第11章压杆稳定学习教案

1、会计学1第第11章压杆稳定章压杆稳定(wndng)第一页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu) 二、三种平衡(pnghng)状态及判断方法 稳定平衡(wndng pnghng)不稳定平衡随遇平衡判断方法 微小扰动法 在平衡位置给物体一任意微小扰动，扰动消失后考察物体是否自动恢复原平衡位置。 第1页/共63页第二页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)F kl不稳定平衡稳定平衡F klF= kl临界状态FRBAF直线平衡直线平衡FRBAF微小偏转平衡微小偏转平衡FRBAF继续偏转倾倒继续偏转倾倒lBA刚刚性性杆杆

2、Fk给刚性杆微小扰给刚性杆微小扰动，考虑扰动消动，考虑扰动消失后杆的平衡。失后杆的平衡。第2页/共63页第三页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)三、临界状态三、临界状态(ln ji zhun ti)及失及失稳稳失稳失稳(屈曲屈曲) 压杆失去稳定平衡状态的现象。压杆失去稳定平衡状态的现象。注意：注意：临界载荷临界载荷是压杆是压杆保持稳定平衡保持稳定平衡时所能承受的时所能承受的最大最大载荷载荷，或使，或使压杆失稳压杆失稳时的时的最小载荷最小载荷。中心受压直杆中心受压直杆临界载荷临界载荷Fcr压杆处于临界状态的轴向压力。压杆处于临界状态的轴向压力。此时横

3、截面上的应力称为临界应力此时横截面上的应力称为临界应力s scr失稳表现为由直线形式的平失稳表现为由直线形式的平衡过渡到曲线形式的平衡。衡过渡到曲线形式的平衡。第3页/共63页第四页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)保持常态、稳定保持常态、稳定失去常态、失稳失去常态、失稳F（Fcr）压弯压弯曲线平衡微小扰动微小扰动 QFcr压弯压弯曲线平衡微小扰动微小扰动 QF轴压轴压直线平衡弹弹 性性 杆杆 F（Fcr ）恢复恢复直线平衡扰动消失扰动消失失稳失稳曲线平衡Fcr扰动消失扰动消失第4页/共63页第五页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l x

4、u)(ci lio l xu)四、稳定性问题 1、危害 临界应力往往低于材料的屈服极限； 破坏(phui)往往突然发生，是不可恢复的。 2、特点 每根压杆的临界载荷各不相同，稳 定性计算就是计算压杆的临界载荷。3、广泛性 除压杆外，凡有压应力的薄壁构件 均存在稳定性问题。第5页/共63页第六页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)Fcr第6页/共63页第七页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)11.2 细长压杆的临界(ln ji)载荷FxFyl1、欧拉公式（、欧拉公式（Euler,1774）设：压杆处于临界状

5、态，在微弯形态设：压杆处于临界状态，在微弯形态下平衡；此时的压力为临界载荷，即下平衡；此时的压力为临界载荷，即 F= Fcr假设压杆在某个压力假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，作用下在曲线状态平衡，然后设法求挠曲函数。求得不为零的挠曲函数，然后设法求挠曲函数。求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。失稳现象。 第7页/共63页第八页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)cr0FvvEIv+ k2 v = 02crFkEI记通解(tngji) v = A sinkx+B

6、coskx 边界条件： x = 0, v = 0 B = 0 v = AsinkxEIv= M = Fcrv M =Fcrv xvFxFyl第8页/共63页第九页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu) v =Asinkl = 0 A 0 sinkl = 0 kl = np n = 1 , 2 , 边界条件： x = l , v = 0 222cr2nEIFEIklp保持微弯平衡形态的最小压力保持微弯平衡形态的最小压力(yl)为临界载为临界载荷荷欧拉公式欧拉公式2cr2EIFlpFxFyl第9页/共63页第十页，共64页。材料力学材料力学(ci lio

