第九章 法方程解算方法

1、主页主页湖南城市学院湖南城市学院1/66/66 介绍法方程未知数及其函介绍法方程未知数及其函数、法方程系数阵行列式和逆数、法方程系数阵行列式和逆矩阵的解算方法，及其在测量矩阵的解算方法，及其在测量平差中的应用。平差中的应用。主页主页湖南城市学院湖南城市学院2/66/66 本章主要内容本章主要内容 退出退出逆矩阵原位替换快速解算方法逆矩阵原位替换快速解算方法法方程原位替换快速解算方法法方程原位替换快速解算方法条件平差计算表格及其应用条件平差计算表格及其应用间接平差计算表格及其应用间接平差计算表格及其应用主页主页湖南城市学院湖南城市学院3/66/66 第一节第一节法方程原位替换快速解算方法法方程原

2、位替换快速解算方法 授课目的要求授课目的要求:明确用三角分解法解法方程的明确用三角分解法解法方程的基本原理，掌握在紧凑格式中解法方程未知数及基本原理，掌握在紧凑格式中解法方程未知数及其函数的方法。其函数的方法。 重重 点、难点、难 点点:在法方程解算的紧凑格式中求在法方程解算的紧凑格式中求解方程未知数及其函数。解方程未知数及其函数。主页主页湖南城市学院湖南城市学院4/66/66本次课主要内容： 一、正定矩阵的三角分解一、正定矩阵的三角分解 二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算主页主页湖南城市学院湖南城市学院5/66/66 设法方程的系数阵为正定矩阵，

3、即：设法方程的系数阵为正定矩阵，即： ttttnnnnnnN21222111对称（1） 将将N N分解为下三角阵分解为下三角阵L L与其转置矩阵的乘积，即与其转置矩阵的乘积，即 TLLN（2） 式中式中 ttttllllll.21222111L（3） 分解式又可表示为分解式又可表示为： 一、正定矩阵的三角分解一、正定矩阵的三角分解主页主页湖南城市学院湖南城市学院6/66/66 ttttnnnnnn21222111对称lllllltttt11212212.ttttllllll22212111.（4） 用比较法可得：用比较法可得： tijllnlltilnlikikjkjiiijiikikiiii

4、,.,1).(1,.,2 , 111112（5） 当当i=1时，有时，有 ), 3 , 2(/11111111tjnnlnljj（6） 顾及（顾及（6）式对（）式对（5）式归纳整理可得）式归纳整理可得 主页主页湖南城市学院湖南城市学院7/66/66 其中其中 10111)1()1()1()1(11)1(2)1()1(), 2, 1(),.,2(jjikkkkkikkjkjiijiikkkkkikiiiiinntiijnnnnntinnnn(8) ), 1(), 2 , 1()1(1)1()1(tijnltinlijinjiiiiiiiii(7) 主页主页湖南城市学院湖南城市学院8/66/66

5、1. 求法方程的未知数求法方程的未知数2. 求法方程未知数的函数求法方程未知数的函数3. 法方程未知数及其函数解的紧凑格式法方程未知数及其函数解的紧凑格式4. 算例算例二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算主页主页湖南城市学院湖南城市学院9/66/66 设法方程为：设法方程为：0UXN1 ,1 ,tttt或或 NXU (9) 其中其中N 阵正定阵正定 Ttxxx.21X(10) Ttuuu.21U(11) 将（将（2）式代入（）式代入（9）式得：）式得： L L XU T(12) 令令 L XYT(13) Ttyyy.21Y(14) 则有则有 LYU

6、(15) 将（将（3）式、（）式、（14）式和（）式和（11）式代入（）式代入（15）式，并用）式，并用比较法可解得比较法可解得 1. 求法方程未知数求法方程未知数主页主页湖南城市学院湖南城市学院10/66/66yulyliiikkikii () /11（i=1，2，t） (16) 顾及（顾及（6）式、（）式、（7）式和（）式和（8）式对（）式对（16）式归纳整理得）式归纳整理得 )1()1(/iiiiiinuy（i=1，2，t） (17) 其中其中 ), 2 , 1(,10111)1()1()1()1(tiuununuuikkkkkkkikiii(18) 将（将（3）式、（）式、（14）式和

