第四章 李雅普诺夫稳定性分析(2013)

1、14.1 稳定性基本概念稳定性基本概念4.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 4.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法4.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法第四章第四章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法构造李雅普诺夫函数的一些方法21.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。定性概念。2.熟练掌握李氏第一法熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。李氏第二法。3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近掌握线性系统渐近稳定性分析和离散

2、系统渐近稳定性分析方法。稳定性分析方法。重点内容：重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。3v研究的目的和意义研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。正常工作的必要条件，是一个重要特征。v要求：要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍

3、然能恢状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。状态继续工作。v稳定性：稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。关。4v经典控制理论稳定性判别方法：经典控制理论稳定性判别方法：劳斯判据，劳斯判据，奈魁斯特判据，对数判据。奈魁斯特判据，对数判据。 v非线性系统：非线性系统：相平面法相平面法(适用于一，二阶非线适用于一，二阶非线性系统性系统)v1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定

4、理采用了状态向量来描述，适用于单变量，定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。v应用：自适应控制，最优控制，非线性控制应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。等。5主要内容：主要内容：李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。化的非线性系统。李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法） 直接判直接判断系统稳定性断系统稳定性，

5、利用经验和技巧利用经验和技巧构造构造一个李亚普诺夫函数一个李亚普诺夫函数V(x)，根据，根据 符号性质判符号性质判断系统稳定性断系统稳定性-对任何系统都适用。对任何系统都适用。)(xV64.1 稳定性基本概念稳定性基本概念 1.自治系统：自治系统：输入为输入为0的系统的系统 2.初态初态 的解为的解为 初态初态 3.平衡状态：平衡状态： 系统的平衡状态系统的平衡状态 a.线性系统线性系统 A非奇异：非奇异： A奇异：奇异： 有无穷多个有无穷多个) 0( uBuAxx ),( txfx00( ;, )x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx00eexAx 0e

6、Axex7b.非线性系统非线性系统 可能有多个可能有多个 例例4-1: 令令 0),(txfxeex3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103ex84. 孤立的平衡状态：孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。坐标变换，把它变换到状态空间的原点。所以讨论零平衡状态所以讨论零平衡状态 的稳定性具有普的稳定性具有普遍意义。遍意义。 0ex94.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定

7、义 1.李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数如果对每个实数 都对应存在另一都对应存在另一个实数个实数 满足满足00),(0t),(00txxe的任意初始态的任意初始态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹0 x00( ;, )x t x t，在，在 都满足：都满足：t000( ;, ) , ex t x txtt则称则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。是李雅普诺夫意义下稳定的。10时变系统：时变系统： 与与 有关有关 定常系统：定常系统： 与与 无关，无关， 是一致稳定的。是一致稳定的。注意：注意： 向量范数向量范数(表示空间距离表示空间距离) 欧几里得范数。欧几里得范数。ex

8、0t0t 212021100)()(neneexxxxxx112.渐近稳定渐近稳定1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定是李雅普诺夫意义下的稳定2） 一致渐近稳定一致渐近稳定3.大范围渐近稳定大范围渐近稳定对于对于 都有都有00lim( ;, )0etx t x tx无关与0t)(0sx 00lim( ;, )0etx t x tx12x ( ),s ex初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。v线性系统线性系统(严格严格)：如果它是渐近稳定的，必如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初线性系统稳定性与初 始条件的大

9、小无关始条件的大小无关)。v非线性系统：非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。或其附近。大范围渐近稳定大范围渐近稳定13v 当当 与与 无关无关 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。v 必要条件：必要条件：在整个状态空间中只有一个平在整个状态空间中只有一个平衡状态衡状态 。 4. 不稳定性：不稳定性：不管不管 ， 有多小，只要有多小，只要 内由内由 出发的轨迹超出出发的轨迹超出 以外，则称此以外，则称此平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。0tex)(s0 x)(s14 线性系统的平衡状态不稳定线性系统的

10、平衡状态不稳定 表征系统不稳定。表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹只说明轨迹离开了离开了S( ），这说明平衡状态是不稳定的。），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在轨迹还可能趋于在S( ）外的某个极限环）外的某个极限环,若存在若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。15图图4.1 稳定性的平面几何表示稳定性的平面几何表示 （c）不稳定）不稳定性性（b）渐近稳定性）渐近稳定性（a）李雅普诺夫意义下的稳定性）李雅