7、l xu)(ci lio l xu) 2、两个结果 临界载荷2cr2EIFlp（1）上述公式只适用于两端铰支细长压杆；（2） I 各方向约束情况相同时应取最小形心主惯 性矩，且按未削弱(xuru)面积计算；（3）在确定的约束条件下，临界载荷Fcr仅与材料E、 长度 l 和截面尺寸I 有关，材料的E越大，截面 越粗，杆件越短，临界力Fcr越高；（4）临界载荷是压杆的自身的一种力学性质指标，反 映承载能力的强弱， Fcr越高，稳定性越好，承 载能力越强；第10页/共63页第十一页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)弯曲挠曲线 sinsinvAkxAxlp

8、 （1） vmax = A, 数值不能确定，是由于(yuy)采用了挠曲线近似微分方程，若采用精确微分方程，可以确定最大挠度值。（5）临界载荷Fcr与外部轴向压力(yl)的大小无关。第11页/共63页第十二页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)二、其他(qt)支座条件下细长压杆的临界载荷 方法1： 同欧拉公式 由“微分方程 + 边界条件”确定 方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于 两端铰支的一段（即两端曲率 为零或弯矩为零），该段临界(ln ji) 载荷即为整个压杆的临界(ln ji)载荷。第12页/共63页第十三页，共64页。材料力学材料力学

9、(ci lio l xu)(ci lio l xu)1、一端固定(gdng)、另一端自由 相当于长度为2l 两端铰 支细长压杆的临界载荷2cr22EIFlpFcr第13页/共63页第十四页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)2、一端固定(gdng)、另一端铰支 相当于长度为0.7l两端铰 支细长压杆的临界载荷。Fcr2cr20.7EIFlp第14页/共63页第十五页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)Fcr 3、两端固定 相当于长度为0.5l 两端 铰支细长压杆的临界(ln ji)载荷。2cr20.5EIF

10、lp第15页/共63页第十六页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)三、欧拉公式(gngsh)的一般形式m 长度系数ml 相当长度2cr2EIFlmp 长度系数 m与杆端约束(yush)有关，约束(yush)越强，m越小，约束(yush)越弱， m越大。一端固定、另一端自由一端固定、另一端自由 m m2.0两端铰支 m1.0两端固定 m0.5一端固定、另一端铰支 m0.7常见常见约束约束下的下的m m第16页/共63页第十七页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)固-固固-铰固-自铰-铰m=0.7m=0.5m=

11、2m =1第17页/共63页第十八页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)比较四根比较四根压杆的压杆的欧欧拉拉临界力临界力第18页/共63页第十九页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)11.3 临界(ln ji)应力 一、临界(ln ji)应力 欧拉公式的一般形式2cr2EIFlmp22EIlAmp临界应力crcrFAsIiA惯性半径引引入入222Eilmp第19页/共63页第二十页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)用临界应力表达(biod)的欧拉公式记lim称为

12、压杆的柔度（长细比） 柔度柔度l 集中反映压杆的长度、约束条件、集中反映压杆的长度、约束条件、截面截面(jimin)尺寸和形状对临界应力的影响。尺寸和形状对临界应力的影响。2cr2Esp22cr2Eilsmp临界应力 失稳发生在失稳发生在 较较 大的纵向平面内大的纵向平面内s scr越小，越容易失稳越小，越容易失稳第20页/共63页第二十一页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)二、欧拉公式(gngsh)的适用范围和经验公式(gngsh) 适用条件:材料服从胡克定律; 小变形。 因此，应力超过材料的比例极限sp后，欧拉公式(gngsh)不再成立。 欧拉

13、公式(gngsh)的适用范围是 scr sp 。2cr2Esp sp2ppEsp挠曲线近似微分方程 EIv=M欧拉公式导出导出1、欧拉公式适用范围第21页/共63页第二十二页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)Q235钢 p = 100大柔度杆细长杆 可用欧拉公式求可用欧拉公式求临界载荷或临界应力临界载荷或临界应力2cr2EIFlmp2cr2Esp等价等价2ppEsp材料固有柔度值，材料固有柔度值，与实际压杆无关。与实际压杆无关。压杆柔度lim p实际压实际压杆柔度杆柔度材料固有柔度值第22页/共63页第二十三页，共64页。材料力学材料力学(ci l