7、（）式和（10）式代入（）式代入（13）式，并用）式，并用比较法得比较法得： ) 1,.,1,().(11ttixlylxtikkkiiiii(19) 顾及（顾及（7）式、（）式、（17）式和（）式和（18）式对（）式对（19）式归纳）式归纳整理可得：整理可得： 主页主页湖南城市学院湖南城市学院11/66/66 ) 1,.,1()(11)1()1()1(tixnunxktikikiiiiiii(20) 当当 i=t 时有时有： )1()1(ttttttnux(21) 主页主页湖南城市学院湖南城市学院12/66/66 设法方程未知数的函数为设法方程未知数的函数为： 12211tttfxfxfxf

8、F (22) 将（将（21）式和（）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得：）式依次代入上式并归纳整理得： tkkkkkkkktnuffF1)1()1()1(1(23) 其中其中 10111)1()1()1()1(ffnfnffikkkkkkkikiii(24) 当（当（22）式中）式中 fi= ui (i=1,2,.,t) 时，又可得：时，又可得： tkkkkkkinufF1)1(2)1(1(25) 2. 求法方程未知数的函数求法方程未知数的函数主页主页湖南城市学院湖南城市学院13/66/66 3. 法方程未知数及其函数解的紧凑格式法方程未知数及其函数解的紧凑格式 利用（利用（21）式和（）

9、式和（20）式可求得法方程未知数，利用）式可求得法方程未知数，利用（23）式和（）式和（25）式可求得法方程未知数的函数值，这些计）式可求得法方程未知数的函数值，这些计算均可在算均可在“紧凑格式紧凑格式”表表1中进行。中进行。 表1 线性对称方程组解算的紧凑格式 1 2 t 2)()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)1(1221)1(1221)1(122121222221111tFfffffftuuuuuxnnnnnxnnnxntttttttttttttttt 当当 时，时， 表表1中中 所在的行可以略去。若未知数所在的行可以略去。若未知数的函数不只一个的函数不只

10、一个, 则每增加一个函数在表则每增加一个函数在表1中增加一行中增加一行, 填填入相应入相应 和和 的值，按计算的值，按计算F的方法计算即可。的方法计算即可。 iiuf iuif1tf主页主页湖南城市学院湖南城市学院14/66/66 已知法方程已知法方程 4221002172 5517 502 54 53025377 001234123412341234xxxxxxxxxxxxxxxx.未知数函数式为：未知数函数式为： Fxxx124175736.按法方程解算的按法方程解算的“紧凑格式紧凑格式”求求xi(i=1,2,3,4)和和F之之值。值。 表2 法方程解算的紧凑格式 ( ) x1= ( )

11、( ) x2= ( ) ( ) ( ) x3= ( ) ( ) ( ) ( ) x4= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.02.017.0 1.0 2.5 4.5 2.0 5.03.07.0 1.0-17.50.0-7.036.04. 算例算例主页主页湖南城市学院湖南城市学院15/66/66 ( 4.0 ) x1= ( 2.0 ) ( 17.0 ) x2= ( 1.0 ) ( 2.5 ) ( 4.5 ) x3= ( 2.0 ) ( 5.0 ) ( 3.0 ) ( 7.0 ) x4= ( 1.0 ) ( -17.5 ) ( 0.0 ) ( -7.0 ) ( 36.0 ) 线性方程组解算