11、普诺夫意义下的稳定性164.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（间接法）（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1. 线性定常系统稳定性的特征值判据线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件： 2）渐近稳定的充要条件：）渐近稳定的充要条件：Axx 0)0(xx0tRe()0ini, 2 , 10)Re(i ni, 2 , 13）不稳定的充要条件：）不稳定的充要条件：0)Re(i 17以上讨论的都是指系统的以上讨论的都是指系统的平衡状态稳定性平衡状态稳定性也称也称内部稳定性内部稳定性。2

12、. 外部稳定性外部稳定性(有界输入有界输出稳定性有界输入有界输出稳定性) 考虑一个线性定常系统考虑一个线性定常系统,在零初始条件下在零初始条件下,如果对应如果对应于任意有界输入于任意有界输入u所引起的输出所引起的输出y均为有界，则称该系统均为有界，则称该系统是外部稳定的。是外部稳定的。 系统的外部稳定性也称有界输入有界输出系统的外部稳定性也称有界输入有界输出（BIBO）稳定性。）稳定性。 对于线性定常连续系统，对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是外部稳定的充要条件是系统传递函数的全部极点具有负实部。系统传递函数的全部极点具有负实部。 18例例4-2：已知系统的状态空间表达式为：已知系统的

13、状态空间表达式为：试分析系统在平衡状态处的稳定性与输出稳定性。试分析系统在平衡状态处的稳定性与输出稳定性。解：解：(1)xyuxx01,1110010) 1)(1(1001AI特征值特征值:1,121故系统在平衡状态处不是渐近稳定的。故系统在平衡状态处不是渐近稳定的。19(2)11) 1)(1(111100101)()(11ssssssbAsICsG传递函数的极点传递函数的极点 s= -1,故系统输出稳定。故系统输出稳定。203. 能控、能观系统外部稳定性和内部稳定性的等价能控、能观系统外部稳定性和内部稳定性的等价 所以，系统的内部稳定性包含了系统的外部稳定性，所以，系统的内部稳定性包含了系统

14、的外部稳定性，即如果一个线性定常系统在平衡状态是渐近稳定的，即如果一个线性定常系统在平衡状态是渐近稳定的，则它也必是则它也必是BIBO稳定的。稳定的。 结论：系统外部稳定性和内部稳定性等价的条件是结论：系统外部稳定性和内部稳定性等价的条件是系统既能控又能观。系统既能控又能观。 李雅普诺夫第一法：线性定常连续系统平衡状态为李雅普诺夫第一法：线性定常连续系统平衡状态为渐近稳定的充要条件是系统矩阵渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值都具有的所有特征值都具有负实部。负实部。 外部稳定的充要条件：外部稳定的充要条件：系统传递函数的极点全部系统传递函数的极点全部位于左半位于左半s平面。平面。 线性定

15、常系统传递函数的全部极点都包含在线性定常系统传递函数的全部极点都包含在A的的特征值中。特征值中。就单输入单输出系统解释这一结论：就单输入单输出系统解释这一结论： 21 这时，系统的外部稳定性完全等价于系统的内部这时，系统的外部稳定性完全等价于系统的内部稳定性。稳定性。 这时，系统的外部稳定性也只反映了既能控又这时，系统的外部稳定性也只反映了既能控又能观子系统的稳定性，而不能反映系统中其它部分能观子系统的稳定性，而不能反映系统中其它部分的稳定性。所以，系统的外部稳定不能保证系统的的稳定性。所以，系统的外部稳定不能保证系统的内部稳定内部稳定 。 传递函数出现零极点相消现象时，传递函数的传递函数出现

16、零极点相消现象时，传递函数的全部极点不等价于系统矩阵全部极点不等价于系统矩阵A的所有特征值。系统的所有特征值。系统的外部稳定性也就不等价于系统的内部稳定性了。的外部稳定性也就不等价于系统的内部稳定性了。 当线性定常系统既能控又能观时，传递函数不会当线性定常系统既能控又能观时，传递函数不会出现零极点相消现象，传递函数的全部极点等价于系统出现零极点相消现象，传递函数的全部极点等价于系统矩阵矩阵A的所有特征值。的所有特征值。224. 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值开成台劳级数，可用线性