14、io l xu)(ci lio l xu)2、经验(jngyn)公式压杆柔度lim sp 超过比例超过比例 极限的压极限的压杆稳定问题杆稳定问题经验公式(1) 直线公式scr= a - ba , b 查表 ssalibsmlim p s 中柔度杆中长杆sp scr ss直线经验公式须保证直线经验公式须保证应力不大于屈服极限应力不大于屈服极限第23页/共63页第二十四页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)lim ssscr= a1 b12a1 , b1 查表 具体请参阅有关规范。具体请参阅有关规范。第24页/共63页第二十五页，共64页。材料力学材料力

15、学(ci lio l xu)(ci lio l xu)柔 度影响压杆承载能力的综合(zngh)指标。根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类。细长杆( p) 发生弹性失稳中长杆(s p) 发生弹塑性失稳短粗杆( s ) 不发生失稳(屈曲)， 而发生屈服实际压杆柔度（长细比）lim三、临界应力(yngl)总图 第25页/共63页第二十六页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)sp临界应力(yngl)总图 细长细长(x chn)杆杆中长杆中长杆短粗短粗杆杆2cr2Esp2cr11abs第26页/共63页第二十七页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l x

16、u)(ci lio l xu)11.4 压杆的稳定(wndng)计算强度条件0 rnsss相当应力不相当应力不大大 于许用应力于许用应力极限应力和安全因数只与材料有关，与实极限应力和安全因数只与材料有关，与实际应力状态无关，即强度许用应力为常数。际应力状态无关，即强度许用应力为常数。s0bsss极限应极限应力力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料第27页/共63页第二十八页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)稳定条件0crwststFAnnssss工作应力工作应力(yngl)不大于稳定许用应不大于稳定许用应力力(yngl)。极限应力（临界应力）和稳定安全

17、因数不仅极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。第28页/共63页第二十九页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)一、安全因数法理想压杆：材料均匀，轴线(zhu xin)笔直，荷载无偏心。实际压杆：材料缺陷，轴线(zhu xin)初弯，荷载偏心。 稳定条件crcrststFFAnAnss工作安全因数 crcrstFnnFss规

18、定的稳定 安全因数 工作安全(nqun)因数不小于规定的稳定安全(nqun)因数。 必须由柔度判断压杆属何种性质的杆，必须由柔度判断压杆属何种性质的杆，用何公式来计算临界应力或临界载荷。用何公式来计算临界应力或临界载荷。注注意意第29页/共63页第三十页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)scrscr、nstnst与压杆柔度与压杆柔度 有关有关yyuguugunn，swsw是的是的 函数。函数。s sw=j j s s s 强度许用应力强度许用应力 j 折减因数折减因数 j 1 与柔度与柔度 有关有关 crwstFAnsss不必由柔度判断压杆属何种性

19、质的杆，简化计算。不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。注注意意稳定条件Ps sj js s AF工作应力不大于工作应力不大于 稳定许用应力稳定许用应力第30页/共63页第三十一页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)分析哪一根分析哪一根(y n)细长压杆先失稳？细长压杆先失稳？于是于是(ysh) Fcr(a) b s scr(a) s scr (b)第31页/共63页第三十二页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)49123minm1017. 410121050I48minm1089. 3zII求下列细

20、长(x chn)压杆的临界力。已知： L=0.5m ， E=200GPa。解：图解：图(a)图图(b)21min2cr)(lEIFp224.1720067.14kN(0.7 0.5)p 22min2cr)(lEIFp220.389 20076.8kN(2 0.5)p 5010图图(a)FL图图(b)FL(4545 6) 等边角钢等边角钢yz第32页/共63页第三十三页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)一压杆长1.5m，由两根 5.6号（56568） 等边角钢组成，两端铰支，压力(yl)F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验线公式求临界

