f ()x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标. (2) 正态分布的密度曲线位于正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方轴的上方,且且关于关于 x = 对称，对称，对密度函数求导：对密度函数求导：)(21)(222)( xexf222)(222)(2 xex222)(32)( xex= 0 ， )(21)(22222)(222)(3 xxexexf)

39、(21222)(22 xex (3) 密度曲线密度曲线 y = f (x) 有拐点有拐点即曲线即曲线 y = f (x) 向左右伸展时向左右伸展时,越来越贴近越来越贴近 x 轴轴. 当当 x 时，时，f (x) 0+, 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值，,)( f反之亦然，反之亦然， 则密度曲线左右整体平移则密度曲线左右整体平移. (4) f (x) 以以 x 轴为水平渐近线轴为水平渐近线; 1(,);2 e e正态分布正态分布 N( , 2 )的密度函数图形的特点的密度函数图形的特点: ;21)( f两头低两头低,中间高中间高,左右对称的

40、左右对称的 “峰峰” 状状 若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值， 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置 决定图形的中心位置决定图形的中心位置; 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高

41、越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xfOx 密度函数密度函数 的图象的图象 分布函数分布函数 y =F (x) 的图象的图象OxF(x) 1/2 12122()21( )2txyF xedt ( )f x22()21( )2xyf xe ( )yf x正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 标准正态量的分布函数通常被记成标准正态量的分布函数通常被记成 若若 X N（0，1），），则称则称 X 为为标准正态量标准正态量。 标准正态量的标准正态量的密度函数密度函数通常被记为通常被记为不难证明不难

42、证明(令令 t = u)( ), x( )x 221( )2,x exx ()1( )x x221( )2tx x edt ，易见，易见 显然显然 Ox 标准正态分布标准正态分布 密度函数密度函数 的图象的图象 标准正态分布标准正态分布 分布函数分布函数 y = (x) 的图象的图象Ox(x) 0.5 112( )txyx edt2212( )x( )xyxe2212( )yx标准正态分布表证明证明).(1)(xx xxxxde21)(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 证明证明的性质的性质 : ;2101 dtet 022210 21212122 dt

43、et ;1,2xxRx 221()2txxedtx 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化一般的正态分布都可以通过线性变换转化为为标准正态分布标准正态分布.UX 可以证明，若可以证明，若 则则 ),(2 NX),1 , 0( N证明证明 XU的分布函数为的分布函数为 xXPxYP xXP dtetx222)(21 tu)(2122xduexu 所以所以).1 , 0( NXU 证毕证毕. 从而有从而有 21()()xx N（0，1 ）即即前者的分布函数值前者的分布函数值可借可借后者的分布函数值表出后者的分布函数值表出UX 122

44、1()()FP xxxxXF( )FPxXx 可以证明，若可以证明，若 X N（，2），则，则 xXP( )uxu()x 前者在前者在 处的函数值处的函数值与与后者在后者在 处的函数值处的函数值相等相等xx 标标准准化化 已知已知XN(1, 4)，求，求P(5X7.2)，P(0X1.6)解：解：5117.21(57.2)222XPXP (3.1)(2) 标标准准正正态态分分布布表表0.99900.97720.02187.215122由由XN(1, 4)可推得：可推得： 10,12XN 0111.61(01.6)222XPXP (0.3)( 0.5) 0.617910.69150.3094 已知

45、已知XN(1, 4)，求，求P(5X7.2), P(0X1.6) 10,12XN 1.610122 1(0.3)(0.5) x01234567890.00.50000.50400.50800.51200.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.56750.57140.57532.80.99740.99750.99760.99770.99790.99800.99812.90.99810.99820.99820.99830.99850.99860.99863.00.9987*0.9990*0.9993*0.9995*0.9999*0.9999*1.