17、化系统的特征值判据判断非线性系统在平衡状态处的稳定判据判断非线性系统在平衡状态处的稳定性。性。 设非线性系统状态方程：设非线性系统状态方程： 在平衡状态在平衡状态 附近存在各阶偏导数，附近存在各阶偏导数，于是：于是： )(xfx )(xf-非线性向量函数非线性向量函数ex23()()( )eeeTx xfxf xxxg xx其中：其中：)(xg-级数展开式中二阶以上各项之和级数展开式中二阶以上各项之和nnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxf212221212111)(24v上式为向量函数的上式为向量函数的雅可比矩阵雅可比矩阵。 令令 则则非线性系统线性化状态方程为非线性系统线性

18、化状态方程为Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x 25结论：结论：1) 若若 ，则非线性系，则非线性系统在统在 处是处是渐近稳定的渐近稳定的，与，与 无关。无关。2) 若若 , 则非线性系统则非线性系统不稳定不稳定。3) 若若 ，稳定性与稳定性与 有关，有关， 则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的稳定。 Re()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1,Re()0i)(xg0)(xg26例例4-3：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：2111xxxx2122xxxx试分析系统在平衡状态处

19、的稳定性。试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：解：令令0021xxTeTexx1100212111xxxf2122xxxf27121211,1xxfxxf1222121,xxfxxfTex00110010, 02212211121xxxfxfxfxfA281,10) 1)(1(100121AI可见非线性系统在平衡状态可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。处不稳定。0110112AxTejAI2, 120111不能确定非线性系统在平衡状态不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。处稳定性。29 李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理 ：根据物理学原理，根据物理学

20、原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。早会到达平衡状态。 实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及及t 有关，是一个标量函数，记以有关，是一个标量函数，记以 ；若不显含；若不显含t ，则记，则记以以 。 考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或或 表示。表示。 实践表明，对于大多数系统，可

21、先尝试用二次型函数实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。nxx,1( , )V x t( )V xPxxT4.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法),( txV)(xV30v4.4.1 预备知识预备知识31 32 33 5.V(x)不定不定: V(x) 0或或V(x)0 则则 V(x) 是不定的。是不定的。12( )V xx x如：如：34352.如果如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则PxxxVT)(是正半定的。是正半定的。3.如果如果矩阵矩阵P的的奇数阶奇数阶主子行列式为主

22、子行列式为负负值，值，偶数阶偶数阶主子行列式为正值，则主子行列式为正值，则是是负负定的。定的。 PxxxVT)(0) 1( , 0) 1(, 0) 1(21222211121122211211211nnnnnnnpppppppppppppp即即: 3637v4.4.2 几个稳定性定理几个稳定性定理 设系统状态方程：设系统状态方程： 其平衡状态满足其平衡状态满足 ，假定状假定状态空间原点态空间原点作为平衡状态作为平衡状态( )，并设在原，并设在原点邻域存在点邻域存在 对对 x 的连续的一阶偏导数。的连续的一阶偏导数。),(txfx 0), 0(tf0ex),(txV38v定理定理1：若若 (1)

23、 正定；正定； (2) 负定；负定； 则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。(3) 当当 时时 ,则系统在原点处是大范围渐近稳定的。则系统在原点处是大范围渐近稳定的。 说明：说明： 负定负定 系统能量随时间连系统能量随时间连续单调衰减。续单调衰减。),(txV),(txV),(txVx),(txV39v定理定理2：若若(1) 正定；正定； (2) 负半定；负半定； (3) 在非零状态不恒在非零状态不恒为零，为零，即对于有即对于有 ；则原点则原点是渐近稳定的。是渐近稳定的。说明：条件说明：条件(2)、(3)表示在某处会出表示在某处会出现但不恒为零的情况，这时系统现但不恒为零的情况，这时系统向着

