第5讲机械振动基础

1、12PART1 PART1 引言引言PART2 PART2 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动PART3 PART3 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动3PART1 PART1 引言引言1.1 1.1 机械振动概述机械振动概述 1.2 1.2 内容及要求内容及要求 41. 1 机械振动概述机械振动概述 PART1 PART1 引言引言振动现象振动现象 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 汽车、火车、飞机及机械设备的振动汽车、火车、飞机及机械设备的振动 家用电器、钟表的振动家用电器、钟表的振动 地震以及声、电、磁、光的波动等等地震以及声、电、磁、光的

2、波动等等振动的危害振动的危害 轻则轻则 影响乘坐的舒适性；降低机器及仪表的精度影响乘坐的舒适性；降低机器及仪表的精度 重则重则 危害人体健康；引起机械设备及土木结构的破坏；危害人体健康；引起机械设备及土木结构的破坏；振动的利用振动的利用 琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等；振动检测；琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等；振动检测； 振动压路机、振动给料机和振动成型机等。振动压路机、振动给料机和振动成型机等。51. 1 1. 1 机械振动概述机械振动概述 机械振动的基本概念及研究目的机械振动的基本概念及研究目的 机械振动机械振动 机械或结构在平衡位置附近的往复运动。机械或结构在平衡

3、位置附近的往复运动。 研究目的研究目的 利用振动为人类造福；利用振动为人类造福； 减少振动的危害。减少振动的危害。机械振动的分类机械振动的分类 1按振动系统的按振动系统的分类分类 自由度自由度就是确定系统在振就是确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置动过程中任何瞬时几何位置所需独立坐标的数目所需独立坐标的数目单自由度系统振动单自由度系统振动确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置只需要一个独立坐标的振动；只需要一个独立坐标的振动；多自由度系统振动多自由度系统振动确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置需要多个独立坐标的振动；需要多个

4、独立坐标的振动；连续系统振动连续系统振动确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置需要确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置需要无穷多个独立坐标的振动。无穷多个独立坐标的振动。6机械振动的分类机械振动的分类 2按振动系统所受的按振动系统所受的激励激励类型分类类型分类自由振动自由振动系统受初始干扰或原有的外激励取消后产生的振动；系统受初始干扰或原有的外激励取消后产生的振动；强迫振动强迫振动系统在外激励力作用下产生的振动；系统在外激励力作用下产生的振动；自激振动自激振动系统在输入和输出之间具有反馈特性并有能源补充系统在输入和输出之间具有反馈特性并有能源补充 而产生的振动。而产生的振动。1. 1 机械振动概

5、述机械振动概述 3按系统的按系统的响应响应（振动规律）分类（振动规律）分类简谐振动简谐振动能用一项时间的正弦或余弦函数表示系统响应的振动；能用一项时间的正弦或余弦函数表示系统响应的振动；周期振动周期振动能用时间的周期函数表示系统响应的振动；能用时间的周期函数表示系统响应的振动；瞬态振动瞬态振动只能用时间的非周期衰减函数表示系统响应的振动；只能用时间的非周期衰减函数表示系统响应的振动；随机振动随机振动不能用简单函数或函数的组合表达运动规律，而只能不能用简单函数或函数的组合表达运动规律，而只能 用统计方法表示系统响应的振动。用统计方法表示系统响应的振动。7机械振动的分类机械振动的分类 4按描述系统

6、的按描述系统的微分方程微分方程分类分类线性振动线性振动能用常系数线性微分方程描述的振动；能用常系数线性微分方程描述的振动；非线性振动非线性振动只能用非线性微分方程描述的振动。只能用非线性微分方程描述的振动。1. 1 机械振动概述机械振动概述 8机械振动问题机械振动问题 1响应分析响应分析已知已知系统参数及外界激励系统参数及外界激励求求系统的响应系统的响应(位移、速度、加速度和力的响应等）位移、速度、加速度和力的响应等）1. 1 机械振动概述机械振动概述 2系统设计系统设计和和系统辨识系统辨识系统尚不存在，需要设计合理系统尚不存在，需要设计合理的系统参数，使系统在已知激的系统参数，使系统在已知激

7、励下达到给定的响应水平。励下达到给定的响应水平。系统已经存在，需要根据测量系统已经存在，需要根据测量获得的激励和响应识别系统参获得的激励和响应识别系统参数，以便更好地研究系统特性。数，以便更好地研究系统特性。已知已知系统的激励和响应系统的激励和响应求求系统参数系统参数9已知系统响应和系统参数已知系统响应和系统参数确定系统的激励确定系统的激励1. 1 机械振动概述机械振动概述 实际实际系统系统力学原理微分微分方程方程数值数值解解解析解析解解计算机数学工具振动振动特性特性v理论分析理论分析v试验研究试验研究机械振动问题机械振动问题 3环境预测环境预测解决振动问题的方法解决振动问题的方法 10机械振