46、0000P179*取值的含义取值的含义( . )3 1( . )3 2( . )3 3( . )3 7( . )3 8( . )3 9( , )XN 0 13.013.99的详尽取值可参阅陆元洪编的详尽取值可参阅陆元洪编数理统计方法数理统计方法P242附表附表. ,( )x x3 91若若 则则( ) xP Xxtxedt2212该表摘录见下张幻灯片该表摘录见下张幻灯片(表格补充说明表格补充说明)标准正态分布标准正态分布 (函数的取值函数的取值) 表表x01234567893.00.99870.99870.99870.99880.99890.99900.99903.1*0.99900.9991

47、0.99910.99910.99920.99930.99933.2*0.99930.99930.99940.99940.99950.99950.99953.3*0.99950.99950.99950.99960.99960.99960.9997*3.6*0.99980.99980.99990.99990.99990.99990.99993.7*3.8*0.99990.99990.99990.99990.99990.99990.99993.9*1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000表格补充说明表格补充说明( . )3 1( . )3 2( . )3

48、3( . )3 9*取值的含义取值的含义标准正态分布标准正态分布 (函数的取值函数的取值) 表表( ) xP Xxtxedt2212( , )XN 0 1. ,( )x x3 91若若 则则标准正态量取值概率的查表计算实例标准正态量取值概率的查表计算实例 (2)(1.8)( 1.8)? (1)(0.43)? P X(5)0?( ). 10 6664( )( . ). 221 812 0 9641 10 9282 ( )( ). 500 5 PX(4) 1.81.8?( )( . ). =421 81 0 9282 PX(3)0.434.3?( ). 310 66640 3336 (0) = 0

49、 .5 , (1) = 0.8413 , (2) = 0.9772 , (3) = 0.9987() = 0 ,(3.9) 1.0000 , 只要只要 x 3.9 , 就有就有 ( x ) = 1(3.8) = 0.9999 ,( , ) ,XN 0 1 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544P(|

50、X| 3)=2 (3)-1=0.99743准则准则有价值的重要结论有价值的重要结论将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, 6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 准则准则” .XYN(0,1) 时，时，2( ,)XN 2 3 2 368.26%95.44%99.74%试求试求3次次( ,)X2N 0 40 ， |P X 30PX3030. 2 0 7734 1( , ) ,YpB 3 设测量误差的绝对值不超过

51、设测量误差的绝对值不超过30米的次数为米的次数为Y , 则则( .)20 751解解. 0 5468例例1 设测量误差设测量误差(单位单位:米米)( ,) .XN 0 1600 测量中至少有一次的误差绝对值不超过测量中至少有一次的误差绝对值不超过30米的米的概率概率.其中其中, 故所求事件的概率为故所求事件的概率为 |.pP X 30P Y 1P Y10()C pp003 0311(.)3110 5468. 0 9069()()3003004040()()FF3030超过超过1%. 设男子的身高设男子的身高例例2 设计公汽车门高设计公汽车门高 H 的要求是不使男乘客撞的要求是不使男乘客撞头的概

52、率头的概率解解(,)X2N 170 6 .问问 H 应如何设计应如何设计?(,) ,X2N 170 6 依设计要求依设计要求, H 应满足条件应满足条件. P X H 0 01P X H 1()HP X H 1706().,H 17010 010 996.,H 1702 336.H 62 33170183 98即即 H 的设计值至少应为的设计值至少应为183.98 (厘米厘米)或或184 (厘米厘米).例例3 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩),100,65( NX若按参赛人若按参赛人数的数的 10% 发奖，发奖， 问获奖分数线应定为多少问获奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为,0 x立的立的.0 x)(11000 xFxXPxXP , 1 . 0106510 x 即即, 9 . 010650 x 则求使则求使1 . 00 xXP成成例例3 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩),100,65( NX若按参赛人若按参赛人数的数的 10% 发奖发奖, 问获奖分数线应定为多少问获奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为,0 x立的立的.0 x0 xXP , 1 . 0 即即, 9 . 010650 x 则求使则求使1 . 00 xXP成成查表得查表得,29. 110650 x解得解得, 9 .770 x定为定为78分分.故分数线可故分数线可例例4格品的概率格品