24、向着“能量能量”越来越小方向运动过程中越来越小方向运动过程中与某个等与某个等“能量能量”面相切，但通过切点面相切，但通过切点后并不停留而继续趋向于最小后并不停留而继续趋向于最小“能量能量”的平衡点，所以该平衡状态仍然的平衡点，所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。是渐近稳定的。 ),(txV),(txV),(txV0 x( , )0Vt x0 x( , ) 0V t x0ex40v定理定理3：若若(1) 正定；正定； (2) 负半定；负半定；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。说明：说明：条件（条件（2）不强调不）不强调不恒为零，意味着系统向着小恒为零，意味着系统向着小“

25、能量能量”方向运动的过程中与某个等方向运动的过程中与某个等“能量能量”面相切，但可能不再离开该等面相切，但可能不再离开该等“能能量量”面，形成有界但不具有渐近性面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。的运动状态。 ),(txV),(txV),(txV41v定理定理4：若若(1) 正定；正定； (2) 正定；正定； 则原点是不稳定的。则原点是不稳定的。说明：说明： 正定正定 能量函数随时间增能量函数随时间增大，大， 在在 处发散。处发散。),(txV),(txV),(txV00( ;, )x t x tex42v推论：推论：当当 正定，正定， 正半定，正半定，且且 在非零状态不恒为零时在非零状态不

26、恒为零时,则原则原点不稳定。点不稳定。),(txV),(txV),(txV43几点说明：几点说明：1) 选取不唯一，但没有通用办法，选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致选取不当，会导致 不定的结果。不定的结果。2)李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。充分条件。),(txV),(txV),(txV具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数V(x,t),通常选二次型函数，求其导数通常选二次型函数，求其导数 再将状态方再将状态方),( txV程代入，最后根据程代入，最后根据 的定号性判别稳定性。的定号性判别

27、稳定性。),( txV44例例4-4：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx令令01x 02x 01x02x原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点45 设设则则2221)(xxxV221122)(xxxxxV22221)(2)(xxxV0)( 0.xVx)(.xV负定负定1)原点是渐近稳定的；原点是渐近稳定的；2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；近稳定；3)由于由于V(x)与与t 无关，又是大范围一致渐近无

28、关，又是大范围一致渐近稳定。稳定。定理定理1x2)(xxV0)(0 xVx46v几何意义：几何意义：)()(22212221ccxxxV等能量轨迹等能量轨迹(整个平面整个平面)1c2c),(2010 xx2x1x)(xV表示状态表示状态x到状态空间原点距离的一种度量。到状态空间原点距离的一种度量。 0)(txV0)( tx如果原点与瞬时状态如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随之间的距离随t的增加而连续的增加而连续地减小（即地减小（即），则），则最终最终 。 47例例4-5：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳

29、定性。解：解：21xx 22212)1 (xxxx令令01x 02x 01x02x原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点48 设设则则2221)(xxxV22222211)1 (222)(xxxxxxxV)(xV负半定负半定0)(00)(0 xVxxVx反设反设0)(xV0, 0000) 1 (212212xxxxxx代入状态方程任意及 只有平衡状态只有平衡状态 满足满足021 xx0)(xV491, 0011)2(112212xxxxxx代入状态方程任意及这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。发生在状态方程的解运动轨迹上。综合以上分析

30、可知综合以上分析可知,0)(,0 xVx,x2)(xxV系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。处是大范围渐近稳定的。50例例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。性。解：解：1) 21xx 212xxx令令02x 01x02x01x 即原点是平衡状态。即原点是平衡状态。2221)(xxxV222)(xxV设设51则：则：0)( 0 , 0.21xVxx0)( .xV)(.xV其它任意状态其它任意状态负半定负半定令令0)(.xV01x02x只有全零解只有全零解0 x非零状态时非零状态时原点原点 是渐近稳定，且是大范围是渐近稳定，且是大范

31、围一致渐近稳定。一致渐近稳定。0ex定理定理20)( xV52例例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。性。解：解：设设 则则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 )0( 21kkxx 12xx 021 xx 021 xx原点是平衡状态原点是平衡状态2221)(kxxxV定理3022)(2121xkxxkxxV53例例4-8：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解解: 即即 设设 则则 可见可见 与与 无关，故非零状态无关，故非零状态(如如 )有有 ，而对其余任意状态，而对其余任意状态