12、求逆1线性方程组解算求逆2主页主页湖南城市学院湖南城市学院16/66/66 作 业: 第九章习题第九章习题8返回返回主页主页湖南城市学院湖南城市学院17/66/66第二节第二节 逆矩阵原位替换快速解算方法逆矩阵原位替换快速解算方法 授课目的要求授课目的要求: 明确明确逆矩阵原位替换快速解逆矩阵原位替换快速解算算的基本原理，掌握其求解的方法步骤。的基本原理，掌握其求解的方法步骤。 重重 点、难点、难 点点: 在紧凑格式中求逆的方法步骤。在紧凑格式中求逆的方法步骤。主页主页湖南城市学院湖南城市学院18/66/66本次课主要内容： 经典矩阵求逆法回顾 一、正定矩阵三角三角分解求逆法概述 二、求矩阵的

13、分解下三角阵的逆阵 三、利用分解下三角阵的逆阵求原矩阵原矩阵的逆阵 四、正定矩阵三角三角分解求逆的紧凑格式 五、算例六、课堂练习主页主页湖南城市学院湖南城市学院19/66/66 计算矩阵计算矩阵N的逆阵的逆阵735235 . 45 . 2155 . 21722124N 由公式由公式mmjiNNN11 1.计算代数余子式计算代数余子式25.30175 .25 .2173355 .45535 .2535 .275 .41773535 .45 .255 .21711111N经典矩阵求逆法回顾主页主页湖南城市学院湖南城市学院20/66/66 5 .12)75 . 2123355 . 42235 . 2

14、53175 . 42(73535 . 45 . 221211221N12717123555 . 22231755175 . 2273555 . 21721211331N主页主页湖南城市学院湖南城市学院21/66/66 144)317125 . 455 . 25 . 2225 . 4175 . 25135 . 22(35 . 45 . 255 . 21721211441N7771143325 . 4223123175 . 4473235 . 4121412222N主页主页湖南城市学院湖南城市学院22/66/66 8)72143525 . 2223225175 . 24(73255 . 22214

15、12332N4832145 . 4515 . 2225 . 4215135 . 2435 . 4155 . 2221412442N主页主页湖南城市学院湖南城市学院23/66/6632072245521722522527174752517222413333N128)32245 . 25117225 . 221523174(35 . 21517222413443N主页主页湖南城市学院湖南城市学院24/66/66 2565 . 42245 . 25 . 2117115 . 2215 . 225 . 41745 . 45 . 215 . 217212414444N 2.计算矩阵计算矩阵N的行列式的行列

16、式1024212441312111NNNNN 3.计算矩阵计算矩阵N的逆阵的逆阵250. 0125. 0047. 0070. 03125. 0008. 0012. 0075. 0012. 0294. 01444333423222413121111对称对称NNNNNNNNNNNN主页主页湖南城市学院湖南城市学院25/66/66 此方法采用矩阵三角分解原理，将矩阵表达为分解下此方法采用矩阵三角分解原理，将矩阵表达为分解下三角阵与其转置阵的乘积，利用分解下三角阵的求逆结果三角阵与其转置阵的乘积，利用分解下三角阵的求逆结果求得原矩阵的逆求得原矩阵的逆阵。阵。 矩阵求逆分三步进行：矩阵求逆分三步进行：第

17、一步求约化系数第一步求约化系数，第二步求第二步求下三角阵的逆阵下三角阵的逆阵，第三步求第三步求原矩阵的逆阵原矩阵的逆阵。每一步计算均。每一步计算均采用原位替换求解法，即将矩阵中不同位置的元素表达为采用原位替换求解法，即将矩阵中不同位置的元素表达为相应位置的位置函数值，每一步计算是用新的位置函数值相应位置的位置函数值，每一步计算是用新的位置函数值替换相应位置的原有位置函数值，最终将原矩阵中各位置替换相应位置的原有位置函数值，最终将原矩阵中各位置的元素替换为其逆矩阵中相应位置的元素。求逆公式的元素替换为其逆矩阵中相应位置的元素。求逆公式简单，简单，利于编程，节省所需内存空间。利于编程，节省所需内存