8、动要研究的内容机械振动要研究的内容l1. 建立物理模型l要进行机械系统振动的研究，就应当确定与所研究问题有关的系统元件和外界因素。比如，汽车由于颠簸将产生垂直方向的振动，如果要研究的问题是关于汽车乘坐的舒适性和安全性的低频垂直振动，可采用一个简化的物理模型来描述它。 11l2、建立数学模型l有了所研究系统的物理模型，就可应用某些物理定理对物理模型进行分析，以导出一个或几个描述系统特性的方程。通常，振动问题的数学模型表现为微分方程的形式。l如质量弹簧系统，一旦质量离开了平衡位置x=0后，就受到力lF= kxl作用。讨论该物体的稳定性。这个力描述了弹簧的行为，与这个力联系在一起的是势能l势能作为模

9、型来研究稳定性。不仅可以用来描述线性系统也可以描述非线性系统：在碗底滚动的小球、摇摆的摆锤、振动的吉他弦。甚至可以表示高考试题难易程度的波动。 机械振动要研究的内容机械振动要研究的内容12l3. 方程的求解l要了解系统所发生运动的特点和规律，就要对数学模型进行求解，以得到描述系统运动的数学表达式。通常，这种数学表达式是位移表达式，表示为时间的函数。表达式表明了系统运动与系统性质和外界作用的关系。机械振动要研究的内容机械振动要研究的内容13l4. 结果的阐述l根据方程的解提供的规律和系统的工作要求及结构的特点，就可以进行结构设计或改进，以获得问题的最佳解决方案。l建立振动系统的模型，就必须假定机

10、械系统的自由度个数，并且运用基本的物理定律来导出运动微分方程，应用恰当的数学方法来求解这些微分方程。通常，描述机械系统振动模型的微分方程机械振动要研究的内容机械振动要研究的内容14l构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素l构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。l惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。l恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。l阻尼就是阻碍物体运动的性质。l 从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。l当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F，物体由此产生的

11、加速度和物体质量m之间有下述关系l l22dtxdmF 15l典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即Fs=Fs（x）。l当Fs（x）是线性函数时，有l比例常数k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。l阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x的函数，阻尼力可表示为 l l这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位N.s/m。l质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。 kxFs xcFd 16 自由度自由度 自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。 刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；

12、 质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球； 质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。17质量元件质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 xmFm 平动：平动：力、质量和加速度的单位分别力、质量和加速度的单位分别为为N、kg和和m / s 2。 JTm转动：转动：力矩、转动惯量和角加速度的单位力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为分别为Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 离散系统的组成离散系统的组成18弹性元件弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 xkFs平动：平动：力、

13、刚度和位移的单位分别为力、刚度和位移的单位分别为N、N / m和和m 。tskT 转动：转动：力矩、扭转刚度和角位移的单位分力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为别为Nm、 Nm / rad和和rad 阻尼元件阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件无质量、无弹性、线性耗能元件 xcFd平动：平动：力、阻尼系数和速度的单位分力、阻尼系数和速度的单位分别为别为N、N s/ m和和m/s。tdcT 转动：转动：力矩、扭转阻尼系数和角速度力矩、扭转阻尼系数和角速度的单位分别为的单位分别为Nm、 Nms / rad和和rad/s 19等效弹簧刚度等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧斜向布置的弹簧 2ecos/kxF

14、kxx串联弹簧串联弹簧 并联弹簧并联弹簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并联系统并联系统串联系统串联系统等效阻尼系数等效阻尼系数 传动系统的等效刚度传动系统的等效刚度 21 te1 t/ikk传动系统的等效阻尼传动系统的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 221e1/iJJ等效质量等效质量 传动系统的等效惯量传动系统的等效惯量 202. 2 振动微分方程振动微分方程 振动微分方程振动微分方程 )(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其其中中， tx1为为相相应应齐齐次次方方程程的的解解 瞬瞬态态响响应应 tx2为为方方程程的的特特

15、解解 稳稳态态响响应应或或零零初初始始条条件件的的解解 212. 3 自由振动自由振动 振动微分方程振动微分方程设设 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 mkmcmcs222, 142有有临界阻尼系数临界阻尼系数 kmc2c阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc2c定义定义12nn2, 1s222. 3 自由振动自由振动 讨论讨论 (1)0方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应）（tRtxncos)(2n020)/(xxR0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx232. 3 自由振动自由振动