21、压力(yl)和稳定安全因数nst。4121cm63.23 ,cm367.8 yIAzyII min47.261.68cm2 8.367IiA15089.31001.68limnst=3yzhb第38页/共63页第三十九页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu) 图示起重机，BC为钢拉索， AB 杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直径(zhjng)：d = 0.3m，试求此杆的许用压力。803 . 0461 iLzzm m 解：折减因数(ynsh)法最大柔度最大柔度x y面内，两端视为铰支面内，两端视为铰支 m mz=11603 . 0462 i

22、Lyym m xyzOxz面内，一端固支，一端自由面内，一端固支，一端自由 =2ym mABWFTC第39页/共63页第四十页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu) s sj js s w kN911011117. 043 . 062w p ps sBCBCAF求折减因数求折减因数(ynsh)求许用压力求许用压力(yl)117.016030003000,80:22 j j 时时木木杆杆第40页/共63页第四十一页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)4141021cm6 .25,cm3 .198,cm52. 1

23、,cm74.12 yzIIzA41cm6 .3963 .19822 zzII )2/( 22011azAIIyy)2/52. 1(74.126 .2522a 时合理时合理即即2)2/52. 1(74.126 .253 .198 :a 解：对于(duy)单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢(co n)图示组合之后，cm32. 4 az1 图示立柱，l =6m，由两根10号槽钢组成，材料为Q235钢，E=200GPa ， sp =200MPa ，下端固定，上端为球铰支 座，试问 a =？时，立柱的临界压力最大，值为多少？Fly1z0yC1a第41页/共63页第四十二页，共64页。材料力学材料力学

24、(ci lio l xu)(ci lio l xu)229p6P200 1099.3200 10Espp 222cr22200396.6 10443.8kN()(0.76)EIFlmpp 求临界(ln ji)载荷：大柔度杆，由欧拉公式大柔度杆，由欧拉公式(gngsh)求临界载荷。求临界载荷。8410.760.76106.5396.6 1022 12.74 10zliIAm p第42页/共63页第四十三页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)图示结构，已知图示结构，已知E=200GPa, 122时，时，s scrcr= =240-0.0068 2 MPa

25、。求。求Fcr=? Fcr 6 100 300 10 58解：解：杆：杆： 221111 1112.542 100801222.5IDdiAlim2cr1cr1cr12400.00682196.3MPa4.32kNFAss1第43页/共63页第四十四页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)杆：杆： 1225 .145443. 13007 . 0443. 12222222ilAIim22cr24.66kN()EIFlmp所以所以(suy)(suy)，Fcr=4.32 Fcr=4.32 kN kN Fcr 6 100 300 10 58第44页/共63页第

26、四十五页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)解：、杆受力：解：、杆受力： 1251.96kN3FFF杆的稳定性：杆的稳定性： 1 111p1308008.66mm,92.388.6612liimlp=100，故可用欧拉公式计算BC杆的临界力。crstNBCFnnFcrst69 5.1kN/m4.54.5 3Fqn1811322cr2()EIFlmp=69 kN23206 10 p (1.02/cos300103 )2第51页/共63页第五十二页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)F x 3m 2m a正方形

27、截面木制压杆、杆的许用应力s =10MPa，截面的边长a=100mm，当l 80时，求、杆同时达到稳定(wndng)许用应力时，x与a的关系。220()1.020.55100j 23000( )j 解：杆许可解：杆许可(xk)(xk)载荷：载荷： 1121111 3000103.9100/ 123000( )0.278103.9 ( )27.7kNFAj s j 第52页/共63页第五十三页，共64页。材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)F x 3m 2m a杆许可杆许可(xk)(xk)载荷：载荷： 222222200069.2100/ 1269.320( )1.020.550.58100 ( )58kNFAj s j 利用利用(lyng)(lyng)变形条件变形条件 1 1111 12 222 2227.83582FllEAFlxF llF laEA解得解得 x=0.719a