32、有有21221 xxxxx0 21 xx0 21 xx0ex2221)(xxxV222)(xxV)(xV1x02x0)(xV0)(xV 01x故故 正半定。正半定。)(xV54 令令 即非零状态时，即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳定不恒为零，则原点不稳定即即系统不稳定。系统不稳定。0, 00)(12xxxV)(xV推论推论554.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法1. 设系统状态方程为：设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。为唯一平衡状态。 设选取如下的正定二次型函数设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数为李氏函数 则：则：Axx A-非奇异矩阵非奇异矩阵0ex)(

33、xV( )TV xx Px将将 代入：代入：Axx xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(线性定常连续系统渐近稳定性判别线性定常连续系统渐近稳定性判别56 令令 由渐近稳定性定理由渐近稳定性定理1，只要，只要Q正定正定(即即 负负定定)，则系统是大范围一致渐近稳定。，则系统是大范围一致渐近稳定。定理：定理：系统系统 大范围渐近稳定的充要条大范围渐近稳定的充要条 件为件为: 给定一正定实对称矩阵给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一，存在唯一的正定实对称矩阵的正定实对称矩阵P使使 成立，成立，则则 为系统的一个李雅普诺夫函为系统的一个李雅普诺夫函数。数。 TA PPAQ QxxxVT)()(xV

34、Axx TA PPAQ ( )Tx PxV x57方法方法1： 给定正定给定正定Q P的定号性的定号性 Q单位阵单位阵 P的定号性的定号性方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允许单位矩阵主对允许单位矩阵主对 角线上部分元素为零。角线上部分元素为零。 58例例4-9：解：选取解：选取xx11100ex( )TV xx PxTA PPAQ 1001111011102212121122121211PPPPPPPP591212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp2311p2112p122p6002311p045121212322121211pppp

35、P正定正定 是大范围一致渐近稳定是大范围一致渐近稳定ex)()(2221xxxV)223(21)(222121xxxxPxxxVT李雅普诺夫函数为李雅普诺夫函数为 :且且613x2x1xu1sK21ss1例例4-10: 试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统渐近稳定的渐近稳定的K值范围。值范围。62解解 容易推得系统的状态方程为容易推得系统的状态方程为:uKxxxKxxx0010120010321321 在确定渐近稳定的在确定渐近稳定的K值范围时，假设输入值范围时，假设输入u为零。为零。 于是上式可写为于是上式可写为:)1 .4(21xx ) 2 . 4(2322

36、xxx)3 . 4(313xKxx由式由式(4.1）到（）到（4.3）可知，原点是平衡状态。）可知，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵假设取正半定的实对称矩阵Q为为:63100000000Q由于除原点外由于除原点外( )V xx QxT 不恒等于零，不恒等于零，因此可选上式的因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意为了证实这一点，注意)(,)(23xVxQxxxVT0000)(213xxxxV取取于是于是( )V x只在原点处才恒等于零。只在原点处才恒等于零。 为负半定。为负半定。因此可选择正半定因此可选择正半定Q用于用于Lyapunov方程。方程。 64现在求解如下现在求解如下Lyapu

37、nov方程方程:QPAPAT1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK 对对P的各元素求解，可得的各元素求解，可得: 65KKKKKKKKKKKKKKKP212621202122123212602126212122为使为使P成为正定矩阵，其充要条件为成为正定矩阵，其充要条件为:0212K0K和和即即 系统渐近稳定。也就是说，系统渐近稳定。也就是说，原点是大范围一致渐近稳定的。原点是大范围一致渐近稳定的。 60 K662. 线性定常离散系统渐近稳定性判别线性定常离散系统渐近稳定

38、性判别 设系统状态方程：设系统状态方程： 其中其中 -非奇异阵，非奇异阵， 是平衡状态。是平衡状态。 设设)() 1(kxkx0ex ( )( )( )TV x kxk Px k67 ( ) (1) ( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTV x kV x kV x kxkPx kxk Px kx kPx kxk Px kxkPP x k 令令TPPQ 李氏代数方程李氏代数方程)()()(kQxkxkxVT68定理：定理：系统系统 渐近稳定的渐近稳定的 充要条件为：充要条件为： 给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称，存在一个正定实对称矩阵矩阵P，使式，使式 成立，成立， 则则 是系统的一个李