16、 讨论讨论 (2)12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应方程的解方程的解 10)(cose)(dntRtxt2d0n020 xxxR0tanarc0tanarc00d0n000d0n0 xxxxxxxx242. 3 自由振动自由振动 讨论讨论 (3)方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应1tstAAtx2e )(21tsxxxtxts)(e)(00000 xx）（00 xx）（252. 3 自由振动自由振动 讨论讨论 (4)12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应tstsxsxsxx

17、sstx21e)(e)(1)(01020021tstsAAtx2211ee)(00 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 262. 3 自由振动自由振动 振动特性振动特性 无阻尼无阻尼 0 0： 简谐运动简谐运动弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰减运动衰减运动27小阻尼小阻尼2. 3 自由振动自由振动 振对数衰减率振对数衰减率 2112lnnnxx2224282. 4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 22220212arctansin211)(tkFtx M M 292. 4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励2222021arcta

18、nsin11)(tkFtx 稳态响应稳态响应(结构阻尼结构阻尼)tFxkxhxmsin/0 M M 302. 4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 tRtxtdcosen 2222012arctansin21tkF 312. 4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(无无阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(n 32 2. 4 强迫振动强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(无无阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(nnn332. 4 强迫

19、振动强迫振动 简谐激励简谐激励半功率带宽半功率带宽n122幅频特性幅频特性342. 4 强迫振动强迫振动 周期激励周期激励稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼) 122211021sincos2nnnnnnnktnbtnakatx212arctannnnn1mknkmc221 1110sincos2nnntnbtnaatFtF tFxkxcxm 352. 5 隔振原理隔振原理 力的传递率力的传递率0FFST刚性支承传递的力幅幅通过弹性支承传递的力22222121S2362. 5 隔振原理隔振原理 位移传递率位移传递率YX底座的位移幅值系统质量的位移幅值S22222121YXS372. 6 非周期

20、激励下的响应非周期激励下的响应 杜哈曼积分杜哈曼积分 tFxkxcxm 单位脉冲响应单位脉冲响应tmthtddsine1ntxkxcxm 382. 6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应 杜哈曼积分杜哈曼积分 tFxkxcxm 全响应全响应ttxxtxtxn-dd0n0d0esincos)( tttFm0dddsine1n392. 6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 tFxkxcxm 定义定义两边作拉氏变换并有两边作拉氏变换并有 000 xx sFsxkscsm2 kscsmsFsx2 kscsmsZsH211 kscsmsxsFsZ2 tx sx sFsH方

21、程方程定义定义机械阻抗机械阻抗定义定义机械导纳机械导纳响应响应 0dettfsftft s4022 如图35所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高度为 h 处自由降落到 m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。习习 题题21 具有粘性阻尼的弹簧质量系统，使质量偏离平衡位置然后释放。如果每一循环振幅减小 5 ，那么系统所具有的等效粘性阻尼系数占临界阻尼系数的百分之几？(0.816 )tmmkkgmtmmkkmmhgmtx21221212cossin)(2)(41习题习题24 弹簧质量系统，从t = 0时，突加一个F0力，以后该力保持不变。试用Duh

22、amel积分求系统的响应。25 一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm 到2200 rpm 范围实现振动隔离，若要隔离85，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？(2.68 mm)2222)2()1 ()(cos)(tmgLkaaAknLgmLka22n)(222mgLkamLca212arctan23 试导出图示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应、半功率带宽。 tsakAamgLkcamLco)(222 42 求：求：钢丝绳的最大拉力。钢丝绳的最大拉力。 iixFxm kmgmg)x(kxmstst, mkxxn220,0 43kmgmg)x(kxmstst, mkxxn

23、n22,0 00,vx0,t ;x0t, )tsin(AxntmksinkmvxvAn00;0,kN2 .245)(0maxmaxmkvmgxkFst443.1 振动微分方程振动微分方程 3.2 特征值问题特征值问题3.3 解耦与主坐标解耦与主坐标3.4 自由振动自由振动3.5 强迫振动强迫振动3.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应453. 1 振动微分方程振动微分方程 n个自由度的系统个自由度的系统 分析方法分析方法隔离体受力分析隔离体受力分析建立广义坐标建立广义坐标461121211212111)()()(xmxxkxkxxcxctF iiiiiiiiiiiiiiixmxxkxxkx