18、空间。 此矩阵求逆方法可用于此矩阵求逆方法可用于法方程解算法方程解算，各种，各种协因数阵的协因数阵的计算计算，方差分量估计，测量数据的统计假设检验，粗差探，方差分量估计，测量数据的统计假设检验，粗差探测，可靠性估计等测绘数据处理和精度估计之中。测，可靠性估计等测绘数据处理和精度估计之中。 一、正定矩阵三角三角分解求逆法概述主页主页湖南城市学院湖南城市学院26/66/66 设设 TLLN (1) ttttccccccL212221111C(2) 由由 LC=I（单位阵），即（单位阵），即lllllltttt11212212cccccctttt1121221210101(3) 用比较法可得用比较法

19、可得L阵的逆阵阵的逆阵C的全部元素，即的全部元素，即 二、求矩阵N的分解下三角阵L的逆阵主页主页湖南城市学院湖南城市学院27/66/66 ), 1(), 2 , 1(111tijticllclcjikkijkjjjiiiii(4) 将将)1(1)1()1(kjknjkiiiiinlnlkkk代入（代入（4）式得：）式得： 1)1(1)1()1()1(), 1(),2, 1(11jikkikkkjkjjjikkikkkjkjjjjiiiiiiccnctijticcnncnc(5) 主页主页湖南城市学院湖南城市学院28/66/66 三、利用分解下三角阵L的逆阵C求N的逆阵对（对（1）式求逆可得：）

20、式求逆可得： 11TLLN 11LLT11LLTCCT设设 ttttQQQQQQ212221111对称NQttttcccccc22212111 ttttcccccc21222111用比较法可得计算用比较法可得计算Q阵中下三角诸元素的公式，即阵中下三角诸元素的公式，即 ), 2 , 1, 2 , 1( tjkkjkijijitjccQ(6) 主页主页湖南城市学院湖南城市学院29/66/66 四、正定矩阵三角三角分解求逆的紧凑格式 利用约化系数利用约化系数 ,可在可在“紧凑格式紧凑格式”表表3中求得中求得L阵的逆阵阵的逆阵C。 njtji i ()(, , )112表3 求L 阵逆阵C的紧凑格式

21、11n21n122n1tn12tn)1( tttn111c222ctttc1t21c121tt1tc221tt2tc ), 1(),2, 1(11)1()1(tijticcnccncjikkikkkjkjjjiiiiii1.求分解下三角矩阵L的逆阵C的紧凑格式主页主页湖南城市学院湖南城市学院30/66/66 利用利用C阵的元素可在紧凑格式表阵的元素可在紧凑格式表4中求得矩阵中求得矩阵Q的下三的下三角诸元素角诸元素 表4 求Q 阵下三角元素的紧凑格式 ttttcccccc21222111111Q221Q322Q12)1(tt1tQ22)1(tt2tQttt2)1(ttQ),2, 1,2, 1(

22、tjkkjkijijitjccQ2.2.利用下三角阵L的逆阵C计算N的逆阵Q的紧凑格式主页主页湖南城市学院湖南城市学院31/66/66 五、算例 求下述线性方程组系数阵的逆阵求下述线性方程组系数阵的逆阵00.773520755.217200.12244321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解解：（：（1）利用上次课例题解方程过程中求出的约化）利用上次课例题解方程过程中求出的约化系数系数 求求N阵下三角阵阵下三角阵L的逆阵的逆阵C的诸元素，见表的诸元素，见表5。 nji i ()1表5 求L阵逆阵C的紧凑格式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.02.0 1.0 2.016.0 2.0 4.04.02.04.0 ), 1(),2, 1(11)1()1(tijticcnccncjikkikkkjkjjjiiiiii主页主页湖南城市学院湖南城市学院32/66/66 （2）利用）利用C阵中的诸元素在阵中的诸元素在“紧凑格式紧凑格式”表表4中求中求Q阵阵的下三角部分见表的下三角部分见表6。 表6 求Q阵下三角部分诸元素的紧凑格式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.500 -0.125 0.250 -0.094-0.0620.500 -0.140-0