24、xcxxctF )()()()()(111111)1, 3, 2(ninnnnnnnnnnnnnxmxkxxkxcxxctF 1111)()()(整理后用矩阵形式表示为整理后用矩阵形式表示为 tFxKxCxM 应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律3. 1 振动微分方程振动微分方程 47方程方程 3. 1 振动微分方程振动微分方程 T21,nixxxxx T21,nixxxxx广义位移广义位移广义速度广义速度广义加速度广义加速度外力向量外力向量 T21)(,),(,),(),()(tFtFtFtFtFniT21,nixxxxx 质量矩阵质量矩阵对称、正定对称、正定nimmmmM00000021 tF

25、xKxCxM 48方程方程 3. 1 振动微分方程振动微分方程 tFxKxCxM 刚度矩阵刚度矩阵对称、半正定对称、半正定 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK阻尼矩阵阻尼矩阵 对称对称 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC49方程方程 3. 1 振动微分方程振动微分方程 例例 3.1 建立图示系统的振动微分方程建立图示系统的振动微分方程链式系统链式系统 建立广义坐标如图建立广义坐标如图 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxxT4321,xxxxx4

26、321000000000000mmmmM 000000000646226262cccccccccC 5556543363322626210000kkkkkkkkkkkkkkkkkkK503. 1 振动微分方程振动微分方程 影响系数影响系数 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 刚度影响系数刚度影响系数产生单位位移所需的力，即系统仅在第产生单位位移所需的力，即系统仅在第j个个广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第在第i个广义坐标方向所加的力个广义坐标方向所加的力kij。 柔度影响系数柔度影响系数单位外力所引起的系统位移单位外

27、力所引起的系统位移 ，定义系统第，定义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为个广义坐标上所引起的位移为柔度系数柔度系数 hij。 513. 1 振动微分方程振动微分方程 例例3.2 3.2 建立三自由度系统的振动微分方程建立三自由度系统的振动微分方程三自由度系统三自由度系统 设设x1=1，x2=x3=0，则在，则在m1上施加的力上施加的力F1=1(k1+k2)，即，即k11= k1+k2 ；在；在m2上施加的力上施加的力F2=-k2 1 =-k2 ，即，即k21=-k2 ；在；在m3上施加的力为零，即上施加的力为零，即F3=0或或 k31=0。设设

28、x2=1，x1=x3=0，则在，则在m2上施加的力上施加的力F2=1 (k2+k3)，即，即k22= k2+k3 ；在；在m3上施加的力上施加的力F3=-k3 即即k32=-k3 ；由刚度矩阵的对称性得；由刚度矩阵的对称性得 k12 =k21= -k2。设设x3=1，x1=x2=0，则在，则在m3上施加的力上施加的力F3=1 k3，即，即k33= k3 ；由刚度矩阵的；由刚度矩阵的对称性得对称性得 k13 =k31 = 0 ， k23 =k32= -k3。00000000000321333322221321321xxxkkkkkkkkkxxxmmm 系统振动微分方程系统振动微分方程 刚度系数刚

29、度系数：产生单位位移所需的力，即系产生单位位移所需的力，即系统仅在第统仅在第j个广义坐标上产生单位位移个广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第（其他广义坐标位移为零），需要在第i个广义坐标方向所加的力个广义坐标方向所加的力kij。 523. 1 振动微分方程振动微分方程 例例3.2 3.2 建立三自由度系统的振动微分方程建立三自由度系统的振动微分方程三自由度系统三自由度系统 在质量在质量m1上施加单位力上施加单位力，质量，质量m1 、 m2和和m3的位移：的位移： x1=1/k1 ， x2=1/k1 ， x3=1/k1 ，即，即h11= h21= k31= 1/k1 ；000

30、0000001111111111111132132132132121121211111xxxxxxmmmkkkkkkkkkkkkkk 振动振动微分微分方程方程柔度系数柔度系数：单位外力所引起的系统位移单位外力所引起的系统位移 ，定，定义系统第义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广个广义坐标上所引起的位移为柔度系数义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。 在质量在质量m3上施加单位力上施加单位力，质量，质量m1 、 m2和和m3的位移：的位移： x1=1/k1， x2=1/k1+1/k2， x3=1/k1+1/k2 +1/k3。即柔度系数。即柔度系数x1=1/k1 ，

31、x2=1/k1+1/k2， x3= 1/k1+1/k2 +1/k3 。 在质量在质量m2上施加单位力上施加单位力，质量质量m1 、 m2和和m3的位移：的位移： x1=1/k1 ， x2=1/k1+1/k2， x3= 1/k1+1/k2，即柔度系数，即柔度系数h12= 1/k1 ， h22= k32= 1/k1+1/k2，；53质量质量m1上加一单位力，系统位移如图上加一单位力，系统位移如图(b)。1sinsin21TT微振动时微振动时 ： lh/sin111lh4/sin112解出解出h 11： Tlh5/411TlhTlhTlh55253413121按图按图(b)的比例的比例 3. 1 振