24、.094-0.2500.500),2, 1,2, 1( tjkkjkijijitjccQ250. 0125. 0047. 0070. 0312. 0008. 0012. 0075. 0012. 0294. 0对称Q.矩阵运算器.exe线性方程组解算求逆1线性方程组解算求逆2主页主页湖南城市学院湖南城市学院33/66/66 5 . 45 . 215 . 2172124N 解方程过程中已求出约化系数阵为解方程过程中已求出约化系数阵为4211624 试求方程组系数阵的逆阵试求方程组系数阵的逆阵Q Q。 设线性对称方程组的系数矩阵为设线性对称方程组的系数矩阵为：课堂练习主页主页湖南城市学院湖南城市学院

25、34/66/66 作业作业: 第九章习题10返回返回主页主页湖南城市学院湖南城市学院35/66/66第三节第三节 条件平差应用实例条件平差应用实例 授课目的要求授课目的要求: 熟悉条件平差的计算表格，熟悉条件平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法掌握条件平差计算表格的使用方法重重 点、难点、难 点点:条件平差计算表格的使用方法。条件平差计算表格的使用方法。 主页主页湖南城市学院湖南城市学院36/66/66 一一、条件平差公式条件平差公式复习复习 二二、条件平差的计算表格及其使用条件平差的计算表格及其使用三三、算例算例本次课主要内容：本次课主要内容：主页主页湖南城市学院湖南城市学院37/

26、66/66 法方程：法方程：0WKNaa:计算式为PVVTrrbbaaTTkwkwkwKWPVV平差值函数的协因数计算式：平差值函数的协因数计算式：AQfNAQfQffpQaaTT11 令令AQfNqaa1 上式两端同乘以上式两端同乘以 ，并移项得：，并移项得：aaN转换系数方程0 AQfqNaa 再再令令AQffe 则则有有0eaafqN 将其解将其解AQfNqaa1 代入代入平差值函数的协因数计算式平差值函数的协因数计算式得得rebeaeTeTqfqfqfpffqfQffpQr211 一一、条件平差公式条件平差公式复习复习主页主页湖南城市学院湖南城市学院38/66/66 已知条件平差的函数

27、模型为：已知条件平差的函数模型为： 0WV1,1,rnnrA式中式中 rnnnnwwwvvvrrrbbbaaaA2121212121WV为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为： 1,11,1dnnTLdF二二、条件平差的计算表格及其使用条件平差的计算表格及其使用主页主页湖南城市学院湖南城市学院39/66/66 式中式中 nnLdLdLdLdfffF2121 依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表见依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表见表表1。 条件方程及权函数系数表 表1 观测 序号 ai bi . ri fi 1/pi v

28、i 1 a1 b1 . r1 f1 1/p1 v1 2 a2 b2 . r2 f2 1/p2 v2 n an bn . rn fn 1/pn vn主页主页湖南城市学院湖南城市学院40/66/66 椐表椐表1中的数据，便可计算法方程中的数据，便可计算法方程 NK+W=0（转换系（转换系数方程数方程Naaq+fe=0）的系数）的系数nji和转换系数方程中的常数项和转换系数方程中的常数项 fei , 以及平差值函数的权倒数计算式以及平差值函数的权倒数计算式 中中的的qffpfP1Te-1TFfpf-1T 将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）

29、及其函数程）及其函数 解算表解算表2中（每计算一个填写中（每计算一个填写一个，依次计算填写）。一个，依次计算填写）。 )1,(FTPPVV主页主页湖南城市学院湖南城市学院41/66/66 条件方程及权函数系数表 表1 观测 序号 ai bi . ri fi 1/pi vi 1 a1 b1 . r1 f1 1/p1 v1 2 a2 b2 . r2 f2 1/p2 v2 n an bn . rn fn 1/pn vn法方程未知数及其函数解算表 表2 )()()()(0)()()()()()()()()()()()(121212122221111fPfTrrrrrrrfefefewwwknnnknn