32、动微分方程振动微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系统的振动微分方程建立四自由度系统的振动微分方程柔度系数柔度系数：单位外力所引起的系统位移单位外力所引起的系统位移 ，定，定义系统第义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广个广义坐标上所引起的位移为柔度系数义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。 弦上四质量弦上四质量 建立广义坐标建立广义坐标xi，坐标原点在系静平衡时，坐标原点在系静平衡时各质量的位置。各质量的位置。m1力平衡方程力平衡方程：即即 ： 1sinsin21TTlh411lh11541sinsin43TT弦上四质量弦上四质量 1sinsin43TTlh

33、2/sin223lh3/sin224Tlh5/622TlhTlhTlh52,54,53423212质量质量m2上加一单位力，系统位移如图上加一单位力，系统位移如图(c)。微振动时微振动时 ： 解出解出h 22： 按图按图(c)的比例的比例 3. 1 振动微分方程振动微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系统的振动微分方程建立四自由度系统的振动微分方程柔度系数柔度系数：单位外力所引起的系统位移单位外力所引起的系统位移 ，定，定义系统第义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广个广义坐标上所引起的位移为柔度系数义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。 m2力平衡方程力平衡

34、方程：即即 ： lh322lh22255由结构对称性，可得到其它的柔度系数由结构对称性，可得到其它的柔度系数 ： Tlh5213Tlh5423Tlh5633Tlh5343Tlh514Tlh5224Tlh5334Tlh5444000000000000000043213642246312345432143214321xxxxxxxxmmmmTl 振动振动微分微分方程方程TlhTlhTlhTlh52545653423222123. 1 振动微分方程振动微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系统的振动微分方程（振动过程弦的张力建立四自由度系统的振动微分方程（振动过程弦的张力T T不变）不变）Tlh

35、TlhTlhTlh552535441312111弦上四质量弦上四质量 563. 2 特征值问题特征值问题 特征方程的三种表达形式特征方程的三种表达形式 0 xKxM 若质量矩阵正定，方程两边若质量矩阵正定，方程两边左乘左乘 M - 1 : 011xKMxMM 0 xWxI 设设 2 0XIW若刚度矩阵正定方程两边若刚度矩阵正定方程两边左乘左乘 K - 1 : 011xKKxMK 0 xIxD 设设 2 01XID方程方程 tXxcos设设 代入方程代入方程 2 0XMK tXxcos tXxcos代入方程代入方程 代入方程代入方程 刚度动刚度动力矩阵力矩阵 柔度动柔度动力矩阵力矩阵 0MK 0

36、IW 01ID特征方程：特征方程： 特征方程：特征方程： 特征方程：特征方程： 57 0MK 0IW 01ID3. 2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量从任意一个特征方程出发，获得从任意一个特征方程出发，获得n个特征个特征 i ( i = 1, 2, , n )将每一个特征值代入相应的线性代数方程组，获得对应的特征向量将每一个特征值代入相应的线性代数方程组，获得对应的特征向量Xi:或从下列伴随矩阵的某一列得到特征向量或从下列伴随矩阵的某一列得到特征向量Xi: 0iiXIW 01iiXID 0iiXMK IWiadj ID1adj MKiadjn个国有圆频率个国有圆频率 i

37、 2 ( i = 1, 2, , n )主振型主振型583. 2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量例例 3-4 已知三自由度系统的质量已知三自由度系统的质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度，弹簧刚度k1= k2= k3= k4= k 。求系统的特征值和特征向量。求系统的特征值和特征向量。解：解：建立广义坐标如图，由视察法得到建立广义坐标如图，由视察法得到方程方程mmmM000000 kkkkkkkK20202 2101210121mkKMW022222mkmkmkmkmkmk特征方程为特征方程为 三自由度系统三自由度系统 0 xKxM 0IW展开为展开为 0202

38、02mkmkmkmkmkmkmk593. 2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量022222mkmkmkmkmkmk例例 3-4特征值为特征值为mk221mk22mk223mk765. 01mk414. 12mk848. 13024222mkmkmk22816212mkmkmk603. 2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量 1211X特征向量特征向量 IWiadjmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk22202220222adjmk221例例 3-42222mkmkmk613. 2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量 1012X特