30、kn表中后两行分别是函数表中后两行分别是函数 主页主页湖南城市学院湖南城市学院42/66/66中未知数中未知数Ki和和qi(i=a,b,r)的系数及函数式中的常数项。的系数及函数式中的常数项。 上表填写完毕后，即可在表上表填写完毕后，即可在表2中求解中求解Ki(i=a,b,r)、-VTPV及及 ，计算结果填于表，计算结果填于表2中相应元素的右边如表中相应元素的右边如表3所示。所示。 1PF法方程及其函数解算表 表3 FTrrrTrrrrrrrrrrrrbapfefefefefewwwwwknnnnnknnnkn1)()(1)()() 0 ()()()()()()()()()()()()(1)

31、1.(221) 1.(1221) 1.(1221122222111fpfpvvreeeTFqfqfqffpfpr211211rrTkwkwkw22110pvv主页主页湖南城市学院湖南城市学院43/66/66 求得联系数求得联系数 Ki(i=a,b,.,r) 后按后按),2, 1)(1nikrkbkaPvribiaiii 在表在表1 1中求改正数中求改正数v vi , 按按 求得求得iiivLL),.,2 , 1(niLi并按公式并按公式 ， rTpvv0FFp10求得单位权中误差和平差值函数的中误差。求得单位权中误差和平差值函数的中误差。 主页主页湖南城市学院湖南城市学院44/66/66 例题

32、例题如下图所示水准网，如下图所示水准网，已知已知A点的高程为：点的高程为：mHA385.124观测高差及路线长度如图中所观测高差及路线长度如图中所示。试按条件平差法求未知点示。试按条件平差法求未知点高程平差值及最弱点高程平差高程平差值及最弱点高程平差值的中误差。值的中误差。 解解：1.列立条件式和权函数式列立条件式和权函数式 本问题中本问题中 n=5，t=3， r =n-t=2，条件方程式为：，条件方程式为： bahhhhhh00542321mmhhhwmmhhhwba68542321主页主页湖南城市学院湖南城市学院45/66/66 改正数条件方程：改正数条件方程： bavvvvvv00685

33、42321最弱点平差值函数式为：最弱点平差值函数式为： 41hhHHAD权函数式为权函数式为：41ddddhhHD 2.建立条件方程系数及权函数系数表建立条件方程系数及权函数系数表 取取1公里水准观测高差为单位权观测值公里水准观测高差为单位权观测值(也可另取它值也可另取它值，要看计算是否方便而定，要看计算是否方便而定)。 条件方程系数及权函数系数表 表1 序号 ai bi fi Si vi (mm) (m) 1 2 3 4 5 ip1ih111 1 1 1 1 1 4 2 4 4 2 主页主页湖南城市学院湖南城市学院46/66/66 3.组成并解算法方程组成并解算法方程,求未知数及其函数求未知

34、数及其函数 序号 ai bi fi Si vi (mm) (m) 1 1 1 4 2 1 1 2 3 1 4 4 1 1 4 5 1 2 由上表中的数值计算法方程（转换系数方程）系数和转由上表中的数值计算法方程（转换系数方程）系数和转换系数方程常数项，将计算结果依次填入法方程未知数及其换系数方程常数项，将计算结果依次填入法方程未知数及其函数解算表中，并在表中解算函数解算表中，并在表中解算 和和 之值，见下表之值，见下表 PVVKT ,p1 法方程未知数及其函数解算表 表2 ( ) k1= ( ) ( ) k2= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10.0-2.08.0 8.0 6.

35、00.0 4.0 4.08.0-1-1 7.6 7.6 4.8-143.371pi主页主页湖南城市学院湖南城市学院47/66/66 由由V=P-1 BT K ，顾及，顾及P为对角阵，按为对角阵，按 iv1Piribiaikrkbka (i=1,2,.,n) 计算观测值改正数，结果见表计算观测值改正数，结果见表1 1。 条件方程系数及权函数系数表 表1 序号 aiKa=-1 biKb=-1 fi Si vi (mm) (m) 1 1 1 4 2 1 -1 2 3 1 4 4 1 1 4 5 1 2 1pihi -4 0 -4 -4 -2 2.346 0.389 -2.735 2.196 -1.8

36、07 4.计算观测值改正数计算观测值改正数vi及平差值及平差值主页主页湖南城市学院湖南城市学院48/66/66 m731.126346.2385.1241hHHABm120.127)735. 2(385.1243hHHACm927.128)807. 1(735. 2385.12453hhHHAD 6.精度评定精度评定 单位权中误差为：单位权中误差为： (mm)65.220.140rKWrPVVTTD点高程平差值的中误差为：点高程平差值的中误差为： (mm)86. 437. 365. 2100DDHHQp5. .计算待定点高程平差值计算待定点高程平差值主页主页湖南城市学院湖南城市学院49/66/

37、66 作作 业业: 第五章习题第五章习题 32 返回返回主页主页湖南城市学院湖南城市学院50/66/66 第四节第四节 间接平差应用实例间接平差应用实例 授课目的要求授课目的要求:熟悉间接平差的计算表格，熟悉间接平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法。掌握条件平差计算表格的使用方法。 重重 点、难点、难 点点:间接平差计算表格的使用间接平差计算表格的使用方法。方法。 主页主页湖南城市学院湖南城市学院51/66/66本次课主要内容： 一、一、间接平差间接平差公式复习公式复习 二、间接平差的计算表格及其使用二、间接平差的计算表格及其使用三、算例三、算例主页主页湖南城市学院湖南城市学院52/

38、66/66 法方程：法方程：0WxNBBPlBWT:计算式PVVTttTTTxwxwxwpllxWPllPVV2211参数平差值函数的协因数计算式：参数平差值函数的协因数计算式：FNFFQFQBBTXT1 令令FNqBB1 上式两端同乘以上式两端同乘以 ，并移项得：，并移项得：bbN转换系数方程0FqNBB 将其将其解解FNqBB1 代入代入平差值函数的协因数计算式平差值函数的协因数计算式得得ttTqfqfqfqFpQ22111一、一、间接平差间接平差公式复习公式复习主页主页湖南城市学院湖南城市学院53/66/66 已知间接平差的函数模型为：已知间接平差的函数模型为：1 ,1 ,1 ,Vntt

39、nnlxB式中式中 ,21nvvvV,.222111nnntbatbatbaB,21txxxxnllll21为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：XdFTd式中式中 ,21tfffFtXXXXdddd21二、间接平差的计算表格及其使用二、间接平差的计算表格及其使用主页主页湖南城市学院湖南城市学院54/66/66 依据上述有关数据可编制误差方程系数及常数项表，见表依据上述有关数据可编制误差方程系数及常数项表，见表4误差方程系数及常数项表 表4观测序号 ai bi .ti-li pi vi 1 2 n a1 a2 an b1 b2 bn .

40、 . . . t1 t2 tn -l1 -l2 -ln p1 p2 pn 据表中的数据，便可计算法方程据表中的数据，便可计算法方程 ，转换系，转换系数方程数方程 NBBqF=0 的系数阵中的的系数阵中的 nji 和常数项和常数项 -wi，以及，以及 计算式计算式( = -W )中的中的0WxNBBV PVTV PVTllTPxTPllT 将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数程）及其函数(VTPV, - ) 解算表中解算表中(每计算一个填写一个，每计算一个填写一个，依次计算填写）依次计算填写）。 1pF主页主页湖南城市学院湖南城

41、市学院55/66/66观测序号 ai bi .ti-li pi vi 1 a1 b1 .t1-l1 p1 2 a2 b2 .t2 -l2 p2 . n an bn .tn -ln pn 法方程未知数及其函数计算表 表5 （ ） x1= （ ）（ ） x2=（ ）（ ） （ ） xt= （ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）11n21n22n1tn2tnttn1w2wtwl ll lpT1f2ftf0 表中后两行表中后两行既分别是法方程和转换系数方程的常数项，既分别是法方程和转换系数方程的常数项，又又分别是函数分别是函数ttTTxwxwxwll2211PPVVttqfqfqfp 2