39、征向量特征向量 IWiadjmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk22022022adjmk22例例 3-42220mkmkmk节点节点623. 2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量 1213X特征向量特征向量 IWiadjmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk22202220222adjmk223例例 3-42222mkmkmk节点节点633. 2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性n自由度系统自由度系统 ，质量阵和刚度阵是，质量阵和刚度阵是nn矩阵，有矩阵，有n个特征值和特征向量个特征值和特征向量n21固有圆频率固有圆频率 主振型和振型

40、矩阵主振型和振型矩阵 第第i个主振型个主振型有有i-1个节点个节点 节点节点 n自由度系统自由度系统 ，有，有n个固有圆频率个固有圆频率 i 2 ( i = 1, 2, , n )n自由度系统自由度系统 ，有，有n个主振型个主振型 x i ( i = 1, 2, , n )，振型矩阵为振型矩阵为 niXXXu1643. 2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性刚度动力矩阵刚度动力矩阵特征值特征值特征值之和特征值之和等于刚度动力矩阵对角元素之和等于刚度动力矩阵对角元素之和特征值之积特征值之积等于刚度动力矩阵对应的行列式的值乘等于刚度动力矩阵对应的行列式的值乘(-1)n

41、2101210121mkKMWmk221mk22mk223nii iniiw11i inniiw)1(1特征值倒数之和特征值倒数之和等于柔度动力矩阵对角元素之和等于柔度动力矩阵对角元素之和nii iniiD111特征值特征值653. 2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性对于第对于第i个特征值和第个特征值和第j个特征向量个特征向量 ，有，有 jjjXMXK iiiXMXK ijiijXMXXKXTT jijjiXMXXKXTT ijjiXKXXKXTT ijjiXMXXMXTT 0TjijiXMX 0jiXMXT 0jiXKXT ii

42、iiiiiMKXMXXKXTT两边左乘两边左乘X T 得得 jiijiXMXXKXTT两式相减两式相减 得得ji iiiMXMXT iiiKXKXTji第第i阶主刚度阶主刚度第第i阶主质量阶主质量主振型关主振型关于质量矩于质量矩阵和刚度阵和刚度矩阵正交矩阵正交663. 2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性振型矩阵振型矩阵 则有则有 nMMMM00000021 nKKKK00000021正则化的振型矩阵正则化的振型矩阵 nnXMXMXMu1,1,12211 niXXXu1正则化振型矩阵的正交性正则化振型矩阵的正交性 MuMuT KuK

43、uT IuMuT iuKuT673. 2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性例例 3-5 验证例验证例3-4中三自由度系统的中三自由度系统的特征向量的正交性。特征向量的正交性。三自由度系统三自由度系统 mmmM000000 kkkkkkkK20202 111202111u mmmmmmuMu400020004111202111000000121101121T 111202111)22()222()22(202)22()222()22(11120211120202121101121TkkkkkkkkkkkkkkkuKukkk)22(40

44、004000)22(4683. 2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法Rayleigh原理原理 2RTTXMXXKX 即使假设振型即使假设振型 X 与系统第与系统第 i 个特征向量个特征向量 Xi 有些差别，有些差别，也可以把上式近似地作为系统第也可以把上式近似地作为系统第i 阶固有圆频率的估计值，这就阶固有圆频率的估计值，这就是是Rayleigh原理。原理。 0XMK XMXK XMXXKXTT特征值问题特征值问题 或或 两边左乘两边左乘X T 得得移项移项 得得Rayleigh商商 若假设振型若假设振型 X 的每一个元素都非零且同号，即它与系统的每一个元素都非零且同号，即它与系

45、统的第的第1 个特征向量个特征向量 X1 接近，就可以接近，就可以Rayleigh商商近似地作为系统近似地作为系统基频的估计值。基频的估计值。估算值高于精确解估算值高于精确解 。 低频情况下，位移、变形、应力相对较大低频情况下，位移、变形、应力相对较大693. 2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法Rayleigh原理原理 从系统柔度动力矩阵出发，从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题特征值问题为为 XXMK1 21TTRXMKMXXMX 01XID或或 两边左乘两边左乘X T M 得得移项移项 得第二种得第二种Rayleigh商商 XMXXMKMXT1T 若假设振型若假设振型 X 的

46、每一个元素都非零且同号，即它与系统的每一个元素都非零且同号，即它与系统的第的第1 个特征向量个特征向量 X1 接近，也可用第二种接近，也可用第二种Rayleigh商商近似地作近似地作为系统基频的估计值。为系统基频的估计值。当假设振当假设振 X 相同时，估算值高于精确相同时，估算值高于精确解，但低于解，但低于第一种第一种Rayleigh商的估算值商的估算值。 703. 2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法Dunkerley公式公式 012XID根据系统特征值的的特性，根据系统特征值的的特性，特征值倒数之和特征值倒数之和等于系统柔度动力矩阵等于系统柔度动力矩阵对角线元素的和（即矩阵对