42、21101中未知数中未知数 和和qi(i=1,2,t)的系数。的系数。 ix 主页主页湖南城市学院湖南城市学院56/66/66 上表填写完毕后，即可在表上表填写完毕后，即可在表5中计算中计算 、 VTPV 和和 。结果填于表。结果填于表5中相应元素的右边，如表中相应元素的右边，如表6所所示示. tixi,2,1p1 表6 法方程未知数及其函数解算表pfffffPllwwwwwxnnnnnxnnnxntttTTtttttttttttt1) 0 ()()()()()()()() ()()()() ()()() ()() 1(1221) 1(1221) 1(122121222221111pvv主页主

43、页湖南城市学院湖南城市学院57/66/66 求得未知数近似值向量的改正数向量求得未知数近似值向量的改正数向量 后，按后，按 求未知数平差值向量求未知数平差值向量 ，代入误差方程可求得改正数向量，代入误差方程可求得改正数向量V，V的计算可在表的计算可在表4中进行中进行( )，按按 可求得可求得 ，按公式，按公式 ， 可求得单位权中误差和平差值函数的中误差。可求得单位权中误差和平差值函数的中误差。 x x XX0Xitiiiilxtxbxav21LLViiiL ini(, , )12 rPVVT0 01p 若要求未知数平差值协因数阵若要求未知数平差值协因数阵 ，则，则由由 ，计算，计算 ，再计算，

44、再计算 ，计算表格为表，计算表格为表7和表和表8。 QxQNL LLLCCxTTT1111()()cjiQji求L阵逆矩阵C的诸元素用表 表7()()()()()()()ncncncncncnctttttt ttt1111212122 122112 121主页主页湖南城市学院湖南城市学院58/66/66 表中表中 为解法方程过程中求得的约化系数，为解法方程过程中求得的约化系数， 为求为求得的得的L阵逆阵阵逆阵C中的诸元素。中的诸元素。求求 阵下三角部分诸元素用表阵下三角部分诸元素用表 表表8nji i () 1cjixQ()()()()()()cQcQcQcQcQcQtttttttt11112

45、12122221122 表中表中 为下三角阵为下三角阵L的逆阵的逆阵C中的诸元素，中的诸元素， 为为 阵阵下三角部分的诸元素。下三角部分的诸元素。 cjiQjiQx主页主页湖南城市学院湖南城市学院59/66/66 继续继续 如下图所示水准网，已知如下图所示水准网，已知A点的高程为：点的高程为： =124.385m，观测高差及路线长度如图中所示。试按参数平差法求未知观测高差及路线长度如图中所示。试按参数平差法求未知点高程平差值及其中误差。点高程平差值及其中误差。三、算例三、算例主页主页湖南城市学院湖南城市学院60/66/66 解：解： 1.列立误差方程式和权列立误差方程式和权函数式函数式本问题中

46、本问题中 n=5，t=3， r =n-t=2，设参数：设参数：TDCBTHHHXXXX321计算参数近似值：计算参数近似值：TmmmTAAATDCBThhHhhHhHHHHXXXX935.128124.127735.126412110000302010观测方程：观测方程：3253142321211XXhXXhHXhXXhHXhAA 误差方程常数项计算：误差方程常数项计算：608005030254302321hXXllhXHlllA主页主页湖南城市学院湖南城市学院61/66/66683253142321211xxvxxvxvxxvxv 2.建立误差方程系数、常数项表建立误差方程系数、常数项表 取取4公里水准观测高差为单位权观测值公里水准观测高差为单位权观测值(也可另取它值也可另取它值，要看计算是否方便而定，要看计算是否方便而定)。条件方程系数及权函数系数表 序号 a1 bici -li P1/Si vi (mm) (m) 1 2 3 4 5 ih -1 -1 1 -1 1 1 -1 -8 - 6 1 2 1 1 2 1 误差方程：误差方程：主页主页湖南城市学院湖南城市学院62