47、角线元素的和（即矩阵 D 的迹），即的迹），即 nii iniidD112Trace1当系统质量矩阵为对角阵，当系统质量矩阵为对角阵， nii inii ii imhD1211Trace当当 时时 12 Dnii iTrace111221从系统柔度动力矩阵出发，从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题特征值问题为为隔绝频率隔绝频率 估算值低于精确解估算值低于精确解 713. 2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法例例 3-6 用三种公式估算例用三种公式估算例3-4中三自中三自由度系统的基频。由度系统的基频。三自由度系统三自由度系统 mmmM000000 kkkkkkkK20202Rayl

48、eigh原理原理 2RTTXMXXKXmkmmmkkkkkkk3211100000011111120202111mk221723. 2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法例例 3-6 用三种公式估算例用三种公式估算例3-4中三自中三自由度系统的基频。由度系统的基频。三自由度系统三自由度系统 mmmM000000 32124212341202021kKkkkkkkkKRayleigh原理原理 21TTRXMKMXXMXmkmmkmmmmmmkmmm532012111000000321242123000000111411110000001112mk221733. 2 特征值问题特征值问

49、题 基频估算方法基频估算方法例例 3-6 用三种公式估算例用三种公式估算例3-4中三自中三自由度系统的基频。由度系统的基频。三自由度系统三自由度系统 mmmM000000 32124212341202021kKkkkkkkkKDunkerley公式公式 Dnii iTrace111221 3212421234000000321242123411kmmmmkMKDkmkm253212421234Trace121mk5221mk221743. 2 特征值问题特征值问题 复特征值（系统具有粘性阻尼）复特征值（系统具有粘性阻尼） 0 xKxCxM n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 tsXxe设设

50、 0e2tsXKCsMs代入方程代入方程由于由于一元一元2n次代数方程，次代数方程，对振动问题，解一般为对振动问题，解一般为), 2, 1(i21,njsjjjj系统无阻尼系统无阻尼 ), 2, 1(0njj系统不振动系统不振动 系统不稳定系统不稳定 系统稳定系统稳定方程方程0ets要使要使 X 有非零解的充要条件为有非零解的充要条件为 02KCsMs), 2, 1(0njj)21(0njj或或或), 2, 1(0njj讨论讨论753. 2 特征值问题特征值问题 005 . 35 . 15 . 15 . 3200200212121xxkkkkxxccxxmm 振动微分方程振动微分方程 05 .

51、 325 . 15 . 15 . 3222kcsmskkkcsms例例 3-10 已知二自由度系统的质量已知二自由度系统的质量m1= m2 = m ，弹簧刚度，弹簧刚度k1= k3=2 k， k2=1. 5 k, 粘粘性阻尼系数性阻尼系数 c1= c2= 2 c。求系统的特征值。求系统的特征值。二自由度系统二自由度系统 tsXxe设设代入方程，得到频率方程代入方程，得到频率方程0522222kcsmskcsms一般来说，对振动系统一般来说，对振动系统 4 c 2 8 m k21,12i21mcmkmcs22,25i21mcmkmcs或或复特征值（系统具有粘性阻尼复特征值（系统具有粘性阻尼）76

52、3. 3 解耦与主坐标解耦与主坐标 坐标的耦合坐标的耦合动力耦合和动力耦合和静力耦合静力耦合 汽车车体汽车车体简化成作平面运动的刚性杆，简化成作平面运动的刚性杆，c是质心。是质心。 广义坐标：广义坐标：x， 弹性恢复力和惯性力如图。（重力与弹性恢复力和惯性力如图。（重力与弹簧初变形的力已抵消）弹簧初变形的力已抵消） 矩阵形式矩阵形式： 0)()()(4231lxklxkexm 0)()()(331442eexmllxkllxkJc 力和力矩平衡方程为力和力矩平衡方程为0023124231423142211xlklklklklklkkkxJememmc 动力耦合或惯性耦合动力耦合或惯性耦合静力耦

53、合或弹性耦合静力耦合或弹性耦合773. 3 解耦与主坐标解耦与主坐标 坐标的耦合坐标的耦合动力耦合和动力耦合和静力耦合静力耦合 广义坐标：广义坐标：x1， 10)()(121211111lxklxkxm 0)()(11111212121llxkllxkJc 力和力矩平衡方程为力和力矩平衡方程为矩阵形式矩阵形式： 000011211222112211222111xlklklklklklkkkxJmc 无动力耦合无动力耦合或惯性耦合或惯性耦合有静力耦合有静力耦合或弹性耦合或弹性耦合若使若使k2l2 = k1l1, 则既无则既无动力耦合动力耦合又无又无静力耦合静力耦合结论结论耦合与否完全取决于耦合与

54、否完全取决于坐标的选取。坐标的选取。783. 3 解耦与主坐标解耦与主坐标 解耦解耦 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 方程方程 0 xKxM yux 设设 0yuKyuM 0TTyuKuyuMu 两边分别左乘两边分别左乘uT 得得0000000000000001111 ninininiyyyKKKyyyMMM由振型矩阵正交性由振型矩阵正交性: 代入方程代入方程：或或: ), 2, 1(0niyKyMiiii 主坐标主坐标 使振动微分方程解耦的坐标使振动微分方程解耦的坐标 xuy1793. 3 解耦与主坐标解耦与主坐标 例例 3-7 使例使例3-4的三自由度系统振动的三自由度系统振动微分

55、方程解耦，并求主坐标。微分方程解耦，并求主坐标。振动微分方程为振动微分方程为 mmmM000000 kkkkkkkK20202三自由度系统三自由度系统 0 xKxM 111202111u yux 设设 0yuKyuM 0TTyuKuyuMu 两边分别左乘两边分别左乘uT 得得由振型矩阵正交性由振型矩阵正交性: 代入方程代入方程：000)22(40004000)22(4400020004321321yyykkkyyymmm 主坐标主坐标 xuy1 121202121411u80 31 建立图示链式系统的振动微分方程。 32 如图所示，绳索上有两个质量 m1 和 m2 ( m1 = 2 m2 )，

56、各段绳索中的张力均为T ，用柔度法建立系统作微振动的微分方程。习题习题81习题习题 33 图示扭转振动系统中， k1 = k2 = k，J1 = 2 J2 = 2 J。 求系统的固有频率和主振型；正则化振型矩阵和主坐标；用三种方法估算系统的基频，并与精确解作比较。 823. 4 自由振动自由振动位形位形展开定理展开定理系统振动过程中，广义位移的图式称为系统的位形。系统振动过程中，广义位移的图式称为系统的位形。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 0 xKxM 方程方程主振型主振型 nXXXu,21设位形设位

57、形 u 可用下式表示可用下式表示 nnXcXcXcu2211niiiXc1如果如果 X i 线性相关，必有线性相关，必有 01niiiXcu其中其中c i 有为非零常数。有为非零常数。两边同时左乘两边同时左乘 X rTM 得：得： 01niiriXMXcu由矩阵的正交性：由矩阵的正交性： )(0irXMXir )(0irXMXir833. 4 自由振动自由振动展开定理展开定理系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。由矩阵的正交性：由矩阵的正交性： )(0irXMXir )(0irXMXir因此只有当因此只有当c r =0 时，等式才成立。取时，等式才

58、成立。取r 1, 2, , n，重复，重复n次，可得结论，次，可得结论，只有当只有当c 1 =c 2 = c n =0 时，等式才成立，时，等式才成立，与前面的假设矛盾与前面的假设矛盾，因此系统，因此系统的振型矢量是线性独立的。的振型矢量是线性独立的。c i 的计算可对展开式两边左乘的计算可对展开式两边左乘 X rTM 得到得到 rrniiirrMcXcMXuMX1TT rrrMuMXcT84例例 3-8 例例3-4的三自由度系统质量的三自由度系统质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度，弹簧刚度k1= k2= k3= k4= k 。当系统的位移比为。当系统的位移比为1, 2 ,3T、 1

59、, 2 ,3 T和和1, 2 ,3 T时，时，各阶主振型的各阶主振型的贡献贡献如何？如何？三自由度系统三自由度系统 111202111u121101121321131211ccc设设3. 4 自由振动自由振动展开定理展开定理系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。mmmM000000 rrrMuMXcT 7071. 1432112111mImcmMmMmM424321 1232110112mImc 293. 0432112113mImc85例例 3-8 例例3-4的三自由度系统质量的三自由度系统质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度，弹簧刚度k

60、1= k2= k3= k4= k 。当系统的位移比为。当系统的位移比为1, 2 ,3、 1, 2 ,3和和1, 2 ,3时，时，各各阶主振型的贡献阶主振型的贡献如何？如何？三自由度系统三自由度系统 111202111u121101121321232221ccc设设3. 4 自由振动自由振动展开定理展开定理系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。mmmM000000 rrrMuMXcT 2071. 0432112121mImcmMmMmM424321 2232110122mImc 2071. 1432112123mImc86例例 3-8 例例3-4的三